D’abord, PROBATOIRE C 1999 t’aide à réviser sans pression sur Ndolomath. Ensuite, PROBATOIRE C 1999 suit un format expliqué dans définition de l’examen. Puis, PROBATOIRE C 1999 te permet de t’entraîner comme le jour de l’épreuve. Enfin, PROBATOIRE C 1999 te guide pour gérer le temps et les points sereinement.
L’épreuve de mathématiques du PROBATOIRE C 1999
Exercice 1 :02,5 points
L’unité de longueur est le centimètre. On considère dans un plan un triangle $ABC$ tel que $AB=c$ ; $AC=b$ et $BC=a$.
Sachant que $a$, $b$ et $c$ vérifient le système :
$\left\{\begin{array}{l} a+a-c=4\\ a+b+c=10\\ a^2+b^2+c^2=34 \end{array}\right.$
1. Calculer $a$, $b$ et $c$. 2 pt
2. En déduire la nature du triangle $ABC$. 0,5 pt
Exercice 2 :03, 75 points
Un enfant a acheté au marché 7 œufs parmi lesquels deux de 50 F chacun et cinq de 60 F chacun. Sur le chemin du retour, deux œufs se sont cassés. On note $x$ la variable aléatoire réelle égale au prix total des deux œufs cassés.
1. Déterminer l’ensemble des valeurs de $x$. 0,75 pt
2. Déterminer la loi de probabilité de $x$. 1,5 pt
3. Déterminer puis tracer la fonction de répartition $x$. 1,5 pt
Exercice 3 :03, 75 points
$E$ est un plan vectoriel euclidien muni d’une base orthonormée directe $(\vec{i},\vec{j})$ ; $f$ désigne l’endomorphisme de $E$ qui à tout vecteur $\vec{u}=x\vec{i}+y\vec{j}$, fait correspondre le vecteur $\vec{u’}=\frac{1}{5}(3x+4y)\vec{i}+\frac{1}{5}(4x-3y)\vec{j}$.
1. Démontrer que $f$ est bijective. 1,5 pt
On note $E_1$ l’ensemble des vecteurs invariants par $f$ et $E_2$ l’ensemble des vecteurs orthogonaux à tout vecteur de $E_1$.
2. a. Démontrer que $E_1$ est une droite vectorielle et en préciser le vecteur unitaire $\vec{e_1}$ dont la première composante est positive. 1 pt
b. Préciser le vecteur $\vec{e_2}$ de $E_2$ tel que $(\vec{e_2},\vec{e_1})$ soit une base orthonormée directe de $E$. 1 pt
c. Écrire la matrice de $f$ dans la base $(\vec{e_2},\vec{e_1})$. 1 pt
Problème :10 points
Partie A02, 75 points
L’espace affine euclidien $E$ est rapporté à un repère orthonormé $(O,\vec{I},\vec{J},\vec{K})$. On considère :
les points $A$ et $B$ de coordonnées respectives $(1,1,1)$ et $(-1,1,2)$.
Le vecteur $\vec{U}=3\vec{I}-\vec{J}+\vec{K}$.
La droite $D$ passant par $A$ et de vecteur directeur $\vec{U}$.
Le plan $P$ contenant $B$ et orthogonal à $D$ en un point $C$.
1. Écrire une équation cartésienne de $P$. 1 pt
2. a. Calculer les coordonnées de $C$. 1 pt
b. En déduire la distance du point $B$ à la droite $D$. 0,75 pt
Partie B04, 75 points
La fonction $f$ est définie pour tout nombre réel $x$ différent de 1 et 2 par :
$f(x)=\frac{1}{x^2-3x+2}$. $C$ désigne la courbe de $f$ dans un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$ du plan.
1. Calculer les limites de $f$ aux bornes des intervalles de son ensemble de définition. 1,5 pt
2. a. Calculer la dérivée de $f$. 0,5 pt
b. Dresser le tableau de variation de $f$. 0,75 pt
3. a. Écrire les équations des tangentes à $C$ aux points $A$ et $B$ d’abscisses 0 et 3 respectivement. 1 pt
b. Tracer $C$ ainsi que les deux tangentes de la question précédente. 1 pt
Partie C02, 5 points
$\alpha$ désigne un nombre réel de l’intervalle $]0;\frac{\pi}{2}[$ tel que $\cos\alpha=\frac{\sqrt{5}-1}{4}$.
1. Calculer $\cos\alpha$ puis $\cos3\alpha$. 1 pt
2. a. Résoudre dans l’intervalle $]0;\frac{\pi}{2}[$ l’équation $\cos3x=\cos2x$. 1 pt
b. En déduire la valeur de $\alpha$. 0,5 pt
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Épreuve de mathématiques — PROBATOIRE C 1999
Conclusion du PROBATOIRE C 1999
D’abord, relis les consignes et avance étape par étape, sans te précipiter. Ensuite, vérifie tes calculs et garde une écriture claire jusqu’au bout. Puis, Ndolomath t’aide à t’entraîner régulièrement et à mieux gérer ton temps. Enfin, PROBATOIRE C 1999 devient plus accessible quand tu t’exerces avec méthode.
