D’abord, PROBATOIRE C 2008 te met en confiance pour aborder chaque exercice calmement sur Ndolomath. Ensuite, PROBATOIRE C 2008 t’aide à comprendre le format et les exigences de l’examen. Puis, PROBATOIRE C 2008 te permet d’organiser ton temps et d’éviter les pièges classiques. Enfin, PROBATOIRE C 2008 s’appuie sur la définition de l’examen pour situer l’épreuve.
L’épreuve de mathématiques du PROBATOIRE C 2008
Exercice 14 points
Dans le plan orienté, on considère le carré $ABCD$ de sens direct, de centre $O$ et de côté $1$ (unité : $33mm$). Soit $G$ le barycentre des points $(A,1)$ ; $(B,2)$ ; $(C,1)$.
1. (a) Montrer que $G$ est le milieu du segment $[OB]$. 0,5 pt
(b) Construire le point $G$. 0,5 pt
2. On désigne par $(\Gamma)$ l’ensemble des points $M$ du plan tels que : $MA^2+2MB^2+MC^2=6$.
(a) Démontrer que pour tout point $M$ du plan, on a : $MA^2+2MB^2+MC^2=4MG^2+\dfrac{3}{2}$. 0,75 pt
(b) En déduire la nature précise de $(\Gamma)$. 0,75 pt
3. Soit $h$ l’homothétie de centre $O$ et de rapport $2$, et $r$ la rotation de centre $O$ et d’angle $\dfrac{\pi}{2}$. On pose $f=h\circ r$.
(a) Déterminer la nature et les éléments caractéristiques $f$. 0,5 pt
(b) Construire $A’$, $B’$, $C’$, $D’$ et $G’$, images respectives du carré $ABCD$ et de $G$ par $f$. 1 pt
Exercice 22 points
On considère les suites $(U_n)$ et $(V_n)$ définies par : $U_0=2$, $U_{n+1}=2U_n+n-1$ et $V_n=U_n+n$.
1. (a) Montrer que la suite $(V_n)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme. 0,5 pt
(b) Exprimer $V_n$ en fonction de $n$, puis $U_n$ en fonction de $n$. 0,75 pt
2. Un animal mesure $2cm$ à sa naissance. Sa taille à la fin de la $(n+1)$ième semaine, diminuée de $(n-1)$ centimètre est le double de celle qu’il avait à la fin de la $n$ième semaine. Quelle est la mesure de la taille de cet animal à la fin de la dixième semaine ? 0,75 pt
Exercice 33 points
On considère l’équation $(E)$ : $\sin(3x)=-\sin(2x)$.
1. Résoudre l’équation $(E)$ dans l’intervalle $]-\pi;\pi]$, puis représenter ses solutions sur un cercle trigonométrique. 1 pt
2. (a) Démontrer que $\sin(3x)=\sin(x)(4\cos^2(x)-1)$. 0,5 pt
(b) En déduire que l’équation $(E)$ est équivalente à $\sin(x)(4\cos^2(x)+2\cos(x)-1)=0$. 0,5 pt
(c) Parmi les solutions trouvées pour $(E)$ ; lesquelles sont aussi solutions de l’équation : $4\cos^2(x)+2\cos(x)-1=0$ ? 0,25 pt
3. (a) Résoudre dans $\mathbb{R}$, l’équation $4t^2+2t-1=0$. 0,5 pt
(b) En déduire les valeurs exactes de $\cos\left(\dfrac{2\pi}{5}\right)$ et $\cos\left(\dfrac{4\pi}{5}\right)$. 0,25 pt
Problème11 points
Partie A4 points
L’espace est rapporté à un repère orthonormé $(O,i,j)$. On considère les points $A(2,0,0)$ ; $B(0,3,0)$ et $C(0,0,4)$.
1. (a) Démontrer que les points $A$, $B$ et $C$ définissent un plan. 0,75 pt
(b) Donner une représentation paramétrique du plan $(ABC)$. 0,75 pt
(c) En déduire une équation cartésienne du plan $(ABC)$. 1 pt
2. On considère le plan $(Q)$ d’équation cartésienne $x-2z-2=0$.
(a) Démontrer que les plans $(ABC)$ et $(Q)$ sont orthogonaux. 0,75 pt
(b) Déterminer une représentation paramétrique de leur intersection. 0,75 pt
Partie B3,5 points
L’évolution de 1988 à 2004 du salaire d’un ouvrier est donnée dans le tableau suivant :
$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Numéro de l’année } i & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ \hline \text{Salaire horaire moyen (FCFA) } y_i & 1650 & 1760 & 1930 & 2020 & 2220 & 2450 & 2530 \\ \hline \end{array} $
1. Représenter le nuage des points associé à la série double $(x_i,y_i)$ dans le plan muni d’un repère orthogonal, ainsi que le point moyen $G$ du nuage, puis ajuster à la règle ce nuage de points. On calculera les coordonnées de $G$. 1,5 pts
2. Donner une troncature d’ordre $2$ du coefficient de corrélation linéaire. Que peut-on conclure 0,5 pt
3. Déterminer l’équation de la droite de régression de $y$ en fonction de $x$. 1 pt
4. En admettant que cette évolution se poursuive, donner une estimation du salaire horaire moyen d’un tel ouvrier en l’an $2010$. 0,5 pt
Partie C3,5 points
$f$ est une fonction rationnelle dont la courbe de la fonction dérivée donnée ci-dessous admet la droite d’équation $x=-1$ comme axe de symétrie.
1. Déduire de ce graphique :
(a) Le domaine de définition de $f$. 0,25 pt
(b) Le sens de variation de $f$ sur chacun des intervalles où elle est définie. 0,5 pt
(c) Les abscisses des points de la courbe de $f$ où la tangente est parallèle à l’axe des abscisses. 0,25 pt
2. Démontrer que les tangentes à la courbe de $f$ aux points d’abscisses $\alpha$ et $-\alpha-2$ sont parallèles, $\alpha$ étant un réel distinct de $-1$. 0,5 pt
3. On suppose dans la suite que $f(x)=ax+b+\dfrac{c}{x+1}$ où $a$, $b$ et $c$ sont des nombres réels.
(a) Déterminer $a$, $b$ et $c$ sachant que la courbe de $f$ admet en $1$ un extrémum égal à $0$. 0,5 pt
(b) Calculer les limites de $f$ aux bornes de son ensemble de définition. 0,5 pt
(c) Dresser le tableau de variation de $f$. 0,25 pt
(d) Déterminer en justifiant votre réponse les équations des asymptotes à la courbe de $f$. 0,25 pt
(e) Tracer soigneusement la courbe de $f$. 0,5 pt
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Épreuve de mathématiques — PROBATOIRE C 2008
Conclusion du PROBATOIRE C 2008
D’abord, PROBATOIRE C 2008 t’encourage à démarrer par ce que tu maîtrises vraiment. Ensuite, Ndolomath te rappelle de justifier chaque étape, même si c’est court. Puis, avance exercice par exercice, sans paniquer, et relis soigneusement tes calculs. Enfin, PROBATOIRE C 2008 récompense la méthode, donc garde un rythme régulier jusqu’à la fin.
