D’abord, PROBATOIRE C 2009 vous aide à réviser efficacement avec des questions progressives sur Ndolomath. Ensuite, il vous permet d’identifier vos points forts avant l’examen. Puis, PROBATOIRE C 2009 vous rappelle les notions clés grâce à un sujet complet et structuré. Enfin, il s’appuie aussi sur la définition de l’examen pour mieux situer l’épreuve.
L’épreuve de mathématiques du PROBATOIRE C 2009
Exercice 11,5 point
Pour chacune des questions de cet exercice, trois réponses vous sont proposées parmi lesquelles une seule est juste ; reproduire sur votre feuille de composition le numéro de la question et celui de la réponse juste correspondante.
NB : Aucun calcul n’est exigé dans cet exercice.
1. Dans un ensemble à $n$ éléments, s’il y a autant de parties à deux éléments que de parties à 4 éléments, alors $n$ est solution de l’équation du second degré.
a. $n^2+2n-6=0$ ;
b. $n^2-2n-6=0$ ;
c. $n^2-5n+6=0$ 1 pt
2. On considère une suite géométrique $(U_n)$, de premier terme $\dfrac{1}{2}$ et de raison $-\dfrac{1}{2}$. On pose $S_n=U_0+U_1+\ldots+U_n$. $S_n$ est égal à :
a. $\dfrac{1}{3}\left[1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^n\right]$ ;
b. $\dfrac{1}{3}\left[1-(-1)^n\left(\dfrac{1}{2}\right)^n\right]$ ;
c. $\dfrac{1}{3}\left[1-(-1)^{n+1}\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}\right]$. 1 pt
3. Le plan vectoriel est rapporté à la base $(\vec{i},\vec{j})$ ; $f$ est un endomorphisme défini pour tout $\vec{u}(x,y)$ par : $f(\vec{u})=(2x+y)\vec{i}+(4x+2y)\vec{j}$.
L’ensemble des vecteurs $\vec{u}(x,y)$ tel que $f(\vec{u})=4\vec{u}$ est :
a. La droite vectorielle dirigée par le vecteur $\vec{u}_0(1,2)$
b. La droite vectorielle dirigée par le vecteur $\vec{u}_0(-1,2)$
c. $(\vec{0})$ 1 pt
Exercice 26 points
On considère la fonction $f$ définie pour tout $x$ par $f(x)=\dfrac{4x^2-12}{|x|+2}$. Dans le plan rapporté à un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$, la courbe représentative de $f$
1. a. Déterminer les limites de $f(x)$ quand $x$ tend vers l’infini. 1 pt
b. Etudier la dérivabilité $f$ de en $x_0=0$ 1 pt
2. Montrer que lorsque $x$ tend vers l’infini, la courbe $(C)$ admet deux demi-asymptotes $T$ et $T’$ dont on donnera les équations cartésiennes respectives. 1 pt
3. Montrer que $f$ est paire. 1 pt
4. Etudier les variations de $f$ sur $\mathbb{R}$. 0,5 pt
5. Tracer $(C)$, $T$ et $T’$. 1,5 pt
Problème11 points
Le problème comporte deux parties indépendantes.
Partie A5,5 points
Dans le repère orienté, on considère le triangle équilatéral direct $ABC$. On construit les triangles équilatéraux directs $ADB$ et $ACE$. $G_1$ et $G_2$ désignent respectivement les centres de gravité des triangles $ADB$ et $ACE$
1. Montrer que $(CD)$ et $(BE)$ sont les médiatrices respectives de $[AB]$ et de $[AC]$ 1 pt
2. On considère la rotation $r$ de centre $A$ qui transforme $D$ en $C$.
a. Déterminer l’image de $B$ par $r$. 0,5 pt
b. Déterminer l’angle de la rotation $r$. 0,5 pt
c. Démontrer de deux manières différentes que $G_2$ est l’image de $G_1$ par $r$. 1,5 pt
3. Soit $C’$ l’image de $C$ par $r$. montrer que $C’$ est le symétrique de $B$ par rapport à $A$. 0,5 pt
4. $I$ est le point d’intersection de $(BE)$ et $(CD)$ ; montrer que.
a. $CD=BE$ et que $mes(\overrightarrow{BE},\overrightarrow{CD})=\dfrac{2\pi}{3}$. 0,5 pt
b. $I$ est le centre du cercle inscrit au triangle $ABC$. 1 pt
Partie B5,5 points
Dans l’espace $E$, on considère quatre points $P$, $Q$, $R$ et $S$. On appelle $J$ le barycentre du système de points pondérés $\{(P,1)(R,3)\}$ et $K$ celui du système de points pondérés $\{(Q,1)(S,3)\}$.
1. Montrer que $\overrightarrow{PQ}+3\overrightarrow{RS}=4\overrightarrow{JK}$ 1,5 pt
2. Montrer que si $J$ et $K$ sont confondus, alors $P$, $Q$, $R$ et $S$ sont coplanaires. 1 pt
3. On suppose dans la suite que l’espace est rapporté au repère $(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})$. $P$ et $P’$ sont deux plans d’équations cartésiennes respectives $x+y-z-2=0$ et $x-2y+z-3=0$.
a. Déterminer deux vecteurs $\vec{n}$ et $\vec{n’}$ respectivement normaux à $P$ et $P’$. 1 pt
b. Montrer que $\vec{n}$ et $\vec{n’}$ ne sont pas colinéaires. 1 pt
c. En déduire la position relative de $P$ et $P’$. 1 pt
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Épreuve de mathématiques — PROBATOIRE C 2009
Conclusion du PROBATOIRE C 2009
D’abord, cette épreuve vous aide à organiser vos révisions avec calme et méthode. Ensuite, PROBATOIRE C 2009 vous entraîne à gérer le temps et les points. Puis, vous consolidez vos automatismes avant le jour J, sans vous décourager. Enfin, sur Ndolomath, PROBATOIRE C 2009 devient une base solide pour progresser.
