D’abord, PROBATOIRE C 2007 vous guide pas à pas pour réviser sereinement sur Ndolomath. Ensuite, PROBATOIRE C 2007 vous montre le format du sujet et les attentes de l’examen. Puis, PROBATOIRE C 2007 vous aide à repérer les exercices et gérer votre temps efficacement. Enfin, PROBATOIRE C 2007 s’appuie sur la définition de l’examen pour mieux comprendre le contexte.
L’épreuve de mathématiques du PROBATOIRE C 2007
Exercice 13,5 points
La production annuelle de poisson d’un port de pêche augmente de $3\%$ par an.
On note $P(0)$ la production en tonnes de ce port en 2000. On donne $P(0)=1450000\ \text{t}$.
Pour tout entier naturel $n$ non nul, on désigne par $P(n)$ la production en tonnes de ce port de pêche en $2000+n$.
1. a) Calculer $P(1)$, $P(2)$ et $P(3)$ en fonction de $P(0)$. 1,5 pt
b) Exprimer l’expression de $P(n)$ en fonction de $P(n-1)$, puis en fonction de $P(0)$. 1 pt
2. Calculer la production en tonnes de ce port de pêche en 2006. 1 pt
Exercice 22 points
1. Résoudre le système $ \begin{cases} 2x+5y=-4 \\ 3x-2y=3,5 \end{cases} $. 1 pt
2. En déduire dans $[-\pi;\pi]$, les solutions du système $ \begin{cases} 2\sin x+5\cos y=-4 \\ 3\sin x-2\cos y=3,5 \end{cases} $. 1 pt
Exercice 33,5 points
On considère l’ensemble $E=(a,b,c,d,e,f)$.
1. a) Dénombrer toutes les parties à quatre éléments de l’ensemble $E$. 0,5 pt
b) Une salle de réunion est éclairée par 6 ampoules commandées chacune par un interrupteur.
De combien de manières peut-on éclairer cette salle en allumant exactement 4 ampoules ? 0,5 pt
2. Un spectacle st organisé dans cette salle. Les recettes obtenues sont reparties suivant le tableau suivant :
$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Prix payé} & [250;300[ & [300;350[ & [350;400[ & [400;450[ & [450;500[ \\ \hline \text{Effectif} & 25 & 30 & 30 & 20 & 15 \\ \hline \end{array} $
a) Calculer la valeur moyenne de cette série. 1 pt
b) Calculer la variance et l’écart type de cette série. 1,5 pt
Problème11 points
Le problème comporte deux parties A et B indépendantes.
Partie A5 points
Soit $f$ et $g$ les fonctions numériques d’une variable réelle $x$ définies par : $f(x)=\dfrac{3x^2}{16}$ et $g(x)=\dfrac{1}{4}x^2-\dfrac{2}{3}x+4$.
On désigne par $(C)$ et $(C’)$ les courbes représentatives de $f$ et $g$ dans un repère orthonormé.
1. a) Etudier les variations de $f$ puis, dresser son tableau de variations. 0,75 pt
b) Etudier les variations de $g$ puis, dresser son tableau de variations. 0,75 pt
c) Montrer que la droite d’équation cartésienne $x=2$ est l’axe de symétrie de la courbe $(C)$. 0,5 pt
2. a) Résoudre l’inéquation $f(x)\ge g(x)$. 0,5 pt
b) En déduire les positions relatives de $(C)$ et $(C’)$. 0,5 pt
3. a) Démontrer qu’il existe deux points $A$ et $B$, de même abscisse $X0$, tels que $A$ appartient à $(C)$ et $B$ appartient à $(C’)$ et qu’en ces points, les tangentes $T_A$ et $T_B$ relatives à $(C)$ et à $(C’)$ sont parallèles. 1 pt
b) Tracer dans le même repère les courbes $(C)$ et $(C’)$. 1 pt
Partie B6 points
Le plan orienté est muni du repère orthonormé $(O,i,j)$. On considère les points $P(4;3)$, $Q(1;6)$, $G(0;3)$.
1. a) Déterminer trois réels $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ tels que $G$ soit le barycentre des points $(O;\alpha)$, $(P;\beta)$ et $(Q;\gamma)$. 1 pt
b) Déterminer l’ensemble des points $M$ du plan tels que : $2MO^2-2MP^2+4MQ^2=123$. 1,5 pt
2. Soit $I$ un point du plan et $r$ la rotation de centre $I$ de d’angle $\dfrac{3\pi}{4}$ qui transforme $P$ en $Q$.
a) Montrer que le triangle $IPQ$ est un triangle équilatéral et préciser la longueur de ses côtés. 0,5 pt
b) Donner une équation cartésienne de la médiatrice du segment $[PQ]$. 0,5 pt
c) Déduire de a) et b) les coordonnées du point $I$. 0,5 pt
3. On considère la translation du plan de vecteur $U=\overrightarrow{IJ}+2\overrightarrow{u_4}$ ; le point $M’$ est l’image de $M$ par cette translation.
a) Exprimer les coordonnées $x’$ et $y’$ de $M’$ en fonction des coordonnées de $x$ et $y$ de $M$. 0,5 pt
b) Tracer la courbe $(C »)$ image de $(C)$ par cette translation. 1 pt
c) Donner une équation de la courbe $(C »)$. 0,5 pt
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Épreuve de mathématiques — PROBATOIRE C 2007
Conclusion du PROBATOIRE C 2007
D’abord, PROBATOIRE C 2007 vous permet de réviser avec méthode et confiance jusqu’au jour J. Ensuite, Ndolomath vous aide à vous entraîner régulièrement et à mieux gérer le temps. Puis, PROBATOIRE C 2007 vous rappelle l’importance de soigner les calculs et la rédaction. Enfin, gardez votre calme, relisez vos réponses, et avancez exercice par exercice.
