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L’épreuve de mathématiques du PROBATOIRE C 2000
Exercice 1 :6 points
La fonction $f$ est définie pour tout réel $x$ différent de $-3$ par $f(x)=\dfrac{5x+3}{x+3}$.
1. a) Déterminer les limites de $f$ en $-\infty$ et $+\infty$, à gauche et à droite de $-3$. 1 pt
b) Calculer la dérivée de $f$ et en déduire le tableau de variation. 1 pt
c) Ecrire une équation cartésienne de la tangente à la courbe de $f$ au point $A$ d’abscisse $0$. 0,25 pt
2. Tracer la courbe de $f$ dans un repère orthonormé du plan.
3. La suite $(U_n)$ est définie par $U_0=1$ et $U_{n+1}=\dfrac{5U_n+3}{U_n+3}$ et la suite $(V_n)$ par $V_n=\dfrac{U_n-3}{U_n+1}$ ( on admettra que les suites $(U_n)$ et $(V_n)$ sont bien définies ).
a) Calculer $U_1$ et $U_2$. 0,5 pt
b) Démontrer que la suite $(V_n)$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison. 1 pt
c) Calculer $V_n$ puis $U_n$ en fonction de $n$. 1,25 pt
4. On pose $S_n=V_0+V_1+\cdots+V_n$. Calculer $S_n$ en fonction de $n$. 1 pt
Exercice 2 :3 points
Soit $\alpha$ un réel tel que $\tan\alpha$, $\tan2\alpha$ et $1-\tan^2\alpha$ soient définies.
1. Démontrer que $\tan2\alpha=\dfrac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}$. 1 pt
Sur la figure ci-contre, $ABC$ est un triangle rectangle en $A$. $(CD)$ est la bissectrice de l’angle $BCA$.
On donne en centimètre $AD=33$ ; $AC=99$.
On pose $BD=x$ et $\alpha=\mathrm{mes}\,BCA$.
2. a) Calculer $\tan\alpha$ en fonction de $x$. 0,5 pt
b) En déduire la valeur de $x$. 1,5 pt
Problème :11 points
Le problème comporte deux parties indépendantes $A$ et $B$.
Partie A6 points
Dans le plan orienté, on considère un carré $ABCD$ de centre $O$ tel qu’une mesure de l’angle orienté $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD})$ soit égale à $\dfrac{\pi}{2}$. On note :
$G$ le barycentre du système $(A,2)$ ; $(B,-1)$ ; $(C,1)$ ;
$(C)$ l’ensemble des points $M$ du plan tels que $\left\lVert 2\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right\rVert=\dfrac{AD}{2}$.
$f$ l’application du plan qui à tout point $M$ associe le point $M’$ tel que $\overrightarrow{GM’}=2\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}$.
1. Démontrer que $G$ est le milieu de $[AD]$. Construire $G$. 1,5 pt
2. a) Démontrer que pour tout point $M$ de $(C)$, $MG=\dfrac{AD}{4}$. 1 pt
b) En déduire que $(C)$ est un cercle dont on précisera le centre et le rayon. 0,5 pt
3. a) Démontrer que pour tout point $M$ du plan: $\overrightarrow{GM’}=-2\overrightarrow{GM}$. 0,5 pt
b) En déduire la nature de $f$ et ses éléments caractéristiques. 1 pt
c) Construire $(C)$, puis déterminer et construire l’image $(C’)$ de $(C)$ par $f$. 1,5 pt
Partie B5 points
Dans l’espace on considère la pyramide régulière $ABCDE$ dont la base est le carré $ABCD$ et la hauteur $(EO)$, droite perpendiculaire en $O$ au plan $ABC$. $I$ et $J$ désignent les milieux respectifs des arêtes $[BE]$ et $[DE]$. Les faces sont des triangles équilatéraux.
On suppose dans cette partie $AB=4\ \mathrm{cm}$.
1. Démontrer que les droites $(IJ)$ et $(EO)$ sont perpendiculaires. 1 pt
2. a) Dessiner en dimensions réelles le triangle $DEB$. 1 pt
b) Calculer la valeur exacte de $EO$. 0,5 pt
c) Calculer l’aire latérale de la pyramide. 1 pt
3. On réalise la section de cette pyramide par le plan $(DEB)$. Déterminer la nature et le volume du solide $DBCE$. 1,5 pt
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Épreuve de mathématiques — PROBATOIRE C 2000
Conclusion du PROBATOIRE C 2000
D’abord, PROBATOIRE C 2000 devient plus simple si tu avances question par question. Ensuite, garde tes calculs propres et vérifie toujours les points faciles. Puis, Ndolomath t’encourage à t’entraîner régulièrement pour gagner en confiance. Enfin, PROBATOIRE C 2000 se réussit avec méthode, calme et constance.
