PC : 6ème Séquence en maths

EXERCICE I : (2 points)

Probabilités et polynôme

Un dé cubique parfait $A$ a deux faces numérotées $1$, deux faces numérotées $3$ et deux faces numérotées $5$. Un dé cubique parfait $B$ a trois faces numérotées $2$, une face numérotée $4$ et deux faces numérotées $6$. On lance simultanément les deux dés. Le numéro apparu sur la face du dé $A$ est noté $x$ et celui du dé $B$ noté $a$. On forme ainsi un trinôme $g$ du second degré défini pour tout réel $x$ par : $$ g(x)=x^2+ax+a. $$

1. Combien de trinômes peut-on ainsi former ? 0,5pt
2. Combien de trinômes n’admettant pas de racines peut-on obtenir ? 0,75pt
3. Combien de trinômes admettant deux racines distinctes peut-on obtenir ? 0,75pt

EXERCICE II : (4 points)

Géométrie plane et barycentre

$ABC$ est un triangle tel que $AB=2$, $BC=4$ et $AC=2\sqrt{3}$.

1. Déterminer la nature du triangle $ABC$. Justifier. 0,5pt
2. 1. Déterminer et construire le barycentre $G$ du système de points pondérés $(A,-1)$, $(B,1)$ et $(C,1)$. 1pt
   2. Quelle est la nature du quadrilatère $ACGB$ ? 0,5pt
3. 1. Exprimer $-MA^2+MB^2+MC^2$ en fonction de $MG$. 1pt
   2. Déterminer et construire l’ensemble des points $M$ du plan tels que $-MA^2+MB^2+MC^2=20$. 1,5pt

EXERCICE III : (3,5 points)

A. Statistiques (effectifs)

Une entreprise possède trois usines. Dans la première, le salaire moyen est de $100$ milliers de francs, dans la deuxième de $120$ et dans la troisième de $90$. Sachant que la moyenne des salaires dans ce groupe est de $104$, qu’il y a $10$ salariés dans la première usine et $20$ salariés dans la deuxième, déterminer l’effectif salarial de la troisième usine.

B. Exploitation d’un tableau statistique

Cette entreprise fabrique et vend des lots de pompes à injection. Le tableau suivant donne le pourcentage de pompes dont l’on note une panne au cours de $Y$ semaines d’utilisation.

1. Déterminer le point moyen du nuage. 0,5pt
2. Déterminer la droite de régression de $y$ en $x$. 1pt
3. Calculer le coefficient de corrélation linéaire et dire si l’ajustement linéaire est justifié. 0,5pt
4. Donner une estimation du pourcentage de pompes qui ont une panne au cours des $16$ premières semaines d’utilisation. 0,5pt

PROBLÈME : (10,5 points)

PARTIE A : (6 points)

On définit la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$ par : $$ f(x)= \begin{cases} -x^3+3x-1 & \text{si } x\in]-2;1[,\\ \dfrac{x^2-x+2}{x+1} & \text{si } x\in]-\infty;-2]\cup[1;+\infty[. \end{cases} $$

1. Calculer les limites de $f$ aux bornes de son ensemble de définition $\mathbb{R}$. 0,5pt
2. Montrer que la droite d’équation $y=x-2$ est asymptote à $f$ à l’infini. 0,5pt
3. Étudier la continuité et la dérivabilité de $f$ en $-2$ et en $1$. 1pt
4. Donner l’expression de la fonction dérivée de $f$ sur chacun des intervalles où elle est définie. 1pt
5. Étudier les variations de $f$ et dresser le tableau de variation. 1pt
6. Tracer la courbe représentative de $f$. 1pt
7. Discuter graphiquement le nombre de solutions de l’équation $f(x)=x+m$. 1pt

PARTIE B : (2,5 points)

L’espace est muni d’un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})$. On considère le plan $(P)$ d’équation $2x+y+z-2=0$ et la sphère $(\Gamma)$ d’équation cartésienne : $$ x^2+y^2+z^2-2x-6y-6z+10=0. $$

1. Déterminer le centre $\Omega$ et le rayon de la sphère $(\Gamma)$. 0,5pt
2. Déterminer la distance de $\Omega$ au plan $(P)$. 0,25pt
3. Déterminer les coordonnées du point $H$, projeté orthogonal de $\Omega$ sur le plan $(P)$. 0,75pt
4. Déterminer l’intersection de $(\Gamma)$ et $(P)$. 1pt

PARTIE C : (2 points)

Soit le plan vectoriel $E$ rapporté à la base $(\vec{i},\vec{j})$ et $\varphi$ l’endomorphisme de $E$ dont la matrice dans la base $(\vec{i},\vec{j})$ est : $$ M= \begin{pmatrix} a & b\\ 1 & a-1 \end{pmatrix}, $$ où $a$ et $b$ sont des réels tels que $a-b\ne1$.

1. Montrer que l’ensemble des vecteurs $\vec{u}$ de $E$ vérifiant $\varphi(\vec{u})=\vec{u}$ est une droite vectorielle $(D_1)$ dont on exprimera une base $(\vec{e}_1)$ en fonction de $a$ et $b$. 0,5pt
2. Montrer qu’il existe un réel $k\ne1$, que l’on exprimera en fonction de $a$ et $b$, tel que l’ensemble des vecteurs $\vec{u}\in E$ vérifiant $\varphi(\vec{u})=k\vec{u}$ soit une droite vectorielle $(D_2)$. Déterminer une base $(\vec{e}_2)$ de $(D_2)$. 0,75pt
3. Montrer que $(\vec{e}_1,\vec{e}_2)$ est une base de $E$ et écrire la matrice de $\varphi$ dans cette base. 0,75pt

On remarquera que $(b-a)^2-4(a-b)=(a-b-1)^2$.

Exercice 1 : (3,5 points)

Calculs trigonométriques et équations

1. 1. Calculer $\left(\dfrac{\sqrt{3}-1}{2}\right)^2$. 0,25pt
   2. Résoudre dans $\mathbb{R}^2$ le système : $$ \begin{cases} 2ab=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\ a+b=\dfrac{\sqrt{3}+1}{2} \end{cases} $$ 0,75pt
2. Résoudre dans $]-\pi;\pi]$ l’équation $$ \sin2x\cos2x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}. $$ 1pt
3. Déterminer les réels $A$ et $\varphi$ tels que, pour tout réel $x$ : $$ \cos2x+\sin2x=A\cos(2x+\varphi). $$ 0,5pt
4. En déduire les réels $x\in]-\pi;\pi]$ tels que $$ \cos\!\left(\dfrac{\sin4x-\sqrt{3}}{2}\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}. $$ 1pt

Exercice 2 : (6 points)

Statistiques descriptives

Dans une petite entreprise de $50$ employés, on a évalué la distance qui sépare le village des ouvriers de leur lieu de travail. Les résultats sont consignés dans le tableau suivant :

1. Recopier et compléter le tableau ci-dessus. 2pt
2. Déterminer la distance moyenne, la variance et l’écart-type de cette série. 1pt
3. Construire le polygone des effectifs cumulés croissants et en déduire la médiane. 1pt
4. Calculer le pourcentage d’ouvriers dont le domicile se trouve à moins de $12$ km. 0,5pt

Probabilités

5. On choisit la bonne réponse en écrivant le numéro de la question et la lettre correspondante.
   1. On tire à la fois $4$ cartes d’un jeu de $32$ cartes. Le nombre de tirages donnant au moins $3$ as est : $$ \text{a) }112 \qquad \text{b) }135 \qquad \text{c) }114 \qquad \text{d) }115. $$ 0,5pt
   2. Six garçons et deux filles constituent un groupe. Le nombre de groupes de $4$ personnes est : $$ \text{a) }112 \qquad \text{b) }120 \qquad \text{c) }134 \qquad \text{d) }146. $$ 0,5pt

Exercice 3 : (3,5 points)

Suites numériques

Soient $(U_n)$ et $(V_n)$ définies par : $$ U_0=2,\quad V_0=1, \qquad \text{et pour tout } n\in\mathbb{N}, \quad U_{n+1}=\dfrac{4U_n+V_n+1}{3}, \quad V_{n+1}=\dfrac{2U_n+V_n}{3}. $$

1. Calculer $U_1$ et $V_1$. 0,75pt
2. On pose $W_n=V_n-U_n$.
   1. Exprimer $W_{n+1}$ en fonction de $W_n$. 0,5pt
   2. En déduire que $(W_n)$ est une suite constante. 0,5pt
3. On pose $T_n=10U_n+V_n$.
   1. Exprimer $T_n$ en fonction de $n$. 1pt
   2. En déduire que $\displaystyle \lim_{n\to+\infty}U_n=\lim_{n\to+\infty}V_n=\dfrac{23}{13}$. 1pt

Exercice 4 : (7 points)

Étude d’une fonction définie par morceaux

Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}\setminus\{1\}$ par : $$ g(x)= \begin{cases} x^2+2x & \text{si } x\le 0,\\[4pt] \dfrac{x^2}{x-1} & \text{si } x>0. \end{cases} $$ On note $(C_g)$ la courbe représentative de $g$ dans un repère orthonormé $(O,I,J)$ et $(D)$ la droite d’équation $y=x+1$.

1. 1. Étudier la continuité et la dérivabilité de $g$ en $0$. 0,75pt
   2. Déterminer les équations des demi-tangentes à $(C_g)$ en $0$. 0,5pt
2. Calculer les limites de $g$ en $1$, en $-\infty$ et en $+\infty$. 1pt
3. 1. Calculer $g'(x)$ sur $]-\infty;0[$ et sur $]0;1[\cup]1;+\infty[$. 1pt
   2. Étudier le signe de $g'(x)$ dans chaque cas. 1pt
   3. Dresser le tableau de variation de $g$. 0,5pt
4. 1. Montrer que la droite $(D)$ est asymptote à $(C_g)$. Préciser l’autre asymptote. 0,5pt
   2. Étudier la position de $(D)$ par rapport à $(C_g)$. 0,5pt
5. Tracer $(C_g)$ accompagnée de tous ses éléments remarquables. 1,25pt

Exercice 1 : (5 points)

Étude statistique des temps de trajet

Le directeur des ressources humaines d’une entreprise doit établir le temps de retard tolérable des employés. Il a fait une étude statistique du temps mis par ceux-ci pour partir du domicile à l’entreprise et a dressé le tableau suivant :

1. Construire l’histogramme de cette série statistique. 1pt
2. Construire le polygone des effectifs cumulés croissants et déterminer la médiane de cette série. 1,5pt
3. Déterminer la moyenne $\bar{x}$ et l’écart-type $\sigma_x$ de cette série. 1,5pt
4. Déterminer le pourcentage des employés qui se retrouvent dans l’intervalle $[\bar{x}-\sigma_x;\,\bar{x}+\sigma_x]$. 1,5pt

Exercice 2 : (2 points)

Probabilités – tirages successifs

Une urne contient deux boules portant le numéro $5$, quatre boules portant le numéro $10$ et deux boules portant le numéro $20$, toutes indiscernables au toucher. On tire successivement sans remise trois boules de l’urne.

1. Quel est le nombre de tirages possibles ? 0,5pt
2. Calculer le nombre de tirages ne contenant que des boules numérotées $10$ ou $5$. 0,75pt
3. Calculer le nombre de tirages dont la somme des points est comprise entre $20$ et $40$. 0,75pt

Exercice 3 : (4,5 points)

Géométrie dans l’espace

Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé, on donne le point $A(1;-3;-1)$, le plan $(P):\;3x-2y+z+6=0$ et la sphère $(S):\;x^2+y^2+z^2-2x+6y+2z-7=0$.

1. Soit $(d)$ la droite passant par $A$ et orthogonale au plan $(P)$.
   1. Donner une représentation paramétrique de la droite $(d)$. 0,5pt
   2. Déterminer les coordonnées du point d’intersection $H$ de $(d)$ et de $(P)$. 1pt
   3. En déduire la distance du point $A$ au plan $(P)$. 0,5pt
2. Montrer que $(S)$ est une sphère de centre $\Omega$ et déterminer son rayon. 0,75pt
3. Donner la nature et les éléments caractéristiques de l’intersection $(S)\cap(P)$. 0,75pt

4. Soit le plan $(P_2)$ d’équation : $$ x-2y+z+6=0. $$
   1. Justifier que les plans $(P)$ et $(P_2)$ sont sécants. 0,5pt
   2. Donner une représentation paramétrique de leur droite d’intersection. 0,5pt

PROBLÈME : (8 points)

PARTIE A

On considère la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $$ f(x)=2\sin x-\cos 2x. $$

1. Montrer que $f$ est périodique de période $2\pi$. 0,5pt
2. Étudier la parité de la fonction $f$. 0,5pt
3. Montrer que $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et établir que : $$ f'(x)=2\cos x(2\sin x+1). $$ 0,5pt
4. Étudier les variations de $f$ sur $[0;\pi]$. 1pt
5. Dresser le tableau de variations de $f$ sur $[-\pi;\pi]$. 1pt
6. Tracer la courbe représentative de $f$ sur l’intervalle $[-3\pi;2\pi]$. 1pt

PARTIE B

$E$ est un plan vectoriel de base $B=(\vec{i},\vec{j})$. On considère deux réels $a$ et $b$ et $f$ l’endomorphisme de $E$ défini par : $$ f(\vec{i})=a\vec{i}+b\vec{j} \quad \text{et} \quad f(\vec{j})=(1-a)\vec{i}+(1-b)\vec{j}. $$

1. Donner la matrice $M$ de $f$ dans la base $B$. 0,5pt
2. À quelle condition sur les réels $a$ et $b$ l’endomorphisme $f$ est-il injectif ? 0,5pt
3. On suppose $a=b=0$.
   1. Déterminer le noyau de $f$ et donner une base de ce noyau. 1pt
4. On donne $a=b=\dfrac12$.
   1. Montrer que $\mathrm{Im}\,f$ et $\mathrm{Ker}\,f$ sont des droites vectorielles et préciser leurs bases respectives. 1pt
   2. Calculer la matrice de $f^2-2f+\mathrm{Id}$. 0,5pt