D’abord, PROBATOIRE C 2010 t’aide à réviser sereinement avec des exercices bien gradués sur Ndolomath. Ensuite, il te permet de t’entraîner comme le jour de l’examen. Puis, PROBATOIRE C 2010 clarifie les notions clés à maîtriser avant la session. Enfin,il se situe grâce à la définition de l’examen.
L’épreuve de mathématiques du PROBATOIRE C 2010
ACTIVITES NUMERIQUES9 points
Exercice 13 points
On pose $g(x)=2\cos^2 x+\sin 2x$ où $x$ est un réel.
1. Montrer que pour tout réel $x$, $g(x+\pi)=g(x)$. 0,5 pt
2. Montrer que pour tout réel $x$, $g(x)=1+\cos 2x+\sin 2x$ 0,5 pt
3. Résoudre dans $]0,\pi]$ l’équation $g'(x)=0$ où $g’$ est la dérivée de $g$ et représenter les solutions trouvées sur un cercle trigonométrique. 1 pt
Exercice 23 points
$ABCD$ est un rectangle de centre $O$. $I$ est le milieu de $[AB]$. Les droites $(AC)$ et $(DI)$ se coupent en $E$. Les droites $(BD)$ et $(IC)$ se coupent en $F$.
1. Déterminer l’image du triangle $ABC$ par la réflexion d’axe $(OI)$. 0,5 pt
2. Montrer que le point $F$ est le centre de gravité du triangle $ABC$ 0,5 pt
3. En déduire que $E$ est le centre de gravité du triangle $BAD$ 1 pt
4. Soit $h$ l’homothétie de centre $O$ qui transforme $A$ en $E$.
a. Montrer que les droites $(EF)$ et $(AB)$ sont parallèles 0,5 pt
b. Déterminer $h(B)$ 0,5 pt
Exercice 3
Pour chacune des questions suivantes, recopier le numéro de la question et le numéro de la réponse choisi parmi celles proposées.
1. Sachant que $x\in\left[\dfrac{\pi}{2},\pi\right]$ et $\sin x=\dfrac{3}{5}$, alors : 1 pt
a. $\cos x=\dfrac{2}{5}$ ; b. $\cos x=-\dfrac{4}{5}$ ; c. $\cos x=\dfrac{4}{5}$ ; d. $\cos x=-\dfrac{2}{5}$
2. Si $ABCDEFGH$ est le cube ci – dessous, alors la droite $(DG)$ est : 1 pt
a. Perpendiculaire au plan $(GFH)$ car $(DG)\perp(GH)$ et $(GF)\perp(DA)$
b. Parallèle au plan $(CFH)$
c. Perpendiculaire au plan $(CHE)$
3. $ABC$ est un triangle équilatéral; $I$, $J$ et $K$ sont les milieux respectifs des segments $[BC]$, $[CA]$ et $[AB]$. $S_{(BC)}$ et $S_{(JK)}$ sont les symétries d’axes $(BC)$ et $(JK)$ respectivement. L’application $S_{(BC)}\circ S_{(JK)}$ est : 1 pt
a. La translation de vecteur $2\overrightarrow{AI}$
b. La rotation de centre $A$
c. La translation de vecteur $\overrightarrow{AI}$
PROBLEME11 points
Ce problème comporte deux parties indépendantes.
Partie A6,5 points
$f$ est la fonction définie sur $D=\mathbb{R}\setminus\{-1\}$ par $f(x)=\dfrac{(x-1)^2}{x+1}$.
On note $(C)$ la courbe représentative de $f$ dans le plan rapporté à un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$, d’unité $1$ cm sur les axes.
1. Etudier le sens de variation de $f$ et dresser son tableau de variations. 2 pts
2. a. Déterminer les réels $a$, $b$ et $c$ tels que pour tout $x$ de $D$, on ait $f(x)=ax+b+\dfrac{c}{x+1}$. 1 pt
b. En déduire que la droite $(D)$ d’équation $y=ax+b$ est asymptote à la courbe $(C)$. 1 pt
3. Montrer que le point $\Omega(-1;-4)$ est centre de symétrie pour la courbe $(C)$. 0,5 pt
4. Tracer la courbe $(C)$. 1 pt
5. Soit $g$ la fonction numérique définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=f(|x|)$.
a. Etudier la parité de $g$, puis comparer $g(x)$ et $f(x)$ pour $x$ positif. 0,5 pt
b. Tracer la courbe $(C’)$ représentation de $g$ dans le même graphique que $(C)$. 1 pt
Partie B4,5 points
La suite $(U_n)$ est définie par $U_0=1$ et pour tout entier $n$, par $U_{n+1}=\dfrac{U_n-4}{U_n-3}$.
1. Calculer $U_1$ et $U_2$ 1 pt
2. On pose $V_n=\dfrac{1}{U_n-2}$.
a. Montrer que $(V_n)$ est une suite arithmétique ; préciser son premier terme et sa raison. 1 pt
b. Exprimer $V_n$ et $U_n$ en fonction de $n$. 1,5 pt
c. Calculer la limite de la suite $(U_n)$ 1 pt
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Épreuve de mathématiques — PROBATOIRE C 2010
Conclusion du PROBATOIRE C 2010
D’abord, PROBATOIRE C 2010 te donne un bon rythme de travail, sans te mettre la pression. Ensuite, tu peux cibler tes difficultés et t’améliorer avec régularité. Puis, PROBATOIRE C 2010 t’entraîne à répondre clairement, même quand tu doutes. Enfin, Ndolomath reste là pour t’accompagner jusqu’au jour de l’examen.
