PC : 1ère Séquence en maths

Exercice 1 : [3.5 points]

I/ Équation du second degré (paramètre m)

Soit $m$ un nombre réel. On considère l’équation $(E):\; mx^2+(m+1)x+2m+2=0$.

1. Résoudre cette équation pour $m=0$. 0,5 pt
2. On suppose que $m\neq 0$. Résoudre suivant les valeurs de $m$ l’équation $(E)$. 1,5 pts

II/ Équations associées dans ℝ

1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation $x^2-2x-23=0$. 1 pt
2. En déduire la résolution dans $\mathbb{R}$ de l’équation $x^4-2x^2-23=0$. 0,5 pt

Exercice 2 : [4 points]

Étude et factorisation d’un polynôme

Soit le polynôme $P$ défini par : $P(x)=-2x^3+3x^2+5x-6$.

1. Calculer $P(2)$ et conclure. 0,5 pt
2. Écrire $P(x)$ sous la forme $P(x)=(x-2)(ax^2+bx+c)$ où $a$, $b$ et $c$ sont des réels à déterminer. 0,75 pt
3. Écrire $P(x)$ sous forme d’un produit de facteurs du premier degré. 1,25 pt
4. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation $P(x)=0$. 0,5 pt
5. Dresser le tableau de signe de $P(x)$. 0,5 pt
6. En déduire la résolution dans $\mathbb{R}$ de l’inéquation $P(x)<0$. 0,5 pt

Exercice 3 : [3.5 points]

1/ Système (méthode du pivot de Gauss)

Résoudre dans $\mathbb{R}^3$ par la méthode du pivot de Gauss le système

2/ Problème (chasse et transport)

Des hommes d’affaires organisent une partie de chasse aux buffles, aux pigeons et aux oies. A leur retour, on compte au total $75$ têtes et $210$ pattes d’animaux tués. Le transport perçoit une somme de $170000$ FCFA à raison de $3000$ FCFA par buffle, $150$ FCFA par pigeon et $2000$ FCFA par oie. NB : Un buffle a $4$ pattes, un pigeon a $2$ pattes et une oie a aussi $2$ pattes.

1. En désignant par $x$, $y$ et $z$ les nombres respectifs de buffles, de pigeons et d’oies, montrer que $x$, $y$ et $z$ vérifient le système $(S)$. 0,75 pt
2. Déduire le nombre d’animaux de chaque espèce. 0,75 pt

Exercice 1 : 3 points

Treuil : forces et travail

On veut soulever une charge de masse $35\ \mathrm{kg}$ à l’aide d’un treuil dont le cylindre a un diamètre de $10\ \mathrm{cm}$ et la manivelle une longueur de $100\ \mathrm{cm}$.

1. Combien faut-il de tours de manivelle pour monter la charge de $5\ \mathrm{m}$ ? 1 pt
2. Quelle force faut-il exercer perpendiculairement à la manivelle pour faire monter la charge d’un mouvement rectiligne uniforme ?
   Prendre $g=9{,}83\ \mathrm{N/kg}$.
   1 pt
3. Quel est le travail de cette force lorsque la charge monte de $5\ \mathrm{m}$ ? 1 pt

Exercice 2 : 7 points

Bus sur une pente : tableau, énergie et frottements

Un bus TOYOTA de masse $m=2\ \mathrm{t}$ se déplace sur une route faisant un angle $\alpha=30^\circ$ avec l’horizontale dans un temps $t=10\ \mathrm{N/g}$.

Un dispositif approprié permet d’enregistrer la position du mobile toutes les $80\ \mathrm{ms}$, ce qui permet de repérer sa vitesse à chaque position. Les résultats sont consignés dans le tableau ci-suit.

1. Compléter le tableau. On se limitera à $2$ chiffres après la virgule. 1 pt
2. Calculer le travail du poids du bus entre $M_0$ et $M_7$. 1 pt
3. Calculer la variation de l’énergie cinétique entre ces $2$ positions et en déduire que les frottements ne sont pas négligeables. 1 pt
4. Tracer la courbe représentant $V^2$ en fonction de $X$.
   Echelle : $1\ \mathrm{cm}\Rightarrow 1\ \mathrm{m/s^2}$ ; $1\ \mathrm{cm}\Rightarrow 0{,}1\ \mathrm{m}$
   2 pts
5. Exprimer $V^2$ en fonction de $X$, $m$, $g$, $\alpha$ et $f$ puis calculer $f$. 2 pts

Exercice 3 : 4 points

Pendule simple : période et énergie

Un pendule assimilable à un pendule simple est constitué par une masse de $500\ \mathrm{g}$ suspendue à un point fixe par l’intermédiaire d’un fil de masse négligeable. On écarte la masse de sa position d’équilibre d’une distance de $20\ \mathrm{cm}$ et on l’abandonne sans vitesse initiale. On compte exactement $45$ périodes en $3\ \mathrm{mn}$.

1. Quelle est la longueur du pendule ? 1 pt
2. Quelle est l’énergie cinétique de la masse $16\ \mathrm{s}$ après son départ ? 1 pt
3. Quelle est la vitesse linéaire maximale de la masse ? 1 pt
4. On peut confondre le sinus avec la mesure de l’arc (en radian). Quelle est alors l’énergie cinétique de la masse $15\ \mathrm{s}$ après son départ ?
   (On suppose que l’amplitude a conservé sa valeur initiale.)
   1 pt

Exercice 4 : 6 points

(Les parties I et II sont indépendantes)

I/ Oscillateur à torsion

Une barre horizontale est suspendue en son milieu à un fil de torsion vertical de constante $C=25\cdot10^{-3}\ \mathrm{N\cdot m/rad}$. Calculer :

1. L’énergie potentielle élastique du système fil-barre lorsque la barre effectue une rotation d’angle $\alpha=20^\circ$. 1 pt
2. L’angle de rotation correspondant à une énergie potentielle élastique égale à $0{,}02\ \mathrm{J}$. 1 pt
3. Le niveau de référence de l’énergie potentielle élastique est la position d’équilibre du système. 1 pt

II/ Pistolet à ressort

On tire à l’aide d’un pistolet à ressort une balle de masse $m=10\ \mathrm{g}$ à la vitesse $V=90\ \mathrm{m/s}$.

tâches :

1. Calculer l’énergie mécanique du système ressort-balle juste après le tir. 2 pts
2. En déduire l’énergie potentielle élastique de ce système juste avant le tir. 1 pt
3. De quelle longueur doit-on comprimer ce ressort de constante de raideur $K=3240\ \mathrm{N/m}$ ? 1 pt

A- / ÉVALUATION DES RESSOURCES 15,5 pts

EXERCICE 1 : 4,5 pts

Systèmes et problème de calcul

1. Déterminer les triplets $(x,y,z)$ de $\mathbb{R}^3$ vérifiant le système $(S)$ :
   $\begin{cases} 7x-7y-7z=350\\ x-3y+z=-100\\ x+y-7z=200 \end{cases}$
   1,5 pt
2. Pour $x\ge 0$ et $z\ne -1$, déduire dans $\mathbb{R}^3$ les solutions du système $(S’)$ :
   $\begin{cases} 7\sqrt{x}-7(y+25)-\dfrac{7}{z+1}=350\\ \sqrt{x}-3(y+25)+\dfrac{1}{z+1}=-100\\ \sqrt{x}+(y+25)-\dfrac{7}{z+1}=200 \end{cases}$
   1,5 pt
3. Au marché, trois clients achètent les mêmes variétés de fruits. La première achète $2$ ananas, $5$ mangues et $4$ papayes et paie $620$ F. La deuxième achète $3$ ananas, $5$ mangues et $1$ papaye et paie $530$ F. La troisième achète $2$ ananas, $7$ mangues et $8$ papayes. Combien doit-elle payer ? 1,5 pt

EXERCICE 2 : 6 pts

Équations et étude d’un trinôme

1. Résoudre dans $\mathbb{R}\times\mathbb{R}$ le système :
   $\begin{cases} \sqrt{x}+\sqrt{y}=27\\ xy=36 \end{cases}$
   2 pts
2. Soit l’équation $(E_m):\ x^2+6x+5-2m=0$.
   1. Calculer le discriminant $\Delta_m$, le produit $P$ et la somme $S$ des solutions. 1 pt
   2. Déterminer les valeurs de $m$ pour lesquelles $(E_m)$ admet :
      i) Aucune solution    ii) Deux solutions négatives    iii) Deux solutions de signes contraires    iv) Une solution
      0,5 pt × 4
3. Résoudre dans $\mathbb{R}\times\mathbb{R}$ le système dépendant du réel $m$ :
   $\begin{cases} 3x-4y=1-m\\ x-2y=m-1 \end{cases}$
   1 pt

EXERCICE 3 : 5 pts

Équations et polynôme

1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ :
   1. $\sqrt{4-x}\le x-2$
   2. $\sqrt{x^2-1}+2x=3$
   1 pt × 2
2. Soit le polynôme $P(x)=2x^3-x^2-x-3$.

Suite de l’EXERCICE 3

1. Calculer $P\!\left(\dfrac{3}{2}\right)$ et conclure. 0,5 pt
2. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation $P(x)=0$. 1,5 pt
3. En déduire la résolution dans $\mathbb{R}$ de l’inéquation $\dfrac{2x^3-x^2-x-3}{x^2-3x+2}\le 0$. 1 pt

B- / ÉVALUATION DES COMPÉTENCES

(Résoudre une situation de vie à l’aide du langage mathématique où interviennent des systèmes d’équations) 4,5 pts

Situation-problème : gestion d’une réserve

Vondou a une grande réserve ayant la forme d’un triangle rectangle dont le plus grand côté mesure $AC=72{,}5\ \mathrm{m}$ et ayant une aire de $429\ \mathrm{m^2}$, subdivisée en trois zones comme indiqué sur la figure ci-dessous. Dans la zone 1 il élève les monoronces, dans la zone 2 il élève les taureaux et dans la zone 3 les canards.

Il aimerait entourer son champ avec du fil barbelé. Sur le marché, $1\ \mathrm{m}$ de fil coûte $1250\ \mathrm{F}$. Pour l’entretien de sa réserve, Vondou devra partager équitablement la somme de $30000\ \mathrm{F}$ à ses employés de façon que si un employé a quatre personnes de moins, la part de chacun sera augmentée de $1250\ \mathrm{F}$. Dans cette réserve, on compte $300$ pattes, $100$ têtes et $65$ cornes.

tâches :

1. Déterminer la somme d’argent à dépenser pour clôturer son champ. 1,5 pt
2. Déterminer le nombre d’animaux de chaque espèce. 1,5 pt
3. Déterminer le montant reçu par chaque employé. 1,5 pt

EXERCICE 1 : 4,5 points

Travail des forces sur un plan incliné

Sur un plan incliné, un treuil tire un bloc de marbre de masse $m=400\ \mathrm{kg}$ en exerçant une force $F$ de valeur $500\ \mathrm{N}$ et parallèle à une ligne de plus grande pente. Le plan fait un angle de $30^\circ$ par rapport à l’horizontale. Le bloc se déplace de $3\ \mathrm{m}$ le long d’une ligne de la pente.

1. Calculer le travail de la force $\vec{F}$. 1 pt
2. Déterminer le travail du poids au cours du même déplacement. 1 pt
3. Calculer le travail de la résultante $\vec{R}$ des actions réparties qu’exerce le plan incliné sur le bloc de marbre, si l’on admet que celui-ci se déplace à vitesse constante. 1 pt
4. En déduire la valeur de $R_t$, la composante tangentielle de la résultante $\vec{R}$ des actions réparties exercées par le plan incliné. 1,5 pt

EXERCICE 2 : 10 points

Chocs et conservation de la quantité de mouvement

On suppose que les wagons en mouvement sur une voie horizontale sont des solides pseudo-isolés.

1. Dans une gare de triage, un wagon de masse $M=40\ \mathrm{t}$ est lancé sur une voie rectiligne et horizontale à la vitesse $V=2\ \mathrm{km/h}$. Il rencontre un deuxième wagon de masse $M’=50\ \mathrm{t}$ immobile sur la voie. Après le choc, les deux wagons restent accrochés.
   1. Calculer la vitesse $V_1$ prise par le convoi. 2 pts
   2. Calculer son énergie cinétique. 2 pts

Ensuite

2. Le convoi ainsi formé, se déplaçant toujours à la vitesse $V_1$, rencontre un troisième wagon de masse $M »=60\ \mathrm{t}$ qui roulait dans le sens du vecteur vitesse $\vec{V_1}$ à la vitesse $V_2=0{,}6\ \mathrm{km/h}$. Le choc est élastique. On désigne par $V’_1$ la vitesse du convoi et par $V’_2$ la vitesse du troisième wagon après le choc.
   1. Définir un choc élastique. 1 pt
   2. Calculer $V’_1$ et $V’_2$. 5 pts

EXERCICE 3 : 5 points

Mouvement sur un plan incliné sans frottement

Partant du point $A$ sans vitesse initiale, un chariot dévale un plan incliné faisant un angle de $45^\circ$ avec l’horizontale. Les frottements sont négligés et on prend $g=10\ \mathrm{N/kg}$.

Un chariot $(S)$ part du point $A$ sans vitesse initiale et glisse sur un plan incliné faisant un angle de $45^\circ$ avec l’horizontale jusqu’au point $B$. Il remonte ensuite un second plan incliné faisant un angle de $30^\circ$ avec l’horizontale pour atteindre le point $C$.

1. Sachant que $AB=2\ \mathrm{m}$, calculer la vitesse du chariot au point $B$. 1 pt
2. Au passage en $B$, grâce à un raccordement convenable, le mobile aborde, sans perdre de vitesse, un plan $BC$ incliné de $30^\circ$. Sachant qu’en $C$ il rebrousse chemin, comparer les altitudes $h_A$ et $h_C$ des points $A$ et $C$, comptées à partir du plan horizontal passant par $B$. 2 pts

Ensuite

3. Calculer la distance $BC$ parcourue par le chariot. 1 pt
4. On suppose qu’il existe sur $BC$ des frottements équivalents à une force $f$ et que l’altitude atteinte est $h’_C$. Comparer $h’_C$ et $h_C$. 1,5 pt
5. Énoncer le théorème de l’énergie cinétique. 1 pt

Exercice 1 : 4 points

Trinômes, équations et factorisations

1. a) Étudier suivant les valeurs du réel $x$ les signes des trinômes suivants : $P(x)=3x^2+6x-9$ et $Q(x)=-x^2-4x-4$. 0,75 pt + 0,5 pt
2. b) Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’inéquation : $\dfrac{6x+21}{(x+2)^2}>3$. 1 pt
3. 2) a) Factoriser les polynômes : $A(x)=2x^2+\dfrac{1}{3}x-2$ et $B(x)=2x^2-9x+4$. 1 pt
4. b) Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation : $(E):\dfrac{2x^2+3x-2}{2x^2-9x+4}=0$. 0,75 pt

Exercice 2 : 4 points

Fonctions, équations et inéquations

1. A) Pour chacune des questions suivantes, indiquer la (ou les) bonne(s) réponse(s).
   1) Le sommet d’une parabole représentant une fonction $f$ de coefficient $1$ peut avoir pour abscisse :
   a) $-2x^2+4x-5$   b) $x^2-2x+7$   c) $3x^2-9x+6$
   1,25 pt
2. 2) Suivant les valeurs de $x$, l’expression $4x^2-12x+9$ peut être :
   a) positive    b) négative    c) nulle
3. 3) Les équations $x^2-4x+3=0$ et $x^2-x+6=0$ :
   a) n’ont aucune solution en commun   b) ont une solution en commun   c) ont deux solutions en commun
4. B) Préciser si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses :
   1) $2x^2-3x+7$ est positif pour tout réel $x$.
   2) $x^2+x-3$ change deux fois de signe.
   3) $-8x^2+11x-3$ est négatif pour tout réel $x$.
   4) $-3x^2+3\infty$ sur $]-\infty;0[$ pour tout réel $x$.
   1 pt
5. C) Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation et l’inéquation suivantes :
   a) $\dfrac{x}{x+1}+\dfrac{4}{x+1}=3$
   b) $\dfrac{7x-1}{x+1}-\dfrac{2x+3}{x+1}\le 0$
   0,75 pt + 1 pt

Exercice 3 : 3 points

Systèmes et résolution d’inéquation

1. A) Résoudre dans $\mathbb{R}^2$ les systèmes suivants :
   a) $\begin{cases} x^2+y^2=10\\ \dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}=\dfrac{5}{2} \end{cases}$    b) $\begin{cases} \sqrt{x}+\sqrt{y}=27\\ xy=36 \end{cases}$
   0,75 pt + 0,75 pt
2. B) Pour résoudre l’inéquation $\dfrac{2x+1}{x+2}\le 3x$, voici ce que propose Zoé :
   « Je multiplie par $x+2$ et on a : $2x+1\le 3x^2+6x$ ; je regroupe dans un même membre et on a $-3x^2-4x+1\le 0$ ; je calcule le discriminant : $\Delta=16+12=28$ ; je calcule les … »

Suite de l’EXERCICE 3

Les racines sont : $x_1=\dfrac{-2-\sqrt{7}}{3}$ et $x_2=\dfrac{-2+\sqrt{7}}{3}$. Comme $a=-3$, l’ensemble solution est $]-\infty;\dfrac{-2-\sqrt{7}}{3}[\ \cup\ ]\dfrac{-2+\sqrt{7}}{3};+\infty[$.

Un voisin Olivier commence par observer les courbes des fonctions $x\mapsto\dfrac{2x+1}{x+2}$ et $x\mapsto3x$.

1. En quoi l’observation d’Olivier montre-t-elle que le résultat de Zoé ne convient pas ? 0,5 pt
2. Où se trouve l’erreur commise par Zoé ? 0,25 pt
3. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’inéquation proposée en utilisant un tableau de signe. 0,75 pt

Exercice 4 : 4,5 points

Étude d’une équation du second degré

On considère l’équation : $(E):\ (m+3)x^2-(2m-1)x+m-2=0$, avec $m\in\mathbb{R}$.

1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation $(E)$ lorsque $m=1$. 1 pt
2. Déterminer la somme et le produit des solutions de $(E)$. 1 pt
3. Déterminer suivant les valeurs de $m$ le signe du polynôme du second degré associé à $(E)$. 1,75 pt
4. Déterminer l’équation indépendante de $m$ liant les deux solutions de $(E)$. 0,75 pt

PARTIE B : ÉVALUATION DES COMPÉTENCES 4,5 points

Situation-problème : panneau publicitaire

La figure ci-contre représente un panneau publicitaire rectangulaire de $48\ \mathrm{m}$ sur $10\ \mathrm{m}$ partagé en trois zones : une zone centrale $MNPR$ rectangulaire et deux zones latérales $AMNP$ et $BRCN$.

Le marketing de cette entreprise souhaite augmenter ses recettes. Après une étude, il ressort que la zone centrale rapporte deux fois plus que chaque zone latérale. On désigne par $x$ la distance $AM$. Quelles sont les positions possibles du point $M$ sur le segment $[AB]$ ?

Tâches :

1. Exprimer en fonction de $x$ l’aire de chacune des deux zones. 1,5 pt
2. Montrer que la résolution de ce problème revient à résoudre une inéquation du second degré que l’on déterminera. 1,5 pt
3. Conclure.
   
   1,5 pt

Exercice 1 : 06,5 points

Identités trigonométriques et équations

1. I. Soit $x$ un nombre réel. Démontrer que $\cos3x=4\cos^3x-3\cos x$ et $\sin8x=8\sin x\cos x\cos2x\cos4x$. 1,5 pt
2. II. En déduire la valeur exacte de $A=\cos^3\frac{\pi}{12}+\cos^3\frac{5\pi}{12}+\cos^3\frac{7\pi}{12}+\cos^3\frac{11\pi}{12}$ et $B=\dfrac{\cos^7\frac{\pi}{12}}{\cos^7\frac{5\pi}{12}}$. 1,5 pt
3. III. On considère la fonction $f(x)=16\sin5x-20\sin x+5\sin x$. 1,5 pt
   1. Vérifier que $f(x)=5\sin x\cos4x\cos2x$. 0,5 pt
   2. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation $16\sin^3x-20\sin x+5\sin x=0$. 0,5 pt
   3. Déduire les valeurs exactes de $\sin^3x$ et $\sin^2x$. 0,5 pt

Exercice 2 : 06 points

Trigonométrie et équations

Un quart de longueur $\sqrt{3}\ \mathrm{m}$ fait un angle droit et sa longueur n’est plus alors que de $1\ \mathrm{m}$. Sur la figure, une droite passe par $O$, fait avec l’axe des $x$ un angle $\alpha$ et coupe les deux axes en $A$ et $B$.

1. Exprimer $OA$, $OB$ et $AB$ en fonction de $\alpha$. 1,5 pt
2. Démontrer que $AB=\dfrac{4\cos\alpha}{\sin2\alpha}$. 0,75 pt
3. Déterminer $\alpha$ compris entre $0$ et $2\pi$ pour que $AB=4$. 1 pt
4. a. Déterminer les réels $\alpha$ vérifiant $OA=OB$. 0,75 pt
   b. Sachant que $\dfrac{2}{\sqrt{5}}=\dfrac{1}{\sin\alpha}$, calculer les valeurs exactes de $\cos\alpha$ et $\sin\alpha$. 0,5 pt
5. c. Écrire l’équation $(\sqrt{6}+\sqrt{2})\cos x+(\sqrt{6}-\sqrt{2})\sin x+2\sqrt{3}=0$ sous la forme $R\cos(x-\varphi)+2\sqrt{3}=0$ où $R$ et $\varphi$0,75 pt
6. d. Résoudre dans $\mathbb{R}$ puis dans $]0;2\pi[$ l’équation $(E)$. 0,75 pt

Exercice 3 : 07 points

Géométrie dans l’espace

Soit le cube $ABCDEFGH$ d’arête $1\ \mathrm{cm}$ représenté sur la figure ci-contre. $I$ est le milieu de $[EF]$ et $K$ est le centre du carré $ADHE$.

1. a) Donner les coordonnées des points $A$, $B$, $D$, $E$.
   b) Déterminer les coordonnées des points $I$ et $K$.
   Les vecteurs $\vec{BI}$, $\vec{KF}$ et $\vec{TJ}$ dans la base $(\vec{IT},\vec{JT},\vec{TK})$. 1,25 pt
2. c) Calculer les produits scalaires $\vec{BK}\cdot\vec{IG}$ et $\vec{BK}\cdot\vec{TA}$. 1 pt
3. d) En déduire que la droite $(BK)$ est orthogonale à $(IG)$. 0,25 pt
4. e) a) Écrire une équation cartésienne du plan $(IGA)$.
   b) Écrire une représentation paramétrique de la droite $(\Delta)$.
   c) Déterminer l’intersection du plan $(IGA)$ et de la droite $(\Delta)$. 1,25 pt
5. f) Déterminer la distance de $B$ au plan $(IGA)$. 0,5 pt

Exercice 1 : 06 points

I/ Résolution d’une équation bicarrée transformée

On se propose de résoudre l’équation $(E_0):\ 2x^4-9x^3+14x^2-9x+2=0$.

1. Vérifier que $0$ n’est pas une solution de $(E_0)$. 0,25 pt
2. On désigne par $(E_1)$ l’équation : $2\left(x^2+\dfrac{1}{x^2}\right)-9\left(x+\dfrac{1}{x}\right)+14=0$.
   1. Montrer que $(E_1)$ et $(E_0)$ sont équivalentes. 0,75 pt
   2. Poser $u=x+\dfrac{1}{x}$. Montrer que $(E_1)$ est équivalente à $(E_2):\ 2u^2-9u+10=0$. 0,75 pt
3. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation $(E_2)$ et en déduire les solutions de $(E_0)$ dans $\mathbb{R}$. 1 pt

II/ Système et étude d’une équation paramétrée

On considère dans l’ensemble des réels $\mathbb{R}$ le système $(S)$ :

1. Démontrer que $x$ vérifie l’équation $(E_3):\ 16x^2-27x-10=0$. 0,75 pt
2. En déduire les solutions du système $(S)$. 1 pt
3. Étudier l’existence, le nombre et le signe des solutions de l’équation : $(E_m):\ (m-1)x^4-(2m-1)x^2+m+1=0$. 1,5 pt

Exercice 2 : 06,5 points

I/ Trigonométrie : valeurs exactes et résolution

Soit l’équation $(E)$ : $\sqrt{2-\sqrt{2}\sin x}-\sqrt{2+\sqrt{2}\cos x}=-2$.

1. Déterminer les valeurs exactes de $\cos\frac{7\pi}{4}$ et $\sin\frac{7\pi}{4}$. 1 pt
2. En déduire que $\cos^2\frac{7\pi}{8}=\dfrac{2+\sqrt{2}}{4}$ et $\sin^2\frac{7\pi}{8}=\dfrac{2-\sqrt{2}}{4}$. 1 pt
3. En déduire les valeurs exactes de $\cos\frac{7\pi}{8}$ et $\sin\frac{7\pi}{8}$. 0,5 pt
4. Résoudre dans $[0,2\pi[$ l’équation $(E)$. 1 pt

II/ Aire d’un polygone

1. Sachant que $(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2=5-2\sqrt{6}$, résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation : $4x^2+2(\sqrt{3}+\sqrt{2})x+\sqrt{6}=0$. 0,5 pt
2. En déduire dans $\mathbb{R}$ les solutions de l’équation : $-4\sin^2x+2(\sqrt{3}+\sqrt{2})\cos x+\sqrt{6}+4=0$. 1 pt

Suite de l’Exercice 2

3. On place les images des solutions de $(E)$ sur le cercle trigonométrique :
   1. Placer les images des solutions de $(E)$ sur le cercle trigonométrique. (Unité : $3\ \mathrm{cm}$ sur les axes.) 0,5 pt
   2. Quelle est la nature du polygone obtenu ? 0,25 pt
   3. Calculer la valeur exacte de l’aire de ce polygone. 0,75 pt

Exercice 3 : 03 points

Triangle, barycentre et application

L’unité de longueur est le $\mathrm{cm}$. $ABC$ est un triangle tel que $AB=3$, $BC=6$ et $AC=10$. $I$ est le milieu de $[BC]$.

1. Construire le point $G$ tel que $G$ est le barycentre des points $(A,2)$, $(B,-1)$ et $(C,1)$. 0,5 pt
2. Donner la nature du quadrilatère $ABIG$ et du triangle $BCG$ en justifiant votre réponse par calcul. 1 pt
3. Soit $M$ un point du plan. On définit l’application du plan par : $f(M)=2MA^2-MB^2+MC^2$.
   1. Montrer que $f(M)=2\big(MG^2+GA^2\big)$. 0,5 pt
   2. Déterminer et construire l’ensemble $(E)$ des points $M$ du plan tel que $f(M)=36$. 1 pt

Exercice 4 : 04,5 points

Endomorphisme dans un plan vectoriel

$E_2$ est un plan vectoriel rapporté à une base $B=(\vec{i},\vec{j})$. Soit l’endomorphisme $f$ qui à tout vecteur $\vec{u}=x\vec{i}+y\vec{j}$ associe $\vec{u’}=x’\vec{i}+y’\vec{j}$ tel que $f(\vec{u})=\vec{u’}$. On pose :

1. a. Déterminer la matrice de $f$ dans la base $B$ et montrer que $f$ n’est pas un automorphisme. 0,75 pt
   b. Déterminer le noyau $\mathrm{Ker}\,f$ et l’image $\mathrm{Im}\,f$. 0,75 pt
   c. Montrer que $\mathrm{Ker}\,f=\mathrm{Im}\,f$. 0,5 pt
2. Soit $\vec{u}$ un vecteur de $\mathrm{Ker}\,f$. Montrer qu’il existe un vecteur $\vec{v}$ de $E_2$ tel que $f(\vec{v})=\vec{u}$. 0,75 pt
3. On pose $\vec{e_1}=-\vec{i}+2\vec{j}$ et $\vec{e_2}=-\vec{i}+\vec{j}$.
   1. Montrer que $(\vec{e_1},\vec{e_2})$ est une base de $E_2$. 0,25 pt
   2. Montrer que $\vec{e_1}\in\mathrm{Ker}\,f$ et que $f(\vec{e_2})=\dfrac{1}{2}\vec{e_1}$. 0,75 pt
   3. En déduire la matrice de $f$ dans la base $(\vec{e_1},\vec{e_2})$. 0,5 pt