1ere A: 4eme Séquence en maths

PARTIE A : 6 Points (Pour Tous !!!)

I. Équations, problèmes et systèmes

1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation $x^2+50x-216=0$. 0,75pt
2. Un article coûtant $50\,000$ F subit une hausse de $x\%$, puis une baisse de $2x\%$. Le prix actuel étant $47\,840$ F, déterminer la valeur de $x$. 1pt
3. Résoudre dans $\mathbb{R}^2$ le système suivant : $$ \begin{cases} x-y=36 \\ x-3y=18 \end{cases} $$ 1pt
4. En 2011, un père avait $36$ ans de plus que son dernier fils. En 2020, le père sera trois fois plus âgé que le fils. Déterminer l’âge de chacun en 2011. 1pt

II. Étude d’un polynôme

On considère le polynôme $P$ défini par : $P(x)=-24+x^3+2x+3x^2$.

1. Ordonner $P(x)$ suivant les puissances décroissantes de $x$. 0,25pt
2. Vérifier que $2$ est une solution de l’équation $P(x)=0$. 0,5pt
3. Déterminer deux réels $a$ et $b$ tels que $P(x)=(x-2)(x^2+ax+b)$. 0,5pt
4. Étudier le signe de $P(x)$ puis en déduire la solution dans $\mathbb{R}$ de l’inéquation $P(x)<0$. 1pt

PARTIE B : 6 Points

I. Arrangements et dénombrement

1. Un salon contient une table à huit chaises. Déterminer le nombre de façons possibles d’installer $8$ convives. 0,5pt

II. Codes et chiffres

Le code d’ouverture d’un coffre-fort est composé de cinq chiffres, pris parmi $0,1,2,\ldots,9$. Chaque chiffre peut être répété.

1. Déterminer le nombre total de codes possibles. 0,5pt
2. Calculer le nombre de codes ne comportant aucun chiffre pair. 0,5pt
3. Déterminer le nombre de codes comportant au moins un chiffre pair. 0,75pt
4. Calculer le nombre de codes comportant au plus deux chiffres impairs. 0,75pt

III. Probabilités – tirage de boules

Une urne contient $1$ boule blanche, $2$ boules jaunes et $3$ boules rouges. Trois boules sont tirées simultanément.

1. Déterminer le nombre total de tirages possibles. 0,5pt
2. Calculer le nombre de tirages correspondant à chacun des cas suivants :
   1. Obtenir exactement trois boules de même couleur 0,5pt
   2. Obtenir exactement trois boules de couleurs toutes différentes 0,5pt
   3. Obtenir exactement une boule rouge 0,5pt
   4. Obtenir au moins une boule jaune 0,5pt
   5. Obtenir au plus une boule jaune 0,5pt

PARTIE B (bis) 6 Points

La courbe ci-contre représente une fonction numérique $f$ définie sur l’intervalle $[0;6]$ dans un repère orthonormé $(O,I,J)$.

Lecture graphique

1. Déterminer l’ensemble de définition de $f$. 0,25pt
2. Déterminer $f(0)$, $f(3)$ et $f(6)$. 0,75pt
3. Résoudre l’équation $f(x)=0$. 1pt
4. Résoudre l’inéquation $f(x)>0$. 1pt

Expression algébrique de la fonction

On pose $f(x)=-x^2+ax+b$ où $a$ et $b$ sont des nombres réels.

1. En utilisant les résultats de la question précédente, déterminer les valeurs de $a$ et $b$. 1,5pt
2. Retrouver le résultat de la résolution de $f(x)=0$ par le calcul. 1pt

Construction graphique

1. Reproduire la courbe ci-contre puis construire, dans le même repère $(O,I,J)$, la courbe $(C_g)$ représentant la fonction $g$ définie par $g(x)=-f(x)$. 1,5pt

PARTIE C 8 Points

Pour tous

On considère la fonction numérique $f$ d’une variable réelle $x$ définie sur $[-5;4]$ par : $$ f(x)=\frac{2x+1}{x+2}, $$ et $(C_f)$ sa courbe représentative dans le repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$.

Étude de la fonction

1. Justifier que l’ensemble de définition de $f$ est $[-5;-2[ \cup ]-2;4]$. 0,5pt
2. Calculer les limites de $f$ aux bornes de son ensemble de définition. 0,25pt × 4 = 1pt
3. Calculer la dérivée $f'(x)$ puis dresser le tableau de variation de $f$. 1pt
4. Déterminer une équation de la tangente $(T)$ à $(C_f)$ au point d’abscisse $-1$. 0,5pt
5. Déterminer :
   • les coordonnées du point $A$ d’intersection de $(C_f)$ avec l’axe des abscisses ;
   • les coordonnées du point $B$ d’intersection de $(C_f)$ avec l’axe des ordonnées.
   0,5pt × 2 = 1pt

Représentations graphiques

1. Construire la courbe $(C_f)$ et la tangente $(T)$ dans le repère $(O,\vec{i},\vec{j})$. 1,5pt
2. Montrer que le point $K(-2;2)$ est un centre de symétrie de la courbe $(C_f)$. 1pt

Étude d’une fonction associée

On définit la fonction $g$ par $g(x)=-f(x)$ et on note $(C_g)$ sa courbe représentative.

1. Donner le programme de construction de $(C_g)$ à partir de $(C_f)$. 0,5pt
2. Construire alors la courbe $(C_g)$ dans le même repère que $(C_f)$. 1pt

ÉVALUATION DES RESSOURCES 15,5 points

Exercice 1 5 points

On considère le polynôme du second degré : $$ P(x)=x^2-200x+396. $$

1. Démontrer que $P(x)$ admet deux racines distinctes. 0,75pt
2. Écrire $P(x)$ sous la forme canonique. 1pt
3. En déduire la forme factorisée de $P(x)$. 0,5pt
4. Résoudre l’équation $P(x)=0$. 0,75pt
5. En déduire les solutions de l’équation $$ (x+5)^2-200(x+5)+396=0. $$ 1pt
6. Résoudre l’inéquation $P(x)\ge 0$. 1pt

Exercice 2 5 points

Résolution de systèmes

1. Résoudre dans $\mathbb{R}^2$ le système : $$ \begin{cases} 4x+5y=2650\\ 3x+4y=2100 \end{cases} $$ 1,5pt
2. En déduire la résolution dans $\mathbb{R}^2$ du système : $$ \begin{cases} 4a^2+\dfrac{5}{b}=2650\\ 3a^2+\dfrac{4}{b}=2100 \end{cases} $$ 1,5pt

Problème concret

Dans une boutique, 4 cahiers et 5 stylos coûtent 2650 F CFA. Par ailleurs, 3 cahiers et 4 stylos coûtent 550 F CFA de moins.

Déterminer le prix d’un cahier et celui d’un stylo. 2pts

Exercice 3 5,5 points

La courbe représentative $(C_f)$ ci-dessous, dans le repère $(O,I,J)$, représente la fonction définie par : $$ f(x)=ax^2+bx-4. $$

1. Déterminer les images de $-1$, $0$, $2$ et $6$. 0,25 × 4 pt
2. Déterminer $f'(2)$, $f'(3)$, $f'(4)$ et $f(4)$. 0,25 × 4 pt
3. Étudier les variations de $f$ et dresser son tableau de variations. 1pt
4. Déterminer les antécédents de $0$ puis résoudre graphiquement l’inéquation $f(x)\le 0$. 1pt
5. Calculer $f'(x)$ en fonction de $a$ et $b$. 0,5pt
6. En déduire les valeurs de $a$ et $b$, puis montrer que : $$ f(x)=-\frac12 x^2+3x-4. $$ 0,5pt
7. Montrer que la droite d’équation $x=3$ est l’axe de symétrie de la courbe. 0,5pt

ÉVALUATION DES COMPÉTENCES 4,5 points

Une entreprise commercialise des produits. Le coût de production de $x$ articles (en tonnes) est donné par : $$ c(x)=-2x^2+4x-7 $$ (en millions de francs CFA).

Le coût de vente est donné par : $$ v(x)=6x-31. $$

Un bénéfice est réalisé lorsque le coût de vente est supérieur au coût de production.

1. Le coût de production peut-il atteindre 5 millions ? 1,5pt
2. À partir de combien d’articles a-t-on $c(x)=v(x)$ ? 1,5pt
3. À partir de combien de tonnes l’entreprise réalise-t-elle un bénéfice ? 1,5pt

ÉVALUATION DES RESSOURCES : 15,5 PTS

EXERCICE 1 : (1pt × 4 = 4 pts)

Questions de dénombrement et calculs

1. Résoudre dans $\mathbb{N}$ : $A_n^2 = 72$.
2. Déterminer le nombre d’anagrammes du mot RECHERCHER.
3. Calculer le nombre de façons possibles de ranger $5$ véhicules dans un parking de $7$ places.
4. Dans un restaurant, Jémima peut choisir entre $3$ entrées, $5$ plats de résistance et $4$ sorties. Un menu comprend une entrée, un plat de résistance et une sortie. Déterminer le nombre de menus possibles.

EXERCICE 2 : 6,5 pts

Étude statistique d’une série groupée

Une enquête portant sur la durée, en minutes, des communications passées d’une cabine téléphonique fournit les résultats ci-dessous :

1. Construire l’histogramme de cette série statistique (échelle : $(Ox)$ $2$ cm pour $1$ et $(Oy)$ $1$ cm pour $5$). 1 pt
2. Déterminer la classe modale, le mode, la moyenne, la médiane, la variance et l’écart type de cette série statistique. 5,5 pts

EXERCICE 3 : 5 pts

Lecture d’un tableau de variations

Le tableau de variation ci-dessous est celui d’une fonction $f$ :

1. Préciser le domaine de définition de $f$. 1 pt
2. Indiquer le signe de $f(x)$ sur les intervalles $]-2;0[$ et $]0;4[$. 1 pt
3. a) Donner les antécédents de $0$ et de $-2$.
   b) Déterminer les images de $-2$ et de $4$ par $f$. 2 pts
4. Décrire l’allure de la courbe représentative de $f$. 1 pt

ÉVALUATION DES COMPÉTENCES : 04,5 PTS

Situation problème

BIGNOM possède une grande réserve de forme rectangulaire dont le périmètre est de $140$ m. La longueur dépasse la largeur de $10$ m. Pour l’entretien de cette réserve, une somme de $48\,000$ F doit être partagée équitablement entre les employés. L’arrivée de deux employés supplémentaires entraîne une diminution de $800$ F sur la part individuelle.

1. Déterminer les dimensions de cette réserve. 2,25 pts
2. Calculer le montant reçu par chaque employé. 2,25 pts

I. ÉVALUATION DES RESSOURCES 15,5 pts

Exercice 1 4,5 pts

Équations, inéquations et systèmes

1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation $x^2-20x-384=0$. 1 pt
2. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’inéquation $x^2+4x-5<0$. 1 pt
3. a) Résoudre dans $\mathbb{R}^2$ le système suivant : 1 pt
   $$ \begin{cases} 3x+2y=30\\ 4x-3y=-11 \end{cases} $$ b) En déduire la solution du système : 1,5 pt
   $$ \begin{cases} 3(x-1)^2+\dfrac{2}{(y-3)^2}=30\\[6pt] 4(x-1)^2-\dfrac{3}{(y-3)^2}=-11 \end{cases} $$

Exercice 2 4,5 pts

Série statistique groupée

Les moyennes des notes obtenues par les candidats dans un centre d’examen du Cameroun se répartissent dans le tableau suivant :

1. Indiquer la classe modale. 0,5 pt
2. Calculer la moyenne, la variance et l’écart-type. 2 pts
3. Déterminer le nombre de candidats ayant une moyenne strictement inférieure à $8$. 0,5 pt
4. Calculer le pourcentage des candidats ayant obtenu une note supérieure ou égale à $12$. 0,75 pt
5. Déterminer la médiane de cette série statistique. 0,75 pt

Exercice 3 6,5 pts

Étude d’une fonction rationnelle

Soit la fonction définie par $$ f(x)=\dfrac{3x-1}{x+2}, $$ on note $(C_f)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O,I,J)$.

1. Donner l’ensemble de définition de $f$. 0,5 pt
2. Calculer les limites de $f$ aux bornes de son ensemble de définition. 1,5 pt
3. Déterminer la dérivée de $f$ et en déduire le sens de variation de $f$. 1 pt
4. Établir le tableau de variation de $f$. 1 pt
5. Donner l’équation de la tangente $(T)$ à $(C_f)$ au point d’abscisse $-1$. 1 pt
6. Construire $(T)$ et $(C_f)$ dans le même repère $(O,I,J)$. 1,5 pt

II. ÉVALUATION DES COMPÉTENCES 4,5 pts

Situation

L’association des parents du Complexe Scolaire Bilingue TATIE décide de primer les élèves et les enseignants de votre classe. Les élèves ayant obtenu une moyenne strictement supérieure à $12$ au premier trimestre reçoivent $5\,000$ F chacun.

Les $\dfrac{2}{3}$ des $60$ élèves ont obtenu une moyenne supérieure à $12$. Une somme de $210\,000$ F est à partager équitablement entre les meilleurs enseignants.

Le nombre d’enseignants méritant cette prime est solution de l’équation $$ x^2-28x-60=0. $$

Un jardin rectangulaire de périmètre $50$ m et d’aire $150\,\text{m}^2$ doit être grillagé uniquement sur ses largeurs. Le coût du grillage est de $1\,500$ F par mètre.

Tâches

1. Calculer la somme totale dépensée pour primer les élèves. 1,5 pt
2. Déterminer la somme reçue par chaque enseignant méritant la prime. 1,5 pt
3. Évaluer la somme dépensée pour l’achat du grillage. 1,5 pt

PARTIE A : ÉVALUATION DES RESSOURCES 15,5 points

Exercice 1 6 points

Équation et application financière

1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation $(E)$ : $x^2+102x-535=0$. 2 pts
2. On place une somme de $200\,000$ F à un taux annuel de $x\%$. Après une année, le capital et les intérêts produits sont replacés à un taux annuel de $(x+2)\%$. L’intérêt obtenu au cours de cette deuxième année est de $14\,700$ F.
   1. Exprimer, en fonction de $x$, la somme retirée à la fin de la première année. 1 pt
   2. Donner, en fonction de $x$, l’intérêt produit au cours de la deuxième année. 1,5 pt
   3. En déduire que $x$ vérifie l’équation $(E)$. 1 pt
   4. Déterminer alors la valeur de $x$. 0,5 pt

Exercice 2 5 points

Statistiques – production agricole

On a relevé la production de maïs (en millions de tonnes) de chacune des $40$ exploitations agricoles répertoriées d’un pays. Les résultats sont consignés dans le tableau suivant :

1. Déterminer le mode de cette série statistique. 0,5 pt
2. Calculer la production moyenne. 1 pt
3. Déterminer la médiane de cette série. 1,5 pt
4. On considère que la production est satisfaisante si l’écart-type est inférieur à $5$ millions de tonnes. Dire si la production de maïs de ce pays est bonne et justifier. 2 pts

Exercice 3 4,5 points

Fonctions et transformations graphiques

Le plan est muni du repère orthogonal $(O,I,J)$. Soit $f$ la fonction définie sur $[-1;4]$ par $f(x)=x^2-4x+3$ et $(C_f)$ sa représentation graphique. On considère également la fonction $g$ définie par $g(x)=x^2$ et $(C_g)$ sa courbe représentative.

1. Montrer que pour tout $x\in\mathbb{R}$, $f(x)=(x-2)^2-1$. 0,5 pt
2. Montrer que $(C_f)$ est l’image de $(C_g)$ par une transformation que l’on déterminera. 0,5 pt
3. Compléter le tableau suivant : 1,75 pt

4. Construire $(C_g)$. 0,75 pt
5. En déduire la construction de $(C_f)$. 1 pt

PARTIE B : ÉVALUATION DES COMPÉTENCES 4,5 points

Situation : problèmes d’âges

Après avoir passé des années d’études en Europe, Monsieur Yaya revient au Cameroun pour saluer sa famille. Dès son arrivée au pays, il est surpris de voir Moussa, Hamed et Yaouba, ses frères, avoir tous grandi, et il leur demande leur âge.

Moussa lui répond : « j’ai à présent 2 fois l’âge que tu avais quand j’avais l’âge que tu as maintenant. Quand tu auras l’âge que j’ai maintenant, nous aurons ensemble 180 ans ».

Hamed lui répond : « j’ai 4 fois l’âge de ma fille Adama et dans 18 ans j’aurais le triple de son âge. »

Yaouba lui répond : « j’ai 30 ans de plus que mon fils Bello et il y a 4 ans j’avais le double de son âge. »

Monsieur Yaya ne comprend rien de tout ce que ses frères lui disent.

Tâches

1. Aide Monsieur Yaya à trouver l’âge de Moussa. 1,5 pt
2. Aide Monsieur Yaya à trouver l’âge de Hamed. 1,5 pt
3. Aide Monsieur Yaya à trouver l’âge de Yaouba. 1,5 pt