PC : probatoire blanc en maths

Exercice 1 : (4,5 points)

Suite numérique

1. Soit $x \in \mathbb{R}$. On définit la suite numérique $(u_n)$ par : $$ \begin{cases} u_1 = 140\\ u_{n+1}=\dfrac12 u_n \cos 2x + 220\sin^2 x,\ \ \forall n\in\mathbb{N}^* \end{cases} $$
   1. Montrer que $u_2 = 210 – 200\sin^2 x$. 0,5pt
   2. Déterminer dans $]-\pi,\pi]$ les valeurs de $x$ pour lesquelles $u_2 = 160$. 1pt
   3. Existe-t-il des valeurs de $x$ pour lesquelles la suite $(u_n)$ est constante ? 0,25pt
2. Dans la suite, on suppose $x=\dfrac{\pi}{6}$ et pour tout $n\in\mathbb{N}^*$, on pose $v_n=\dfrac12 u_n – 330$.
   1. Démontrer que $(v_n)$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison. 0,75pt
   2. Exprimer $v_n$, puis $u_n$ en fonction de $n$. 0,5pt
3. Le président d’une association culturelle constate qu’à la fin de chaque année, l’association garde les $75\%$ de ses anciens adhérents et que $55$ nouvelles personnes adhèrent. On suppose que ces données chiffrées restent les mêmes au fil des ans. À la création de cette association en janvier 2010, il y avait $140$ adhérents.
   1. Quel sera le nombre d’adhérents en janvier 2011 ? 0,25pt
   2. Déterminer le nombre d’adhérents en janvier 2020. En quelle année verra-t-on pour la première fois l’effectif de l’association dépasser $215$ ? 0,75pt
   3. Déterminer le nombre d’adhérents ayant quitté cette association de sa création jusqu’en janvier 2020. 0,5pt

Exercice 2 : (4 points)

I. Dénombrement

À l’occasion de la coupe du monde 2014 de football, une entreprise brassicole organise un jeu concours. Ce jeu consiste à mettre sur le marché des bouteilles gagnantes. Pour cela, il faut imprimer sur un certain nombre de capsules un nombre de cinq chiffres distincts, choisis parmi les chiffres $1,2,3,4,5,6,7$ et de trois lettres pas nécessairement distincts, choisies parmi les lettres $a,b,c,d,e,i,l,o,p,u$. Toute capsule portant un nombre se terminant par $7$ et une voyelle gagne un écran de télévision et celle portant un nombre comportant deux chiffres pairs et deux consonnes gagne un billet d’avion.

1. Combien cette entreprise doit prévoir d’écrans de télévision ? 0,5pt
2. Combien cette entreprise doit prévoir de billets d’avion ? 0,5pt

II. Statistiques

Le tableau suivant donne la tension artérielle moyenne $y$ en fonction de l’âge $x$ d’une population.

1. Représenter le nuage des points de cette série statistique. 0,75pt
2. Déterminer les coordonnées du point moyen de cette série statistique. 0,75pt
3. Calculer le coefficient de corrélation linéaire de cette série. Ce résultat permet-il d’envisager un ajustement linéaire ? 1pt
4. Déterminer la droite de régression linéaire de $y$ en $x$. 0,5pt

5. Estimer la tension artérielle d’une personne de 70 ans. 0,25pt

Exercice 3 : (2,75 points)

I. Géométrie dans l’espace

1. $ABCDEFGH$ est cube. On désigne par $I$, $J$ et $K$ les milieux respectifs des segments $[BF]$, $[FG]$ et $[AE]$. Démontrer que :
   1. $(DE)$ est orthogonale au plan $(IJK)$. 0,5pt
   2. La droite $(IJ)$ et $(ED)$ sont orthogonales. 0,5pt

II. Transformations

Soit $(D)$ la droite d’équation $2x-y+1=0$ et on note par $S$ la symétrie orthogonale d’axe $(D)$ et par $h$ la transformation analytique : $$ \begin{cases} 3x’=-2(x+3)\\ -3y’=2(y+1) \end{cases} $$

1. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de $h$. 0,5pt
2. Déterminer l’expression analytique de $S$. 0,5pt
3. Déterminer la nature et l’expression analytique de $S\circ h$. 0,75pt

Problème B : (7,5 points)

(Le problème comporte deux parties indépendantes A et B.)

Partie A : (1,75 points)

Dans le plan orienté, on considère un rectangle $ABCD$ tel que $\mathrm{mes}(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD})=\dfrac{\pi}{2}\,[2\pi]$ et $AB=2AD$. On note $I$ et $J$ les milieux respectifs des segments $[AB]$ et $[CD]$ et $K$ le symétrique de $I$ par rapport à $(CD)$. On pose $f=S_{(JC)}\circ t_{\overrightarrow{AB}}\circ S_{(IJ)}$.

1. Caractériser l’isométrie $S_{(JC)}\circ S_{(IJ)}$. 0,5pt
2. En déduire la nature et les éléments caractéristiques de $f$. 0,75pt
3. Construire l’image du triangle $ADC$ par $f$. 0,5pt

Partie B : (7 points)

Soit la fonction $f$ définie dans $\mathbb{R}$ par : $$ \begin{cases} f(x)=\dfrac{x^2-x-2}{x+1} & \text{si } x\ge 0\\ f(x)=\dfrac{1}{3}x^3+2x^2+3x-2 & \text{si } x<0 \end{cases} $$ et soit $(C)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

1. 1. Déterminer l’ensemble de définition de $f$. 0,25pt
   2. Étudier la continuité de $f$ en $0$. 0,25pt
   3. Étudier la dérivabilité de $f$ en $0$. Que peut-on dire du point d’abscisse $0$ ? 1pt
2. 1. Étudier le sens de variation de $f$. 1,5pt
   2. Montrer que $(C)$ admet deux asymptotes que l’on précisera. 0,75pt
   3. Dresser le tableau de variation de $f$. 0,75pt
3. Construire soigneusement $(C)$. 1,25pt
4. Existe-t-il des points de $(C)$ où les tangentes sont parallèles à la droite $(D)$ d’équation $-3x+y+2=0$ ?
   1. 0,75pt
   2. Déterminer graphiquement, suivant les valeurs du paramètre réel $\lambda$, le nombre de solution de l’équation $f(x)=3x+\lambda$. 0,75pt

Exercice I : (3,5 points)

A. Questions à choix multiples

Cocher le numéro de la question et la lettre correspondant à la bonne réponse. Aucune justification n’est demandée.

1. Le cercle d’équation $x^2+y^2-2x-1=0$ et la droite $(D)$ d’équation $y=x+m$, avec $m\in\mathbb{R}$, sont sécants si :
   1. $m\in[-3;1]$
   2. $m\in[-2;2]$
   3. $m\le\sqrt{2}$
   4. $m\in[-3;-2]$
   0,75pt
2. L’ensemble solution du système $$ \begin{cases} 2x-y+3z=0\\ -x+3y-z=3\\ x+y-z=2 \end{cases} $$ est :
   1. $\{(2;1;1)\}$
   2. $\{(-2;-1;1)\}$
   3. $\{(1;2;-1)\}$
   4. $\{(2;1;-1)\}$
   0,75pt
3. L’ensemble de définition de la fonction définie par $$ f(x)= \begin{cases} x+1 & \text{si } x\le 0\\ \sqrt{x^2-1} & \text{si } x>0 \end{cases} $$ est :
   1. $\mathbb{R}$
   2. $\mathbb{R}\setminus\{-1\}$
   3. $\mathbb{R}^+$
   4. $\mathbb{R}^-$
   0,5pt

B. Étude de fonction

Pour tout réel $x$, on considère la fonction $P$ définie par $$ P(x)=\dfrac{\sin x}{x\cos x}. $$ On note $(C_p)$ sa courbe représentative dans le repère orthonormé $(O,I,J)$.

1. Déterminer l’ensemble de définition de $P$. 0,5pt
2. Exprimer $P(x)$ en fonction de $\tan x$. 0,5pt
3. Déterminer les points de rencontre entre $(C_p)$ et la droite $(OI)$. 0,5pt

Exercice II : (3,5 points)

A. Géométrie plane et barycentre

$ABC$ est un triangle rectangle en $A$ tel que $AB=a$ et $AC=2a$. On désigne par $I$ le milieu de $[AC]$ et $G$ le barycentre du système $\{(A;3),(B;-2),(C;1)\}$.

1. Construire le point $G$ et préciser la nature du quadrilatère $ABIG$. Exprimer en fonction de $a$ les distances $GA$, $GB$ et $GC$. 1pt

B. Applications quadratiques

1. À tout point $M$ du plan, on associe le nombre réel $f(M)=3MA^2-2MB^2+MC^2$.
   1. Exprimer $f(M)$ en fonction de $MG$ et de $a$. 0,75pt
   2. Déterminer et construire l’ensemble $(D)$ des points $M$ du plan tels que $f(M)=2a^2$. 0,75pt
2. À tout point $M$ du plan, on associe maintenant le nombre réel $h(M)=3MA^2-2MB^2-MC^2$.
   1. Déterminer $h(M)$ en fonction de $MG$ et de $a$. 0,75pt
   2. On désigne par $(\Delta)$ l’ensemble des points $M$ du plan tels que $h(M)=2a^2$. 0,25pt
   3. Vérifier que les points $I$ et $B$ appartiennent à $(\Delta)$ et préciser la nature de cet ensemble. Construire $(\Delta)$. 0,5pt

Exercice III : (3 points)

Dénombrement et permutations

Soit $A=\{1,2,3,\ldots,n\}$ un ensemble fini de cardinalité $n\ge 1$. On appelle dérangement des éléments de $A$ toute permutation de $\{1,2,3,\ldots,n\}$ laissant uniquement des éléments différents de leurs positions initiales.

Exemple : Pour $A=\{1,2\}$, la permutation $(2,1)$ est un dérangement de $A$.

On note $D_n$ le nombre de dérangements de $n$ éléments d’un ensemble à $n$ éléments, avec $D_0=1$ et $D_1=0$.

1. Dresser la liste de toutes les permutations de $\{1,2,3\}$ et en déduire les valeurs de $D_3$, $D_1$ et $D_2$. 3pt

2. 1. Justifier que $D_{n+1}=(n+1)D_n+(-1)^n$. 0,5pt
   2. En déduire que $D_{n+2}=(n+1)D_{n+1}+(n+1)D_n$. 0,5pt
3. On admet alors que, pour tout entier naturel $n\ge 1$, $$ D_n=n!\left(1-\frac1{1!}+\frac1{2!}-\frac1{3!}+\cdots+(-1)^n\frac1{n!}\right). $$ 0,5pt
4. Cinq personnes en rentrant dans un stade veulent s’installer sur des portes numérotées aux vestiaires A. À la sortie, il y a coupure d’énergie, mais chacun rentre avec un manteau.
   1. Combien y a-t-il de répartitions possibles des manteaux aux cinq hommes ? 0,75pt
   2. Combien y a-t-il de répartitions possibles sachant que personne n’est rentré avec son manteau ? 0,75pt

Problème : (10 points)

Le problème comporte deux parties indépendantes et obligatoires.

Partie A : Fonction

A. Répondre par vrai ou faux

Aucune justification n’est demandée.

1. Si $f\circ g$ est injective, alors $f$ est injective. 0,5pt
2. Si $g\circ f$ est surjective, alors $(g\circ f)^{-1}=g^{-1}\circ f^{-1}$. 0,5pt

B. Étude d’une fonction rationnelle

On considère la fonction numérique d’une variable réelle définie par $$ f(x)=\frac{2x}{1+x^2}. $$ On désigne par $(C)$ sa courbe représentative dans le repère orthonormé $(O,I,J)$.

1. $f$ est-elle injective, surjective ? Justifier. 0,75pt
2. Calculer les limites de $f$ aux bornes de son ensemble de définition. 0,75pt
3. Montrer que $f(\mathbb{R})=[-1;1]$. 0,75pt
4. Montrer que la restriction de $f$ définie par $f:[-1;1]\to[-1;1]$ est une bijection. 0,75pt

Partie B : Géométrie plane

Dans le plan muni d’un repère, on considère un triangle rectangle isocèle $ABC$ tel que $\mathrm{mes}(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=\dfrac{\pi}{2}$. $I$ est le milieu de $[BC]$ et $O$ est le milieu de $[AI]$. On désigne par $r$ le quart de tour direct de centre $B$, par $t$ le quart de tour direct de centre $O$, et par $\tau$ la translation de vecteur $\overrightarrow{AC}$.

1. On considère l’application du plan $g$ définie par $g=\tau\circ r\circ t$.
   1. Déterminer les images des points $I$ et $O$ par $g$. 1pt
   2. Déterminer la nature et le(s) élément(s) caractéristique(s) de $g$. 0,5pt
2. Écrire $O$ comme barycentre des points $A$, $B$ et $C$ affectés de coefficients à déterminer. 0,5pt
3. Soit $h$ l’application du plan $S$ définie par $$ h(M)=2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}. $$
   1. Montrer que $h$ admet un unique point invariant $M’$ à déterminer. 0,75pt
   2. Montrer que $h(M)=\overrightarrow{OM}+3\overrightarrow{AO}$. 0,5pt
   3. Déterminer la nature de $h$ et ses éléments caractéristiques. 0,5pt
   4. Exprimer $h^{-1}$ en fonction de $x$ et $y$. 0,75pt
   5. Déterminer la nature de l’application $t$ telle que $t=h^{-1}\circ g$. 0,75pt

EXERCICE 1 (03 points)

Modélisation : répartition et budget

Une équipe de travailleurs est composée de personnes réparties en trois catégories A, B et C. Pour une première tâche, on leur a versé $39200F$ à raison de $8000F$ par personne de la catégorie A, $4000F$ par personne de la catégorie B et $800F$ par personne de la catégorie C.

Pour une deuxième tâche, il leur a été versé $22800F$ à raison de $4000F$ par personne de la catégorie A, $2000F$ par personne de la catégorie B et $1200F$ par personne de la catégorie C.

On désigne par $x$, $y$, $z$ le nombre de personnes dans les catégories A, B et C respectivement.

1. Écrire un système d’équations permettant de calculer $x$, $y$ et $z$. 0,5pt
2. On admet qu’il y a au moins un travailleur par catégorie.
   1. Montrer que $x$ est inférieur à $5$. 0,5pt
   2. Quel est le nombre maximal de personnes de la catégorie B ? 0,5pt
3. Déterminer le nombre de personne par catégorie. 1,5pt

EXERCICE 2 (06 points)

Fonction : étude, tangente et construction

On désigne par $f$ la fonction définie sur $]-4;+\infty[$ par $f(x)=\dfrac{2x+3}{x+4}$ et $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé.

1. 1. Étudier les variations de $f$ et dresser son tableau de variation. 1pt
   2. Montrer qu’il existe un unique point $A$ de $\mathcal{C}_f$ dont on déterminera les coordonnées où la tangente à $\mathcal{C}_f$ est parallèle à la droite d’équation $y=5x+1$. 0,5pt
   3. Construire $\mathcal{C}_f$ ainsi que sa tangente en $A$.
      (On placera en particulier les points d’abscisses $-3$, $0$ et $1$.) 1pt
2. Soit $(U_n)$ la suite définie par $U_0=0$ et $U_{n+1}=\dfrac{2U_n+3}{U_n+4}$.
   1. En utilisant la courbe de $f$ et la droite $\Delta : y=x$, représenter graphiquement les trois premiers termes de la suite $(U_n)$. 0,75pt
   2. Faire une conjecture sur la limite de la suite $(U_n)$. 0,25pt
3. $(V_n)$ est la suite définie pour $n\in\mathbb{N}$ par : $V_n=\dfrac{U_n-1}{U_n+3}$.
   1. Montrer que $(V_n)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme. 1pt
   2. Exprimer $V_n$ en fonction de $n$, puis montrer que $U_n=\dfrac{1-\left(\dfrac{1}{5}\right)^n}{1+\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{5}\right)^n}$. 0,5pt
   3. Vérifier la conjecture faite à la question 2.b). 0,5pt

PROBLÈME (11 points)

Les parties A, B et C sont indépendantes

Partie A

$ABCD$ est un carré de côté $a$ ($a>0$). $I$ est le milieu de $[BC]$ et $J$ celui de $[CD]$.
$\mathrm{Mes}(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD})=\dfrac{\pi}{2}$. On pose $|IJ|=\theta$.

1. Montrer que $AI=\dfrac{a\sqrt{5}}{2}$. 0,5pt
2. 1. Exprimer le produit scalaire $\overrightarrow{AI}\cdot\overrightarrow{AJ}$ en fonction de $a$ et $\cos\theta$. 0,5pt
   2. En utilisant la relation de Chasles, montrer que $\overrightarrow{AI}\cdot\overrightarrow{AJ}=a^2$. 0,5pt
   3. En déduire la valeur exacte de $\cos\theta$. 0,5pt
3. On suppose que $\theta=\dfrac{\pi}{5}$.
   1. Déterminer les réels $\alpha$ et $\beta$ tels que $5\sqrt{3}\cos x-\sin x=\alpha\cos(x+\beta)$. 0,5pt
   2. Résoudre dans $[0,2\pi[$ l’équation $5\sqrt{3}\cos x-5\sin x-8=0$. 1pt

Partie B

Le plan est muni du repère $(O,I,J)$. On considère l’ensemble $(\Gamma)$ des points $M(x,y)$ du plan tels que $x^2+y^2-4x-6y+9=0$.

1. Vérifier que $(\Gamma)$ est un cercle dont on précisera le centre $\Omega$ et le rayon. 0,75pt
2. $A$, $B$ et $C$ sont des points de $(\Gamma)$ tels que $[AB]$ soit un diamètre ; $I$ est le milieu de $[BC]$.
   1. Montrer que $(\Omega I)\perp(BC)$ et que $\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{\Omega I}$. 0,75pt
   2. En déduire le centre et le rayon de l’arc $(AC)$ et montrer que $I$ est le milieu de l’arc $(AC)$. 0,75pt
   3. Soit $D(2;-1)$ ; montrer que $(AC)\perp(BC)$. 0,75pt
3. Soit $J(2,7)$ et $m$ un réel donné.
   1. Écrire une équation cartésienne de la droite $(D_m)$ passant par $J$ et de coefficient directeur $m$. 0,5pt
   2. Exprimer la distance de $A$ à $(D_m)$ en fonction de $m$. 0,5pt
   3. En déduire qu’il existe deux tangentes à $(\Gamma)$ passant par $J$ dont on précisera les pentes. 0,5pt

Partie C

On considère dans l’espace le plan $(P)$ : $2x-y+z-5=0$, la droite $(D)$ dont une équation paramétrique est : $$ \begin{cases} x=6\alpha+1\\ y=-3\alpha+1\\ z=3\alpha-2 \end{cases} $$ et le point $A(1,1,1)$.

1. Montrer que $(D)$ est orthogonale à $(P)$. 0,5pt
2. Soit $B$ le point d’intersection de $(D)$ et $(P)$. Calculer les coordonnées de $B$. 0,5pt
3. 1. Écrire une équation cartésienne de la sphère $(S)$ de centre $A$ et de rayon $2$. 0,5pt
   2. Calculer la distance de $A$ au plan $(P)$. 0,5pt
   3. En déduire que l’intersection de $(P)$ et $(S)$ est un cercle dont on précisera le centre et le rayon. 1pt

Exercice 1 (05,5 points)

I. Dénombrement : capsules gagnantes

À l’occasion de la coupe du monde 2002 de football, une usine de brasserie cameroun voudrait organiser un jeu concours. Ce jeu consiste à mettre sur le marché des bouteilles gagnantes. Pour cela, il faut imprimer sur un certain nombre de capsules un nombre de cinq chiffres distincts, choisis parmi ceux de la liste $E=\{1;2;3;4;5;6;7\}$.

1. Déterminer le nombre de capsules à imprimer. 0,5pt
2. Déterminer le nombre de capsules à imprimer dont le nombre inscrit :
   1. Commence par $7$. 0,5pt
   2. Ses chiffres sont tous distincts et il contient deux chiffres pairs. 0,5pt
   3. Contient au moins un chiffre pair. 0,5pt
3. Toute capsule portant un nombre se terminant par $7$ gagne un écran de télévision et celle dont le nombre inscrit commence par $765$ gagne un billet d’avion pour l’Afrique du Sud. Déterminer le nombre de :
   1. Écrans de télévision. 0,5pt
   2. Billets d’avion pour l’Afrique du Sud. 0,5pt

II. Algèbre linéaire : application et bases

De bilan d’avion pour l’Afrique du Sud.

Soit $E$ un espace vectoriel de base $B=(\vec{i},\vec{j})$, et $f$ l’endomorphisme de $E$ défini par : $$ f(x\vec{i}+y\vec{j})=(-3x+2y)\vec{i}+x\vec{j}. $$

1. Déterminer l’ensemble des réels $\lambda$ tels que $f$ est un automorphisme. 0,5pt
2. On pose $\alpha=\dfrac{1}{2}$. Déterminer que $Ker f$ et $Im f$ sont des droites vectorielles, dont on donnera leur base respective. 1pt
3. On pose $\vec{e}_1=-\sqrt{3}\,\vec{i}+\vec{j}$ et $\vec{e}_2=\vec{i}+2\vec{j}$. Démontrer que $(\vec{e}_1;\vec{e}_2)$ est une base de $E$, puis construire la matrice de $f$ dans cette base. 1pt

Exercice 2 (05 points)

I. Géométrie : triangle équilatéral et transformations

Le triangle $ABC$ est un triangle équilatéral de côté $6$ cm et de centre de gravité $G$. Le point $D$ est l’image du point $C$ par la translation qui applique $A$ sur $B$. Le point $O$ est le centre de gravité du triangle $BCD$. Les points $I$ et $J$ sont les milieux respectifs des segments $[BC]$ et $[BA]$. $K$ est le symétrique de $A$ par rapport à $B$.

1. Faire une figure. 0,5pt
2. Déterminer une mesure en radian des angles orientés $\widehat{(BO;BC)}$ et $\widehat{(BO;BA)}$. 0,5pt
3. Démontrer que le point $O$ appartient à la médiatrice de $[AB]$. 0,5pt
4. Démontrer qu’il existe une rotation $r$ qui transforme $A$ en $C$ et $C$ en $B$ puis préciser son centre et son angle. 1pt

II. Homothétie

Le plan est muni d’un repère orthonormé. On donne $A(2;1)$, $B(-3;2)$, $C(-1;4)$. On note $(\gamma_k)$ l’ensemble des points $M(x;y)$ du plan tel que : $$ \overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}-x\overrightarrow{MC}=\vec{0}. $$

1. 1. Déterminer, suivant le réel $k$, l’ensemble $(\gamma_k)$. 1pt
   2. Déduire la nature et les éléments caractéristiques de $(\gamma)$ pour $k=66$. 1pt
2. Soit $h$ l’homothétie de centre $A$ et de rapport $k$.
   1. Déterminer le rapport de cette homothétie. 0,5pt
   2. Déterminer l’expression analytique de $h$. 0,5pt

3. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de l’image de $(\gamma)$ par $h$, puis déduire son aire. 1pt

Problème : (10 points)

Les parties A, B et C de ce problème sont liées.

Partie A : Géométrie plane et barycentre

Dans le plan orienté, on considère le rectangle $ABCD$ de sens direct et de centre $O$ tel que $AB=a$ et $BC=2a$. $G$ est le point de $[BD]$ tel que $\overrightarrow{BG}=\dfrac14\overrightarrow{BD}$.

1. Faire une figure aussi complète au fur et à mesure. 0,5pt
2. Démontrer que $G$ est le barycentre des points $A$, $B$ et $C$ affectés de coefficients adéquats. 0,75pt
3. Justifier que $BG=\dfrac{\sqrt5}{4}a$, $AG=\dfrac{\sqrt{13}}{4}a$ et $CG=\dfrac{\sqrt{37}}{4}a$. 0,75pt
4. Soit $M$ un point du plan et $(\tau)$ l’ensemble des points $M$ tels que : $$ MA^2+2MB^2+MC^2=\frac{75}{16}a^2. $$
   1. Montrer que si $M\in(\tau)$ alors : $$ MA^2+2MB^2+MC^2=4MG^2+AG^2+2BG^2+CG^2. $$ 0,75pt
   2. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de $(\tau)$. 0,75pt

Partie B : Analyse et optimisation

1. Sur le même rectangle $ABCD$ de sens direct et de centre $O$, on définit $(\Delta)$ la droite qui passe par le point $D$ et rencontre $[AB]$ en un point $P$ et $[BC]$ en un point $N$. On pose $x=AP$.
   1. Justifier que $AP=x$ et montrer que $S(x)=\dfrac{x^2+4ax}{2}$. 1pt
   2. Montrer que l’aire du trapèze $ABND$ est $S(x)=\dfrac{x^2+4ax}{2}$. 1pt
2. Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $$ f(x)=\frac{x^2+4ax}{2}. $$ On désigne par $(C_f)$ sa courbe représentative dans le repère orthonormé du plan.
   1. Étudier les variations de $f$ et dresser son tableau de variations. 1pt
   2. Justifier que $(C_f)$ admet des asymptotes les droites $(D)$ : $x=0$ et $y=2a$. 0,5pt
   3. Tracer la courbe $(C_f)$ de $f$. 1pt
   4. Montrer que pour tout $x\ge 0$, $f(x)\ge f(2)$. 0,5pt
   5. En déduire la valeur de $x$ pour laquelle la surface $S(x)$ du triangle $PBN$ est minimale. 0,75pt

Partie C : Analyse trigonométrique

1. Soit $g$ la fonction associée à la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $$ g(x)=\frac{\cos^2 x+4\cos x+4}{2\cos x}. $$ On désigne par $(C_g)$ sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère orthonormé.
   1. Déterminer l’ensemble de définition $D_g$ de $g$. 0,5pt
   2. Démontrer que la fonction $g$ est $2\pi$-périodique. 0,5pt
   3. Déduire que $g$ est sur $]-\pi;\pi[$. 0,25pt
   4. Montrer que la fonction $g$ est paire. 0,5pt
   5. Montrer que le domaine d’étude de $g$ est $]-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}[$ puis que l’on peut compléter cette partie de la courbe par une transformation plane que l’on précisera. 0,5pt
   6. Démontrer que $\forall x\in D_g$, $g(x)=\dfrac{2\cos x+2}{\cos x}$. 0,75pt
   7. Dresser le tableau de variations de $g$ sur l’intervalle $]-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}[$. 1pt
   8. Tracer $(C_g)$ sur l’intervalle $[-3\pi;3\pi]$. 1pt

Exercice 1

Géométrie plane : barycentre et droites concourantes

Soit $ABC$ un triangle quelconque du plan. On définit les points $D$, $E$, $M$ et $F$ de la façon suivante : $$ \overrightarrow{AD}=\frac{3}{5}\overrightarrow{AB},\quad \overrightarrow{BE}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BC},\quad M=(CD)\cap(AE)\quad \text{et}\quad \overrightarrow{CF}=k\overrightarrow{CA}, $$ où $k$ est un nombre réel non nul.

1. Faire une figure sur laquelle on mettra en exergue les points $D$, $E$ et $M$.  
2. Exprimer le point $M$ comme barycentre des points $A$, $B$ et $C$.  
3. Déterminer le(s) réel(s) $k$ pour que les droites $(CD)$, $(AE)$ et $(BF)$ soient concourantes.  
4. Déterminer et construire l’ensemble des points $N$ du plan tels que : $$ \left\|6\overrightarrow{NA}+9\overrightarrow{NB}\right\| = \left\|5\overrightarrow{NB}+10\overrightarrow{NC}\right\|. $$  

Exercice 2

Suites numériques

Soit $(U_n)$ la suite numérique définie par $U_0=1$ et, pour tout entier naturel $n$, $$ U_{n+1}=U_n+2n+1. $$

1. Montrer que la suite $(U_n)$ est croissante.  
2. On considère la suite $(V_n)$ définie par : $V_n=U_{n+1}-U_n$.
   1. Exprimer $V_n$ en fonction de $n$, puis $V_{n+1}$ en fonction de $V_n$.  
   2. Calculer, en fonction de $n$, la somme $$ S_n=V_0+V_1+\cdots+V_{n-1}+V_n. $$  
   3. En déduire l’expression explicite de la suite $(U_n)$.  

Exercice 3

Probabilités et équation trigonométrique

On dispose d’une urne comportant cinq boules portant le numéro $(+1)$, trois boules portant le numéro $(-1)$ et deux boules portant le numéro $(+\sqrt{3})$, toutes indiscernables au toucher. On tire successivement avec remise trois boules de cette urne. Le premier résultat est noté $a$, le second $b$ et le troisième $c$. On considère l’équation $(E)$ : $$ a\cos x+b\sin x=c. $$

1. Établir la condition pour laquelle l’équation $(E)$ n’admet pas de solution dans $\mathbb{R}$.  
2. Déterminer le nombre de séquences de tirages où l’équation $(E)$ admet :
   1. Au moins une solution.  
   2. Exactement deux solutions dans l’intervalle $[0;\pi[$.  

Exercice 4

Transformations du plan

Dans le plan affine euclidien, on considère un triangle $ABC$ rectangle en $C$ tel que $\mathrm{mes}(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB})=\dfrac{\pi}{2}\ [2\pi]$. L’on désigne par $r$ le quart de tour direct de centre $A$, et on note $f$ sa réciproque. On définit la similitude $g$ telle que : $$ g=r\circ f\circ r^{-1}. $$ On appelle $D$ le milieu du segment $[CD]$. On définit les points $D$, $E$ et $I$.

1. Réaliser une figure sur laquelle on mettra en évidence les points $D$, $E$ et $I$.  
2. 1. Montrer qu’il existe une rotation $q$ qui envoie $A$ en $D$ et $C$ en $A$.  
   2. Déterminer les éléments géométriques de $q$.  
3. Soit la transformation $g$ définie par $g=f\circ r$ ; et le point $F$ image du point $E$ par $g$.  

1. Montrer que la transformation $g$ est une translation que l’on caractérisera.  
2. Construire, tout en laissant visibles les tracés, le point $F$.  
3. Montrer que $f(B)=F$, puis déduire la nature du triangle $BIF$.  
4. Montrer que les points $C$, $A$ et $F$ sont alignés.  

Exercice 5

Étude d’une fonction définie par morceaux

Soit la fonction $f$ d’une variable réelle $x$ définie par : $$ f(x)= \begin{cases} (x-1)^2 & \text{si } x\ge 1,\\ -x+b+\dfrac1x & \text{si } x<1, \end{cases} \qquad b\in\mathbb{R}. $$

1. Déterminer l’ensemble de définition $D_f$.  
2. Déterminer la valeur réelle de $b$ pour que $f$ soit continue au point d’abscisse $x_0=1$.  

On suppose dans la suite de cet exercice que : $b=0$.

3. Calculer les limites de $f$ aux bornes de l’intervalle $D_f$.  
4. 1. Étudier la dérivabilité de $f$ au point d’abscisse $x_0=1$.  
   2. Calculer, pour tout $x\in D_f\setminus\{1\}$, le réel $f'(x)$, puis dresser le tableau de variations de $f$.  
5. Dans le plan muni du repère orthonormé $(O,I,J)$, on note $(C_f)$ la courbe représentative de $f$, la demi-tangente $(T)$ : $2x+y-2=0$ à droite de $x_0=1$ à $(C_f)$, et la droite $(D)$ : $y=-x$.
   1. Montrer que la droite $(T)$ est asymptote oblique à $(C_f)$ lorsque $x$ tend vers $-\infty$.  
   2. Montrer que pour tout $x\in]0;1[$, $(C_f)$ est au-dessus de la tangente $(T)$.  
   3. Construire, judicieusement, la courbe $(C_f)$.  
   4. Déduire l’ensemble $$ I=\{\lambda\in\mathbb{R}\mid f(x)=\lambda \text{ n’a pas de solution}\}. $$  

PARTIE 2 : ÉVALUATION DES COMPÉTENCES

Modélisation par une suite

La famille TOTO dispose d’un champ dont la superficie ne permet pas de semer plus de $1{,}5\times10^6$ graines. Chaque graine semée permet d’en récolter dix. En 2010, cette famille sème $10^5$ graines ; après la récolte, elle consomme de façon définitive $84\%$ de cette récolte. En 2011, on sème le reste des graines et on répète le procédé de consommation et de culture.

1. Combien de graines ont été semées en 2013 par la famille TOTO ?  
2. Combien de graines disposera la famille TOTO pour l’ensemencement en l’an 2021 ?  
3. Au bout de combien d’années la famille TOTO constatera-t-elle un excédent de graines pour les semailles ?  

Exercice 1 : (3,75 points)

Barycentre et lieux géométriques

L’unité de longueur est le centimètre. $A$, $B$ et $C$ sont trois points du plan tels que $AB=AC=2$ et $BC=2\sqrt{2}$. On note $I$ le milieu du segment $[BC]$.

1. 1. Donner la nature exacte du triangle $ABC$ et construire ce triangle. 0,5pt
   2. Construire le point barycentre des points pondérés $(A,1)$ et $(I,2)$. 0,5pt
   3. En déduire que $J$ est le centre de gravité du triangle $ABC$. 0,5pt
2. On considère l’ensemble $(\Gamma)$ des points $M$ du plan tels que $AM^2+BM^2+CM^2=8$.
   1. Montrer que pour tout point $M$ du plan : $$ BM^2+CM^2=2IM^2+2IB^2. $$ 1pt
   2. En déduire que pour tout point $M$ du plan : $$ AM^2+BM^2+CM^2=3IM^2+\frac{4}{3}. $$ 0,5pt
   3. Déterminer la nature de l’ensemble $(\Gamma)$ et proposer sa construction. 0,75pt

Exercice 2 : (3 points)

Géométrie de l’espace

Soit le cube $ABCDEFGH$ représenté par la figure ci-contre. L’espace est orienté et repéré par le repère orthonormé direct $(D;\vec{DA},\vec{DC},\vec{DH})$.

1. Déterminer les coordonnées des points $E$ et $F$. 0,5pt
2. Déterminer que la droite $(EC)$ est orthogonale au plan $(P)$. 0,5pt
3. Déterminer une équation cartésienne du plan $(P)$. 0,5pt
4. Soit $M$ le projeté orthogonal de $E$ sur le plan $(P)$.
   1. Déterminer les coordonnées du point $M$ et en déduire la distance $d(E,(P))$. 0,75pt
   2. Vérifier que les coordonnées de $M(x,y,z)$ vérifient l’équation : $$ x^2+y^2+z^2-2x-2z-2=0. $$ 0,75pt
   3. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de $(S)$. 0,75pt

Exercice 3 : (5 points)

Étude de fonction et représentation graphique

Monsieur BLANGA a 4 enfants qui fréquentent un lycée de la place. Parmi eux, $x$ font la série $C$ et $4-x$ font la série $D$, avec $x\ge1$ et $4-x\ge1$. On choisit au hasard et simultanément deux enfants parmi les quatre. On note $P(x)$ le nombre de possibilités pour qu’ils fassent la même série. Montrer que : $$ P(x)=\frac{2x^2-4x+6}{2}. $$

La fonction $f$ est définie sur $D_f=\mathbb{R}\setminus\{0;2\}$ par $$ f(x)=\frac{x^2-4x+6}{x-2}. $$ On note $(C_f)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O,I,J)$.

1. Calculer les limites de $f$ aux bornes de $D_f$. 0,5pt
2. 1. Montrer que pour tout $x\in D_f$, $f'(x)=\dfrac{P(x)}{(x-2)^2}$. 0,5pt
   2. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’inéquation $P(x)\ge0$. 0,5pt
   3. En déduire le tableau de variations de $f$. 0,5pt
3. Montrer que la droite $(D)$ d’équation $y=x$ est asymptote à $(C_f)$. 0,25pt
4. Tracer $(C_f)$ et $(D)$. 0,75pt

4. Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ par $$ g(x)=\frac{x^2+2x-2}{x}. $$
   1. Montrer que la courbe de $g$ est l’image de la courbe de $f$ par la translation de vecteur $-2\vec{i}-2\vec{j}$. 0,5pt
   2. En déduire la représentation graphique de $g$. 0,25pt

Exercice 4 : (3,25 points)

Algèbre linéaire : endomorphisme et bases

$E$ est un plan vectoriel dont une base est $B=(\vec{i},\vec{j})$. Soit $f$ l’endomorphisme de $E$ défini par : $$ \begin{cases} f(\vec{i})=\cos\alpha\,\vec{i}+\sin\alpha\,\vec{j},\\ f(\vec{j})=-\sin\alpha\,\vec{i}+\cos\alpha\,\vec{j}, \end{cases} \qquad \alpha\in\left]-\pi;\pi\right[. $$

1. Déterminer la matrice $A$ de $f$ dans la base $B$ et préciser si $f$ est un automorphisme de $E$. 0,25pt

Dans la suite de l’exercice on donne $\alpha=\dfrac{\pi}{3}$.

2. Montrer que $\vec{u}=\vec{i}+\sqrt{3}\vec{j}$ est un vecteur directeur d’une droite vectorielle dont on précisera la nature. 0,75pt
3. On pose $\vec{v}=\sqrt{3}\vec{i}-\vec{j}$.
   1. Montrer que $(\vec{u},\vec{v})$ est une base de $E$. 0,25pt
   2. Déterminer la matrice $A’$ de $f$ dans la base $B’$. 0,25pt

PARTIE B : ÉVALUATION DES COMPÉTENCES (5 points)

Situation-problème : gestion financière

Pour assister à une finale de la coupe du Cameroun, un groupe de supporters souhaite quitter la localité pour se rendre à Yaoundé. Il décide de réserver des bus une agence de voyage. Les clauses de la négociation sont les suivantes :

• S’il y a moins de $120$ supporters, le groupe paiera $126\,000$ FCFA à raison d’un montant de $1\,200$ FCFA par billet.
• S’il y a plus de $120$ supporters, le groupe bénéficiera d’une réduction de $1\,000$ FCFA par billet.

Pendant la durée de la coupe de $120$ supporters en plus s’aiment réunir ensemble. FOUDA, fanatique de football, voudrait bien y aller et a réservé $150\,000$ FCFA pour son transport. Ce même jour, FOUDA a remis une somme de $20\,000$ FCFA à sa fille ATÉBA pour ses études. Qu’organisera aussi dans le groupe s’élève à $50\,000$ FCFA à payer par chaque personne pour diverses charges. Les autres élèves sont obligés d’apporter une contribution supplémentaire de $120\,000$ FCFA.

Au regard de cette situation, FOUDA a payé et n’est pas sûr si son montant est suffisant pour partir.

Par ailleurs, Madame Atangana, frère aîné de M. FOUDA, est décédée avant son décès, ayant été mariée dans un village dont le maître carré coûtait $5\,000$ FCFA. Après deux décès successifs de mêmes parents initiés, Madame Atangana avait vendu une parcelle de $100\,\text{m}^2$ juste après le deuxième décès. Le reste des terrains a été vendu entièrement au fur et à mesure de la disparition de sa mère décédée avant la naissance de ses enfants. FOUDA devra savoir combien d’argent il doit avoir dans quelle mesure il pourra aider le reste des enfants surtout que deux des enfants ne sont pas pris en charge par le père.

Tâches

1. La somme dont dispose M. FOUDA lui permettra-t-elle de se déplacer afin d’assister à cette finale de la coupe du Cameroun ? 1,5pt
2. Le montant dont dispose ATÉBA lui permettra-t-il de prendre part à cette excursion ? 1,5pt
3. Quel montant M. FOUDA pourra-t-il payer pour solder la pension des deux neveux ? 1,5pt

EXERCICE 1 : (4,75 points)

Étude d’une fonction avec valeur absolue

On considère la fonction numérique d’une variable réelle $f$ définie par : $$ f(x)=\frac{2x^2+|x|-1}{|x|-1}, $$ et $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère orthogonal $(O;\vec{i};\vec{j})$ où $||\vec{i}||=2$ et $||\vec{j}||=1\text{ cm}$.

1. Déterminer l’ensemble de définition de $f$. Montrer que $f$ est une fonction paire et donner une interprétation graphique du résultat. 0,75pt
2. Écrire $f(x)$ sans symbole de valeur absolue, puis étudier la dérivabilité de $f$ en $0$. 1pt
3. Montrer que pour tout $x\in[0;1[\cup]1;+\infty[$ : $$ f(x)=2x+3+\frac{2}{x-1}. $$ 0,5pt
4. Étudier les variations de $f$ sur $[0;1[\cup]1;+\infty[$. 1pt
5. Tracer la courbe $\mathcal{C}_f$. 0,75pt
6. Discuter suivant les valeurs du réel $m$ du nombre et du signe des solutions de l’équation $$ (E_m):\; 2x^2+(1-m)|x|+m-1=0. $$ 0,75pt

EXERCICE 2 : (4 points)

Transformations géométriques

Sur la figure ci-contre, $ABC$ et $CAD$ sont deux triangles isocèles tels que $AB=AC=CD=4$, $\widehat{(AB,AC)}=\dfrac{\pi}{4}$ et $\widehat{(CD,CA)}=\dfrac{\pi}{2}$.

1. Soit $r_A$ la rotation de centre $A$ qui transforme $B$ en $C$ et $r_C$ la rotation de centre $C$ et d’angle $-\dfrac{\pi}{2}$. On pose $f=r_C\circ r_A$. On note $(\Delta_1)$ la bissectrice de l’angle $(AB,AC)$ et $(\Delta_2)$ celle de l’angle $(CD,CA)$.
   1. Déterminer les images par $f$ de $A$ et de $B$. 0,5pt
   2. Montrer que $f=S_{(\Delta_2)}\circ S_{(\Delta_1)}$ et en déduire que $f$ est une rotation dont on précisera le centre $\Omega$ et l’angle. 1,5pt

2. Soit $S$ la similitude directe de centre $\Omega$ qui transforme $A$ en $B$. On note $C’$ l’image de $C$ par $S$, $H$ le milieu du segment $[BC]$ et $H’$ son image par $S$.
   1. En utilisant le théorème d’Al-Kashi, calculer $BC$. 0,5pt
   2. En déduire la valeur exacte de $\Omega A$. 0,5pt
   3. Calculer l’angle de la similitude $S$, puis $\dfrac{\Omega A}{\Omega B}$ et en déduire le rapport de $S$. 1pt

EXERCICE 3 : (6,75 points)

I. Probabilités et équation

Un sac contient $10$ boules indiscernables au toucher. $5$ portent le numéro $1$, $3$ portent le numéro $2$ et $2$ portent le nombre $-1$. On tire successivement et sans remise deux boules du sac. L’on désigne par $a$ le nombre porté par la première boule tirée et par $b$ celui porté par la deuxième boule tirée.

On considère dans $\mathbb{R}$ l’équation $(E)$ : $$ ax^2-bx+1=0. $$

II. Algèbre linéaire

Dans le plan vectoriel $E$ muni de la base $(\vec{i},\vec{j})$, on considère l’endomorphisme $f$ de $E$ défini par : $$ f(\vec{i})=a\vec{i}+b\vec{j} \quad \text{et} \quad f(\vec{j})=2\vec{i}+a\vec{j}. $$

III. Géométrie dans l’espace

Dans l’espace muni d’un repère orthonormé $(O;\vec{i};\vec{j};\vec{k})$, on donne les points $A(2;-1;0)$, $B(-2;-3;-3)$, $C(-3;-3;2)$, le plan $(P)$ : $2x-y+z+b=0$ et l’ensemble $$ (S):\; x^2+y^2+z^2-4x+2y-4=0. $$

Questions

1. Déterminer le nombre de tirages dans chacun des cas suivants :
   1. L’équation $(E)$ admet une seule solution. 0,5pt
   2. L’endomorphisme $f$ n’est pas un automorphisme. 0,5pt
   3. Le point $B$ appartient au plan $(P)$. 0,5pt
2. 1. Montrer que $(S)$ est une sphère de centre $A’$ et de rayon $2$ ; déterminer $A’$. 0,5pt
   2. Déterminer les coordonnées du point $A’$ projeté orthogonal de $A$ sur le plan $(Q)$ d’équation $x-2y+z+2=0$. 1pt
   3. Déterminer la position relative de $(S)$ et $(Q)$. 0,5pt
   4. Donner une équation du plan $(QAB)$. 0,5pt
3. On considère l’endomorphisme $g$ de $E$ qui à tout vecteur $\vec{u}=x\vec{i}+y\vec{j}$ associe : $$ g(\vec{u})=(-x+2y)\vec{i}+(2x-4y)\vec{j}. $$
   1. Déterminer la matrice $M$ de l’endomorphisme $g$ dans la base $(\vec{i},\vec{j})$. 0,5pt
   2. Déterminer une base du noyau $Ker\,g$ et une base de l’image $Im\,g$ de $g$. 1pt
   3. Montrer que tout vecteur de $E$ s’écrit de manière unique comme somme d’un élément de $Ker\,g$ et d’un élément de $Im\,g$. 1pt

Exercice 1 (4,5 points)

QCM

Pour chacune des questions ci-dessous, quatre réponses sont proposées et une seule est juste. Écrire le numéro de la question suivi de la lettre correspondant à la réponse juste. 0,75pt × 6

1. L’ensemble des points invariants par la transformation $f$ d’expression analytique $$ f:\begin{cases} x’=\dfrac45x+\dfrac25y+1\\[4pt] y’=\dfrac25x-\dfrac45y-3 \end{cases} $$ est :
   1. $x^2+y^2-2x+6y+10=0$
   2. $4x+2y+1=0$
   3. $x-2y-5=0$
   4. $\{(0;5)\}$
2. La composée d’une rotation et d’une translation est :
   1. Une homothétie
   2. Un antidéplacement
   3. Une similitude
   4. Un déplacement
3. On considère les suites $(V_n)$ et $(U_n)$ définies par $$ \begin{cases} V_0=50\,000\\ V_n=1{,}6\,V_{n-1} \end{cases} \qquad \text{et}\qquad U_n=2V_n+1. $$ La suite $(U_n)$ est une suite :
   1. arithmétique
   2. ni géométrique ni arithmétique
   3. géométrique
   4. constante
4. L’équation $\dfrac12\cos x-\dfrac{\sqrt3}{2}\sin x=\dfrac{\sqrt2}{2}$ est équivalente à :
   1. $\cos\!\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)=\cos\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)$
   2. $\sin\!\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)=\sin\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)$
   3. $\sin\!\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)=\sin\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)$
   4. $\cos\!\left(x+\dfrac{\pi}{6}\right)=\cos\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)$
5. Le plan est muni d’un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$. Soit $A(1)$ ; $B(4)$ et $G$ le point tel que $\overrightarrow{BG}=\dfrac{2}{7}\overrightarrow{BA}$.
   1. $G=\mathrm{bar}((A,3);(B,1))$ et $G\left(\dfrac{15}{4};\dfrac{11}{4}\right)$
   2. $G=\mathrm{bar}((A,1);(B,3))$ et $G\left(\dfrac{15}{4};\dfrac{11}{4}\right)$
   3. $G=\mathrm{bar}((A,-1);(B,3))$ et $G\left(\dfrac{11}{2};\dfrac{25}{2}\right)$
   4. $G=\mathrm{bar}((A,1);(B,-3))$ et $G\left(\dfrac{15}{4};\dfrac{11}{4}\right)$
6. Un sac contient $5$ boules dont $3$ rouges et $2$ noires, toutes indiscernables au toucher. On tire successivement sans remise $2$ boules du sac. Le nombre de tirages dans lesquels les boules ne sont pas unicolores est :
   1. $8$
   2. $4$
   3. $12$
   4. $20$

Exercice 2 (2,5 points)

Géométrie dans l’espace : cube

Soit le cube $ABCDEFGH$. On considère le repère $(A,\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE})$.

1. Déterminer une équation du plan $(BDE)$ et une représentation paramétrique de la droite $(AG)$. 0,75pt
2. Démontrer que la droite $(AG)$ est orthogonale au plan $(BDE)$ et le coupe en $I$ tel que $\overrightarrow{AI}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AG}$. 0,75pt
3. Déterminer une équation de la sphère $(S)$ de centre $G$ et tangente au plan $(BDE)$. 0,5pt
4. Calculer le volume de $(S)$. 0,5pt

Exercice 3 (3 points)

Le plan $E$ est rapporté à la base $(\vec{i},\vec{j})$. Soit : $$ S=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid 2x+3y=0\}. $$

Exercice 4 : (5 points)

Algèbre linéaire : endomorphisme

On considère l’endomorphisme $\varphi$ de $E$ tel que : $$ \varphi(\vec{i})=2\vec{i}+3\vec{j} \quad \text{et} \quad \varphi(\vec{j})=-2\vec{i}-2\vec{j}. $$

1. Montrer que $\varphi$ est un automorphisme de $E$ et donner sa matrice dans la base $(\vec{i},\vec{j})$. 0,75pt
2. Montrer que $\varphi$ est un automorphisme puis en déduire que $\varphi(E)=E$. 0,75pt
3. Déterminer la matrice de $\varphi$ dans la base $(\vec{a},\vec{b})$. 0,75pt
4. Déterminer la limite de $\varphi$. 0,75pt

Exercice 5 : (4,5 points)

Étude graphique et analytique d’une fonction

L’unité de longueur est le centimètre. Le graphe ci-contre d’une fonction numérique est la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ de la fonction définie par : $$ f(x)=x^2-4x. $$

1. Justifier que pour tout $x\in\mathbb{R}$ : $$ f(x+1)=f(x)+8. $$ 0,5pt
2. Représenter graphiquement $\mathcal{C}_f$. 0,5pt
3. Donner la valeur du maximum de $f$. 0,25pt
4. Donner la valeur minimale de $f$. 0,5pt
5. Déterminer les valeurs de $x$ pour lesquelles $f(x)=m$. 0,5pt

On suppose que $f(x)=ax+b+\dfrac{c}{x}$.

6. Déterminer les réels $a$, $b$ et $c$. 0,5pt
7. Calculer la dérivée $f'(x)$. 0,5pt
8. Tracer dans le repère précédent la courbe $\mathcal{C}_g$ de la fonction $g(x)=|f(x)|$. 0,5pt
9. Dresser le tableau de variations de $g$. 0,5pt

PARTIE B : Évaluation des compétences (4,5 points)

Situation : Tension artérielle

Le tableau ci-dessous donne les valeurs de la tension artérielle en fonction de l’âge :

La tension artérielle est dite normale lorsque $10\le t\le14$. Lorsque $t<10$, on dit que le sujet est hypotension artérielle ; lorsque $t>14$, on parle d’hypertension artérielle.

Cette famille est homogène. On désire choisir au hasard trois membres de cette famille pour représenter la famille à une formation. Pour assurer leur placement dans une banque pour une période de $10$ ans, la somme totale à placer est de $2\,500\,000$ F.

La banque impose deux types de placements :

• Placement à intérêt simple de $5\%$ chaque année (capital produit le même intérêt).
• Placement à intérêt composé de $4{,}5\%$ chaque année (intérêt capitalisé).

Tâches

1. Combien de choix différents pourra-t-on opérer pour qu’au moins deux membres du groupe aient une tension artérielle normale ? 1,5pt
2. Déterminer lequel des deux types de placement est le plus avantageux pour le chef de cette famille. 2pt
3. Cette famille est-elle homogène ? 1pt

Exercice 1 : (4 points)

Barycentre et lieu géométrique

Le plan est muni d’un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$. Soit $\alpha\in]-\pi;\pi]$ un nombre réel. On considère les points pondérés $(A;\sin\alpha)$, $(B;\sin\alpha)$ et $(C;1)$, avec $A(-2;0)$, $B(1;0)$ et $C\left(\dfrac54;0\right)$.

1. 1. Pour quelles valeurs de $\alpha$ la famille $(A;\sin\alpha)$, $(B;\sin\alpha)$, $(C;1)$ admet-elle un barycentre $G$ ? 1pt
   2. Pour $\alpha=\dfrac{\pi}{2}$, montrer que le barycentre $G$ de la famille $(A;\sin\alpha)$, $(B;\sin\alpha)$, $(C;1)$ est le centre de gravité du triangle $ABC$, puis construire $G$. 1pt
2. On considère la fonction $f(x)=\lvert 4\cos x\rvert$ du plan. Déterminer les valeurs de $\alpha$ pour lesquelles $(AB)\perp(AC)$. 1pt
3. Déterminer et construire le lieu géométrique des points $M$ du plan tels que : $$ \text{mes}(\overrightarrow{MA},\overrightarrow{MB})=-\dfrac{\pi}{4}. $$ 1pt

Exercice 2 : (3,5 points)

Algèbre linéaire

1. Soit $f$ une application linéaire d’un $\mathbb{R}$-espace vectoriel $E$ vers un $\mathbb{R}$-espace vectoriel $F$.
   1. Montrer que si $f=\vec{0}_E$, alors $f$ est injective. 0,75pt
   2. Montrer que si $Im\,f=F$, alors $f$ est surjective. 0,75pt
2. Le plan vectoriel $E$ est rapporté à la base $B=(\vec{i},\vec{j})$. On note $\varphi$ l’endomorphisme de $E$ qui au vecteur $\vec{u}=(x,y)$ associe le vecteur $\varphi(\vec{u})=(x’,y’)$ tel que : $$ \begin{cases} x’=-x+2y,\\ y’=x-y. \end{cases} $$
   1. Déterminer la matrice de $\varphi$ dans la base $B$. 0,25pt
   2. L’endomorphisme $\varphi$ est-il bijectif ? Justifier. 0,5pt
   3. Déduire le déterminant de la matrice de $\varphi$. 0,5pt
3. On pose $\vec{e}_1=\vec{i}+2\vec{j}$ et $\vec{e}_2=-\vec{i}+\vec{j}$.
   Montrer que $B’=(\vec{e}_1;\vec{e}_2)$ est une base de $E$, puis déterminer la matrice $M’$ de $\varphi$ dans la base $B’$. 1pt

Exercice 3 : (3 points)

Géométrie dans l’espace : tétraèdre

On considère le tétraèdre $MNPQ$ dont les hauteurs issues des sommets $M$, $N$ et $P$ sont sécantes en un point $K$. Les droites $(MK)$, $(NK)$ et $(PK)$ sont donc orthogonales aux plans $(NPQ)$, $(MPQ)$ et $(MNQ)$ respectivement.

1. 1. Montrer que $(MK)\perp(PQ)$. 0,5pt
   2. Démontrer que le plan $(MNK)$ est orthogonal à la droite $(QP)$. 0,5pt
   3. En déduire que les droites $(MN)$ et $(PQ)$ sont orthogonales. 0,5pt
2. Démontrer que les droites $(MP)$ et $(NQ)$ sont orthogonales, ainsi que les droites $(MQ)$ et $(NP)$. 1,5pt

Exercice 4 : (4,75 points)

Étude d’une fonction rationnelle

Le plan est muni d’un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$. Soit $f$ la fonction définie par : $$ f(x)=\frac{-2x^2+5x-3}{2-x}. $$

1. 1. Déterminer l’ensemble de définition de $f$, puis calculer les limites de $f$ aux bornes de son $D_f$. 0,5pt
   2. En déduire que la courbe $(C_f)$ de $f$ admet une asymptote verticale $(d_1)$ que l’on précisera. 0,25pt
2. 1. Déterminer les réels $a$, $b$ et $c$ tels que pour tout $x\in D_f$ : $$ f(x)=ax+b+\frac{c}{2-x}. $$ 0,75pt
   2. En déduire une équation cartésienne de l’asymptote oblique $(d_2)$ de $(C_f)$. 0,5pt
3. Étudier la position relative de $(C_f)$ par rapport à $(d_2)$. 0,5pt
4. Montrer que le point $\Omega(2;3)$ est le centre de symétrie de $(C_f)$. 0,5pt
5. Dresser le tableau de variations de $f$. 0,75pt
6. Construire $(C_f)$. 1pt

PARTIE B : ÉVALUATION DES COMPÉTENCES (4,5 points)

Situation : création d’entreprise

Monsieur Paul est un ingénieur. Pour créer son entreprise de fabrication d’emballage ménager en janvier 2006, il emprunte $75$ millions F CFA dans une banque. À un taux annuel de $x\%$, l’ingénieur doit rembourser à la banque $87{,}45$ millions F CFA au bout de deux ans.

L’entreprise n’écoule que $80\%$ de sa production annuelle. Le bénéfice annuel réalisé est égal à $m^2-13m$ (où $m$ est la masse d’emballage ménager vendu en tonne). Monsieur Paul aimerait réaliser un bénéfice de $30$ millions F CFA en janvier 2007.

Pour la protection de l’environnement, l’ingénieur décide de recycler ses produits à partir de février 2007. Les $\dfrac34$ des emballages ménagers utilisés sont recyclés par l’entreprise de Paul. En fin 2007, il a pu recycler $12$ tonnes d’emballages ménagers.

Tâches

1. Déterminer le taux annuel du prêt de Monsieur Paul. 1,5pt
2. Quelle est la masse d’emballage ménager doit produire l’ingénieur pour réaliser un bénéfice de $30$ millions F CFA en janvier 2007 ? 1,5pt
3. Calculer la masse d’emballage ménager utilisée en 2007. 1,5pt