PC : 2ème Séquence en maths

EXERCICE 1 : 03 points

1.

1. a) Résoudre dans $\mathbb{R}^3$ le système suivant : $\begin{cases} \dfrac{x}{4}=\dfrac{y}{6}=\dfrac{z}{8}\\ x+y+z=36 \end{cases}$ 1,25pt
   b) Un pédiatre partage 36 comprimés entre trois enfants proportionnellement à leurs âges respectifs 4 ans, 6 ans et 8 ans. Combien de comprimés chacun des enfants reçoit-il ? 0,75pt

2.

EXERCICE 2 : 03 points

1. Montrer que $F$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^3$. 1pt
2. Montrer que la famille $(a,b)$ est une base de $F$. 1pt
3. Déterminer la dimension de $E$. 1pt

EXERCICE 3 : 03 points

1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation $(E)$ : $x^2-12x+35=0$. 1pt
2. Monsieur BOUBA a placé une somme $A_0=120\,000$ francs dans une banque $\alpha$ au taux de $x\%$ pendant un an. La banque $\alpha$ ayant fait faillite, M. BOUBA retire tout son placement $A_1$ (capital + intérêt annuel) et le place dans une autre banque $\beta$ à un taux d’intérêt annuel de $y\%$ moins avantageux. Il retire alors de la banque $\beta$ une somme $A_2$ en d’année, pour un intérêt total de $14\,820$ F.
   1. Montrer que $A_2=120\,000+1200x+1200y+12xy$. 0,75pt
   2. Sachant que $x+y=12$, montrer que $x$ est solution de l’équation $(E)$. 0,75pt
   3. Déduire les taux d’intérêt dans chacune des deux banques. 0,5pt

PROBLÈME : 11 points

Partie A : 05 points

1. Résoudre dans $\mathbb{N}$ chacune des équations suivantes : $A_n^2=42\ ;\ C_n^3=C_n^4$ 0,5 + 0,5 = 1pt
2. Une urne contient 10 boules de 3 couleurs différentes parmi lesquelles 6 boules bleues, $n$ boules rouges et le reste de couleur verte. On tire simultanément 8 boules de cette urne.

Questions

1. Justifier que $0<n\leq 3$. 0,25pt
2. Calculer le nombre de tirages possible. 0,5pt
3. Calculer le nombre de tirages comportant exactement 6 boules bleues. 0,5pt
4. Calculer maintenant le nombre de tirages de boules bicolores comportant exactement 6 boules bleues, si l’urne contient exactement une boule rouge. 0,5pt
5. 1. Démontrer que : $\forall p,n\in\mathbb{N}\ \text{tel que}\ p\leq n,\ \text{on a}\ C_n^p=C_n^{n-p}$. 0,5pt
   2. Calculer en fonction de $n$, le nombre $S$ de tirages comportant $n-1$ boules rouges. 0,75pt
   3. Déterminer $n$ sachant que $S=16$ et déduire le nombre de boule verte. 0,5pt
6. On suppose $n=2$.
   Déterminer alors le nombre de tirages comportant au plus une boule verte. 0,5pt

Partie B : 06 points

Énoncé

Le plan est muni d’un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$. Le graphe ci-dessus représente une partie de la courbe d’une fonction rationnelle $g$ définie sur $D=\mathbb{R}\setminus\{2\}$ et admettant le point $K(2;0)$ comme centre de symétrie.

Questions

1. a) Justifier que : $\forall x\in D,\ 4-x\in D$. 0,5pt
2. Montrer par la suite que : $\forall x\in D,\ g(x)=-g(4-x)$. 1pt
3. a) Donner par lecture graphique la valeur de $g(3)$ et de $g(4)$. 0,25+0,25=0,5pt
4. Déduire de la question 1.b) les valeurs de $g(1)$ et $g(0)$. 0,5pt
5. Reproduire la figure et compléter la courbe de $g$ sur $\mathbb{R}\setminus\{2\}$. 1pt
6. Donner l’axe de variation de $g$ sur $\mathbb{R}\setminus\{2\}$. 1pt
7. Quel est le majorant de $g$ sur $]-\infty;2[$ ? En quel réel est-il atteint ? 0,5pt
8. La fonction $g$ est-elle paire ou impaire ? 0,5pt
9. On suppose que $g(x)=ax+b+\dfrac{c}{x-2}$. Trouver les réels $a$, $b$ et $c$. 1pt

Exercice 1 : 5 pts

Pour chacune des questions suivantes, choisir la bonne réponse parmi celles proposées.
NB : Bonne réponse : 1pt ; mauvaise réponse ou pas de réponse : −0,5pt.

Le plan est muni d’un repère $(O,\vec{i},\vec{j})$.

1. On donne les points $A(-1;3)$, $B(-1;5)$ et $C(6;4)$. Le centre du cercle circonscrit au triangle $ABC$ est :
   1. $O\left(\dfrac{5}{2};\dfrac{9}{2}\right)$
   2. $O(1;2)$
   3. $O(2;1)$
   4. pas de réponse exacte
2. $A$ et $B$ sont deux points du plan euclidien ; $I$ est le milieu de $[AB]$ ; $G$ le barycentre du système $\{(A,3);(B,-1)\}$. L’ensemble des points $M$ tels que : $||3\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}|| = ||\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}||$ est :
   1. le cercle de diamètre $[GI]$
   2. l’ensemble vide
   3. la médiatrice de $[GI]$
   4. pas de réponse exacte
3. Le cercle d’équation $(x-1)^2+(y+1)^2=4$ et la droite $(D)$ d’équation cartésienne $3x+4y+11=0$ sont :
   1. sécants
   2. tangents
   3. disjoints
   4. pas de réponse exacte
4. $ABC$ est un triangle équilatéral ; $I,J,K$ sont les milieux respectifs des segments $[BC]$, $[CA]$ et $[AB]$. $S_{(BC)}$ et $S_{(IK)}$ sont les symétries d’axes $(BC)$ et $(IK)$. L’application $S_{(BC)} \circ S_{(IK)}$ est :
   1. la translation de vecteur $2\overrightarrow{AI}$
   2. la rotation de centre $A$
   3. la translation de vecteur $\overrightarrow{AI}$
   4. pas de réponse exacte
5. On donne les points $G\left(\dfrac{3}{2};-\dfrac{1}{2}\right)$, $A(3;2)$, $B(3;-1)$ et $C(1;1)$. Le couple de nombres réels $(m,n)$ tel que $G$ soit le barycentre des points $(A,-1)$, $(B,n)$ et $(C,m)$ est :
   1. $(\dfrac{3}{2};2)$
   2. $(2;3)$
   3. $(3;2)$
   4. $(2;1)$
   5. pas de réponse exacte

Exercice 2 : 3,25 pts

Le plan est rapporté au repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$. On considère le point $K(2;1)$, soit $(C)$ le cercle d’équation $x^2+y^2-2x+4y=0$.

1. Soit $(D_m)$ la droite passant par $K$ et de coefficient directeur $m$ ; $M(x;y)$ un point appartenant à $(D_m)$ et à $(C)$.
   1. Donner l’équation réduite de la droite $(D_m)$. 0,25pt
   2. Montrer que $x$ est solution de l’équation $(E_m)$ : $(1+m^2)x^2+(-4m^2+6m-2)x+4m^2-12m+5=0$. 0,5pt
   3. Vérifier que le discriminant de $(E_m)$ est $\Delta_m=8(2m^2+3m-2)$. 0,5pt
   4. Pour quelles valeurs de $m$ la droite $(D_m)$ admet-elle une unique solution ? 0,5pt
   5. En déduire les équations des droites passant par $K$ et tangentes à $(C)$. 0,5pt

Exercice 3 : 4,25 pts

I – Géométrie plane

$ABCD$ et $AEFG$ sont des carrés tels que $\widehat{(AE,AG)}=\widehat{(AB,AD)}=\dfrac{\pi}{2}$. $r$ est la rotation de centre $A$ et d’angle $\dfrac{\pi}{2}$.

1. Déterminer, en justifiant, les points $r(A)$, $r(B)$ et $r(E)$. 0,75pt
2. Montrer que $\overrightarrow{JD}=\overrightarrow{BE}$. 0,5pt
3. Déterminer la mesure principale de l’angle orienté $(\overrightarrow{BE};\overrightarrow{DG})$. 0,25pt
4. $(C)$ est l’ensemble des points $M$ du plan tels que $\overrightarrow{ME}\cdot\overrightarrow{MB}=0$.
   1. Reconnaître $(C)$. 0,25pt
   2. Quelle est l’image $(C’)$ de $(C)$ par la rotation $r$ ? 0,75pt
   3. Construire $(C’)$. 0,75pt

II – Géométrie du triangle

$ABC$ est un triangle équilatéral de sens direct. On désigne par $I$, $J$ et $K$ les milieux respectifs des segments $[BC]$, $[AB]$ et $[AC]$. $G$ désigne le centre du cercle circonscrit à $ABC$. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de :
$f=S_{(BC)}\circ r_B$ et $g=S_{(IK)}\circ S_{(AC)}$ et $h=t_{\overrightarrow{AC}}\circ t_{\overrightarrow{AB}}$. 1,5pt

PROBLÈME : 7,5 pts

A – Étude de fonctions

On considère la fonction définie sur $]-\infty;1[$ par $g(x)=x^2+2x-3$.

1. Démontrer que $g$ est une bijection et déterminer sa bijection réciproque. 1pt
2. Soit $f:\mathbb{R}\setminus\{\tfrac{3}{2}\}\to\mathbb{R}$ définie par $f(x)=\dfrac{x+1}{2x-3}$ et $h:\mathbb{R}\setminus\{0\}\to\mathbb{R}$ définie par $h(x)=\dfrac{5}{x}$.
   1. Justifier que $f$ et $g$ sont des applications définies. 0,5pt
   2. Déterminer le domaine de définition de $f\circ h$ et calculer $(f\circ h)(x)$. 0,75pt
   3. Montrer que la courbe de $f$ se déduit de celle de $h$ par une transformation que l’on précisera. 0,75pt
   4. Construire $(C_f)$ et $(C_h)$ dans un même repère.
      Échelle : sur $(OI)$ : 1 unité correspond à 1 cm ; sur $(OJ)$ : 1 unité correspond à 2 cm. 1pt

B – Lecture graphique

La figure ci-dessous est la représentation graphique d’une fonction $h$ dans un repère orthonormé $(O,I,J)$.

1. Déterminer graphiquement :
   1. le domaine de définition de $h$. 0,5pt
   2. $h(0)$, $h(4)$ et $h(-1)$. 0,75pt
   3. les solutions de : $h(x)=0$, $h(x)\leq 0$ et $h(x)>1$. 0,75pt
   4. le maximum et le minimum de $h$ sur $D_h$. 0,5pt
2. Reproduire la courbe de $h$. 0,5pt
3. Sur le même graphique, construire la courbe de la fonction $k$ telle que $k(x)=|h(x)|$. 0,5pt

Exercice 1 : 03 points

On considère l’équation $(E)$ : $x^4-4x^3+5x^2-4x+1=0$.

1. a) Vérifier que $0$ n’est pas solution de $(E)$. 0,25pt
2. b) Montrer que si $x$ est solution de $(E)$ alors $\dfrac{1}{x}$ est aussi solution. 0,5pt
3. Montrer que l’équation $(E)$ est équivalente à l’équation : $x^2-4x+5-\dfrac{4}{x}+\dfrac{1}{x^2}=0$. 0,5pt
4. En posant $t=x+\dfrac{1}{x}$, montrer que l’équation devient l’équation $(E’)$ : $t^2-4t+3=0$. 0,5pt
5. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation $(E’)$ puis déduire les solutions de l’équation $(E)$. 1,25pt

L’exercice 2 : 04,5 points

1. Résoudre dans $\left]0;2\pi\right[$ l’équation $(E)$ : $\sin(2x)=-\sin(3x)$. On remarquera que : $-\sin(3x)=\sin(-3x)$. 1,5pt
2. a) Montrer que pour tout réel $x$, on a : $\sin(3x)=\sin(x)\big(4\cos^2(x)-1\big)$. 0,75pt
3. b) En déduire que l’équation $(E)$ est équivalente à l’équation : $\sin(x)\big(4\cos^2(x)+2\cos(x)-1\big)=0$. 0,5pt
4. Parmi les solutions de l’équation $(E)$ dans $\left]0;2\pi\right[$, quelles sont celles qui sont solutions de l’équation : $4\cos^2(x)+2\cos(x)-1=0$ ? 0,5pt
5. Déterminer les valeurs possibles de $\cos(x)$ telles que : $4\cos^2(x)+2\cos(x)-1=0$. 0,5pt
6. En déduire les valeurs exactes de $\cos\left(\dfrac{2\pi}{5}\right)$ et de $\cos\left(\dfrac{4\pi}{5}\right)$. 0,75pt

Exercice 3 : 04,5 points

1. Résoudre dans $\mathbb{R}^3$, par la méthode du pivot de Gauss, le système $(\Gamma)$ :
   $\begin{cases} x+y+z=30\\ 2x+3y+z=50\\ 3x+5y+2z=85 \end{cases}$ 1,5pt
2. $ABCD$ est un carré de sens direct de centre $O$. $I$ et $J$ sont les milieux respectifs de $[BC]$ et $[CD]$. $E$, $F$ et $H$ sont des points tels que : $AE=\dfrac{1}{4}AB$, $AF=\dfrac{1}{4}AD$ et $H=\text{bar}\{(A,3),(C,1),(D,1)\}$.
   1. Écrire le centre barycentre de $A$ et $B$, puis $F$ comme barycentre de $A$ et $D$. 0,5pt
   2. Montrer que les points $A$, $J$ et $H$ sont alignés. 0,5pt
   3. Démontrer que les droites $(EI)$, $(FJ)$ et $(AC)$ sont concourantes. 0,75pt
3. Soient $A$ et $B$ deux points du plan tels que $AB=6$ cm. Déterminer et construire l’ensemble $(\Sigma)$ des points $M$ du plan tels que : $MA^2-MB^2=-12$. 1,25pt

Exercice 4 : 03,5 points

Dans l’espace vectoriel réel $\mathbb{R}^2$, on considère les vecteurs $\vec{e_1}=(-3;2)$, $\vec{e_2}=(1;-2)$ et $\vec{e_3}=(6;-4)$. On considère également l’ensemble : $F=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid 2x-5y=0\}$.

1. Montrer que la famille $(\vec{e_1},\vec{e_2},\vec{e_3})$ est libre et génératrice. 1,5pt

2. b) Que peut-on donc dire de la famille $(\vec{e_1},\vec{e_2})$ ? 0,25pt
3. Montrer que la famille $(\vec{e_1},\vec{e_3})$ est liée. 0,75pt
4. Montrer que $F$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^2$. 1pt

PARTIE B : ÉVALUATION DES COMPÉTENCES (04,5 points)

Situation

Madame Bekono a placé dans une banque pendant deux ans la somme de $70\,000$ FCFA à un taux annuel de $x\%$, à intérêts composés (c’est-à-dire qu’à la fin de chaque année, les intérêts produits s’ajoutent au capital pour former le nouveau capital). Au bout de deux années, elle retire $78\,652$ FCFA.

Après retrait de cet argent, elle voudrait partager également la somme de $39\,200$ FCFA entre un certain nombre d’enfants l’ayant aidée pour effectuer certains travaux. Quelques instants après, deux enfants s’ajoutent à la part de chacun diminue donc de $2\,240$ FCFA.

Son mari monsieur Bekono est tailleur. Il a acheté une certaine quantité de tissu au même prix le mètre pour un montant total de $336\,000$ FCFA. Il enlève $16$ mètres de tissu pour lui-même et revend le reste à $700$ FCFA de plus par mètre du tissu acheté. À la fin des ventes, il recouvre entièrement son capital.

Tâches

1. Déterminer le nombre de tissus achetés par monsieur Bekono. 1,5pt
2. Déterminer le taux annuel $x$ du placement de madame Bekono. 1,5pt
3. Déterminer le nombre initial d’enfants à qui madame Bekono devrait partager l’argent. 1,5pt

PARTIE A : ÉVALUATION DES RESSOURCES (15,5 points)

EXERCICE 1 : 4 points

Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=-x+2-\dfrac{1}{x-2}$.

On considère l’équation $(E_m)$ : $-x^2+(4-m)x-5+2m=0$, où $x$ est l’inconnue et $m$ un paramètre réel.

1. Déterminer l’ensemble de définition de $f$. 0,5pt
2. Justifier que $2$ ne peut pas être solution de $(E_m)$ quel que soit $m$. 0,5pt
3. Montrer que pour tout réel $x\neq 2$, $(E_m)\iff f(x)=m$. 0,5pt
4. a) Calculer le discriminant $\Delta_m$ de $(E_m)$ en fonction de $m$. 0,5pt
5. b) En déduire que l’équation $(E_m)$ n’admet pas de solution si et seulement si $m\in]-2;2[$. 1pt
6. c) On suppose que $m\notin]-2;2[$. Déterminer par calcul les valeurs de $m$ pour lesquelles l’équation $(E_m)$ admet deux solutions de signes contraires. 1pt

EXERCICE 2 : 3 points

Le plan est muni d’un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$. On donne les points $R(1;-1)$, $S(2;0)$ et $T(-1;3)$. $\mathcal{P}$ est la parabole d’équation $y=ax^2+bx+c$ où $a$, $b$ et $c$ sont des réels avec $a\neq 0$.

1. Calculer $SR$, $ST$ et $\cos(\overrightarrow{SR},\overrightarrow{ST})$. Quelle est la mesure principale de $(\overrightarrow{SR},\overrightarrow{ST})$ ? 1pt
2. Quelle est la nature du triangle $RST$ ? 0,25pt
3. Résoudre dans $\mathbb{R}^3$ le système suivant :
   $\begin{cases} x+y+z=-1\\ x-y+z=3\\ 4x+2y+z=0 \end{cases}$ 1pt
4. Déterminer l’équation de la parabole $\mathcal{P}$ passant par les points $R$, $S$ et $T$. 0,75pt

EXERCICE 3 : 4,5 points

A – Trigonométrie

On considère dans $\mathbb{R}$ l’équation $(E)$ : $3\cos^2(2x)-\sin^2(2x)+1=0$.

1. Montrer que $(E)$ est équivalente à l’équation $1+\cos(4x)=0$. 0,5pt
2. Résoudre dans $[0;\pi[$ l’équation $(E)$ et placer les points images des solutions sur le cercle trigonométrique. 1pt
3. Déduire dans $[0;\pi]$ les solutions de l’inéquation $3\cos^2(2x)-\sin^2(2x)+1>0$. 0,5pt

B – Géométrie

Soit $\theta$ un réel de $[0;\pi]$. $ABC$ est un triangle rectangle isocèle en $A$ tel que $BC=4a\sqrt{2}$ avec $a>0$.

On pose $G_0=\text{bar}\{(A,3\cos^2\theta),(B,-\sin^2\theta),(C,1)\}$.

1. Déterminer l’ensemble des valeurs de $\theta$ pour lesquelles $G_0$ n’existe pas. 0,5pt
2. On suppose dans la suite que $\theta=\dfrac{\pi}{6}$.
   1. Déterminer et construire le point $G_0$, puis montrer que $AG=5a$. 0,5pt
   2. Soit $I$ le milieu du segment $[AG_0]$. On désigne par $(\Gamma)$ l’ensemble des points $M$ du plan tels que : $3\overrightarrow{MA}-4\overrightarrow{MB}+4\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{AG_0}$.
      1. Discuter suivant les valeurs de $k$, l’existence de $(\Gamma)$. 1pt
      2. Déterminer $k$ pour que $I$ appartienne à $(\Gamma)$ puis construire $(\Gamma)$. 0,5pt

EXERCICE 4 : 4 points

A – Fonctions numériques

Soient les fonctions numériques suivantes : $f:[-3;3]\to\mathbb{R}$ et $g:[-1;5]\to\mathbb{R}$ définies par $f(x)=-x^2$ et $g(x)=x^2+4x-3$. $(\mathcal{C}_f)$ et $(\mathcal{C}_g)$ sont respectivement les courbes représentatives des fonctions $f$ et $g$ dans un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$.

1. Construire la courbe $(\mathcal{C}_g)$. 0,5pt
2. Vérifier que pour tout $x\in[-1;5]$, $g(x)=f(x-2)+1$. 0,5pt
3. Comment peut-on déduire la courbe $(\mathcal{C}_f)$ de la courbe $(\mathcal{C}_g)$ ? 0,5pt
4. Représenter la courbe $(\mathcal{C}_f)$ dans le même repère que $(\mathcal{C}_g)$. 1pt

B – Vecteurs et angle

$E$ est un plan vectoriel réel euclidien orienté de base orthonormée directe $(\vec{i},\vec{j})$. On considère le vecteur $\vec{u}=-\dfrac{1}{2}\vec{i}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\vec{j}$ et $\alpha\in[0;\pi]$ la mesure en radians de l’angle $(\vec{i},\vec{u})$.

1. Calculer $\|\vec{u}\|$. 0,5pt
2. Calculer $\cos\alpha$ et $\sin\alpha$, puis en déduire $\alpha$. 0,5pt

PARTIE B : ÉVALUATION DES COMPÉTENCES (4,5 points)

Compétence visée : Détermination d’un nombre, des dimensions d’un terrain

Situation : Le 19 décembre 2019, la petite NGONO a fêté son $x^{\text{ème}}$ anniversaire, où $x$ est solution de l’équation $f(x)=0$ avec $f(x)=2x^3+x^2-72x-36$.

Les invités étaient reçus sur un espace aménagé ayant la forme d’un carré de côté $c$ (en mètres) vérifiant l’équation $(E)$ : $3\sqrt{c}-2c+35=0$. Sur cet espace, la hauteur $h$ des bâches installées vérifie l’inéquation : $\sqrt{h}-2\leq h-4$.

Tâches

1. Déterminer l’âge de NGONO au 19 décembre 2019. 1,5pt
2. Déterminer la hauteur minimale des bâches. 1,5pt
3. Déterminer l’aire de la surface aménagée pour la réception des invités. 1,5pt

EXERCICE 1 : 5,5 pts

Les questions de cet exercice sont indépendantes.

1. a) Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation : $\sqrt{-2x^2+3x+5}=x^2-9$. 0,75pt
2. b) Vérifier que $t=1$ est une racine du polynôme $P(t)=2t^3-9t^2-2t+9$. 0,25pt
3. c) En déduire l’ensemble solution de l’équation : $2(\sqrt{x}+1)^3-9(\sqrt{x}+1)^2-2(\sqrt{x}+1)+9=0$. 1pt
4. Soit l’équation $(E)$ : $(m+2)x^2-2mx+2m-3=0$.
   1. Étudier l’équation $(E)$ pour $m=-2$. 0,5pt
   2. Pour quelles valeurs de $m$ l’équation $(E)$ admet-elle :
      • deux solutions ? 0,5pt
      • une seule solution ? 0,5pt
      • aucune solution ? 0,5pt
   3. Si ces solutions existent, calculer leur somme et leur produit en fonction de $m$. 0,5pt
5. Résoudre et discuter selon les valeurs du nombre réel $a$ le système suivant :
   $\begin{cases} (\sqrt{2}-1)x-ay=\sqrt{2}-1\\ x-(\sqrt{2}+1)y=a \end{cases}$ 1pt

EXERCICE 2 : 3,5 pts

Soit $ABC$ un triangle équilatéral tel que $AB=a$ avec $a>0$.

1. Déterminer et construire l’ensemble des points $M$ du plan tels que : $2MA^2-MB^2-MC^2=a^2$. 1pt
2. On considère le repère $(A;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})$.
   1. Construire le point $G=\text{bar}\{(A,4),(B,-1),(C,1)\}$. 0,5pt
   2. Donner les coordonnées de $A$, $B$, $C$ et $G$. 0,5pt
   3. Déterminer et construire l’ensemble des points $M$ du plan tels que : $4MA^2-MB^2+MC^2=\dfrac{5a^2}{2}$. 1pt

PROBLÈME : 11 pts

Partie A : 8,75 pts

Le plan est muni du repère orthonormé direct $(O,\vec{i},\vec{j})$, d’unité $4$ cm. $(C)$ est le cercle trigonométrique. On considère les points $Q\left(-\dfrac{1}{4};0\right)$ et $M\left(0;\dfrac{1}{2}\right)$.

Le cercle $(C)$ de centre $O$ et passant par $M$ coupe le segment $[IJ]$ en $P$ et en $Q$ avec $Q_x<0$. Les tangentes à $(C)$ en $P$ et $Q$ coupent $(C)$ en $A$, $D$ et $B$, $C$. On se propose de démontrer que le pentagone direct $IABDC$ est régulier.

1. a) Faire une figure. 1pt
2. b) Soit $\text{mes}(\overrightarrow{OI},\overrightarrow{OA})=\alpha\ [2\pi]$. Calculer $\cos\alpha$ puis $\cos 2\alpha$. 0,75pt
3. c) Soit $\text{mes}(\overrightarrow{OI},\overrightarrow{OB})=\beta\ [2\pi]$. Calculer $\cos\beta$ et en déduire que $\beta=2\alpha$. 0,5pt
4. d) Soit $\text{mes}(\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OD})=\gamma\ [2\pi]$. Calculer $\cos\gamma$ puis $\cos 2\gamma$. 0,5pt
5. e) En déduire que $(\overrightarrow{OB},\overrightarrow{DC})=(\overrightarrow{OI},\overrightarrow{OA})$. 0,25pt

On donne : $(\overrightarrow{OI},\overrightarrow{OA})= (\overrightarrow{AI},\overrightarrow{OB})= (\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC})= (\overrightarrow{OC},\overrightarrow{OD})= (\overrightarrow{OD},\overrightarrow{OI})= \dfrac{2\pi}{5}$.

2. a) Déterminer la mesure principale de chacun de ces angles : $(\overrightarrow{OI},\overrightarrow{OA})$, $(\overrightarrow{OI},\overrightarrow{OB})$, $(\overrightarrow{OI},\overrightarrow{OC})$, $(\overrightarrow{OI},\overrightarrow{OD})$. 1pt
3. b) Calculer $\sin\dfrac{2\pi}{5}$, $\sin\dfrac{3\pi}{5}$, $\sin\dfrac{6\pi}{5}$ et $\sin\dfrac{8\pi}{5}$. 1pt
4. c) Soit $\vec{X}=\overrightarrow{OI}+\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB} +\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}$.
   1. Montrer que $\vec{X}=1+2\cos\dfrac{2\pi}{5}+2\cos\dfrac{4\pi}{5}$. 0,5pt
   2. On donne $a=\cos\dfrac{\pi}{5}$, $b=\sin\dfrac{\pi}{5}$.
      1. En déduire que $1+2\cos\dfrac{2\pi}{5}+2\cos\dfrac{4\pi}{5}=0$. 0,25pt
      2. Exprimer $\cos\dfrac{3\pi}{5}$, $\sin\dfrac{2\pi}{5}$ et $\sin\dfrac{4\pi}{5}$ en fonction de $a$ et $b$. 0,75pt
      3. Démontrer que $\sin\dfrac{2\pi}{5}=\sin\dfrac{3\pi}{5}$. 0,25pt
      4. En déduire que $a$ est solution de l’équation $4t^2+2t-1=0$. 0,5pt
      5. Déterminer alors les valeurs de $a$. 0,5pt

Partie B : 2,25 pts

1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation $x^2-\dfrac{n(n-1)}{2}x-6=0$. 0,5pt
2. Montrer que $C_n^3=\dfrac{n(n-1)(n-2)}{6}$. 0,5pt
3. Résoudre dans $\mathbb{N}$ l’équation $C_n^3=n-2$. 0,5pt
4. Dans une classe contenant $12$ filles et $8$ garçons, on choisit au hasard trois personnes qui vont représenter la classe au conseil de discipline.
   1. Dénombrer le nombre de choix possibles. 0,25pt
   2. Dénombrer le nombre de choix contenant au moins un garçon. 0,5pt

Exercice 1 : 4,5 points

1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ :
   1. $-3 \le x^2 + 4x + 1 < 6$ ;
   2. $-x + 4 + \sqrt{x+2} = 0$.
   1,25pt
2. On considère le polynôme $P(x)=x^3-3x+1$. On suppose que $P$ admet trois racines distinctes $a$, $b$ et $c$.
   1. Donner la forme factorisée de $P$ en fonction de $a$, $b$ et $c$. 0,25pt
   2. Déterminer sans calcul les valeurs de $a^2+b^2+c^2$. 0,75pt
3. Résoudre dans $\mathbb{R}^2$ le système $(S)$ suivant :
   $(S)\ \begin{cases} x^2+y^2=5\\ \dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}=\dfrac{5}{2} \end{cases}$ 0,75pt
4. On considère le système $(S’)$ suivant :
   $(S’)\ \begin{cases} 3x+7y+8z=100\\ x+y+z=20 \end{cases}$ où $x$, $y$ et $z$ sont des entiers naturels non nuls.
   1. Résoudre le système $(S’)$. 0,75pt
   2. Habiba a au marché acheté des fruits pour toute la famille : des pamplemousses à $300$ F CFA, des melons à $700$ F CFA et des ananas à $800$ F CFA l’unité. Après avoir dépensé tout l’argent, elle a porté à son panier le nombre total de $20$ fruits.
      Tâche : Combien Habiba a-t-elle acheté de fruits de chaque espèce ? 0,75pt

Exercice 2 : 8 points

1. Le plan est muni d’un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$ et la droite $(D)$ d’équation $ax+by+c=0$ avec $(a,b)\ne(0,0)$. Soit $A(x_A,y_A)$ un point du plan et $H(x_H,y_H)$ son projeté orthogonal sur la droite $(D)$.
   1. Justifier l’existence d’un réel $k$ tel que : $\overrightarrow{AH}=k\vec{n}$. 0,25pt
   2. Montrer que : $AH=|k|\sqrt{a^2+b^2}$. 0,5pt
   3. Prouver que : $a(x_H-x_A)+b(y_H-y_A)=-(ax_A+by_A+c)$. 0,5pt
   4. Déduire que : $|k|(a^2+b^2)=|ax_A+by_A+c|$. 0,5pt
   5. Déduire une formule pour $AH$, distance du point $A$ à la droite $(D)$. 0,5pt
2. $ABC$ est un triangle. À tout réel $m$, on associe le point $G_m=\text{bar}\{(A,2),(B,m),(C,-m)\}$. On note $I$ le milieu de $[BC]$.
   1. Démontrer que, lorsque $m$ décrit $\mathbb{R}$, le lieu des points $G_m$ est une droite $(\Delta)$ que l’on précisera. 0,75pt

2. b) On suppose $m\neq 2$ et $m\neq -2$. Soit $G_m$ un point de $(\Delta)$ distinct de $A$, $G_2$ et $G_{-2}$. Montrer que :
   1. $(BG_m)$ coupe $(AC)$ en un point $E$. 0,75pt
   2. $(CG_m)$ coupe $(AB)$ en un point $F$. 0,75pt
3. c) On définit maintenant un repère $(A;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})$.
   1. Déterminer les coordonnées des points $A$, $B$, $C$, $I$ et $G_m$. 1pt
   2. Déterminer une équation des droites $(BG_m)$, $(AC)$ et $(CG_m)$. 1,5pt
   3. En déduire les coordonnées de $E$ et $F$, et conclure que les points $I$, $E$ et $F$ sont alignés. 1pt

L’exercice 3 : 3 points

Le plan est muni du repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$. On donne les points : $A(1;2)$, $B(-2;3)$ et $C(1;9)$.

1. Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que : $\overrightarrow{CO}=\text{bar}\{(A,a),(B,b),(C,-1)\}$. 0,75pt
2. On suppose $a\leq 3$ et $b=1$. Montrer que tout point $M$ du plan vérifie : $3MA^2+MB^2+MC^2=30MO^2+3OB^2-OC^2$. 0,75pt
3. Déterminer et construire l’ensemble $(C)$ des points $M$ du plan tels que : $3MA^2+MB^2-MC^2=42$. 0,75pt
4. Donner une représentation paramétrique puis une équation de $(C)$. 0,75pt

PARTIE B : ÉVALUATION DES COMPÉTENCES (04,5 pts)

Situation

Issoupha et ses amis élèves en classes de premières scientifiques font une excursion et s’arrêtent au niveau du carrefour. Ils se répartissent autour de ce carrefour comme il est représenté sur la figure géométrique. Pour ce faire, ils placent les points $A$, $B$, $C$ et $G$ (centre du cercle), un repère trigonométrique étant le carrefour ; ils repèrent ensuite le triangle $ABC$ et les points $I$, $J$ et $K$ tels que : $\overrightarrow{BI}=3\overrightarrow{BC}$, $\overrightarrow{AJ}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{AK}=\dfrac{2}{7}\overrightarrow{AB}$.

Après cela, Issoupha et ses amis se rendent au niveau du restaurant le MIMIE pour un repas. La distance entre le carrefour et le restaurant est de $400$ m.

Ils empruntent deux voies. La première voiture parcourt cette distance à $20$ m/s de plus que l’autre et met une seconde de moins en route. Après le repas, ils doivent se partager équitablement la facture qui s’élève à $5000$ FCFA ; mais deux d’entre eux sont partis sans payer, laissant aux autres une charge supplémentaire de $125$ FCFA par personne.

Tâches

1. Sachant qu’un carrefour est l’intersection des droites $(AI)$, $(BJ)$ et $(CK)$, montrer que $G\in (AI)\cap(BJ)\cap(CK)$. 1,5pt
2. Déterminer pour chaque voiture la vitesse qui lui permet d’atteindre le carrefour et le restaurant MIMIE. 1,5pt
3. Si $x$ désigne le nombre initial de personnes au départ de l’excursion, justifier que $x$ vérifie l’équation $x^2-2x-80=0$ et déterminer $x$. 1,5pt