1ere A: 3e Séquence en maths

Exercice 1 : 11 points

1. Résolution d’équations dans $\\mathbb{R}$

1. $(2x+3)^2 = (2x-5)(2x+3)$ 1,5pt
2. $-2x^2+5x+3=0$ 1,5pt

2. Résolution d’inéquations dans $\\mathbb{R}$

1. $-x^2+x+2\\le 0$ 1,5pt
2. $(x+1)^2-(2x+4)(x+1)\\ge 0$ 2pts

3. Système d’équations et application

1. Résoudre dans $(\\mathbb{R})^2$ le système suivant : $$ (S)\; \begin{cases} x+2y=52\\ 2x+2y=70 \end{cases} $$ 2pts

2. Problème des poules et des chèvres

   Dans un enclos, on compte $35$ têtes et $104$ pattes. Sachant que cet enclos contient uniquement des poules et des chèvres, on désire déterminer le nombre $x$ de poules et le nombre $y$ de chèvres.

   1. Montrer que le couple $(x;y)$ vérifie le système $(S)$. 2pts
   2. Déterminer le nombre de poules et le nombre de chèvres dans cet enclos. 0,5pt

Exercice 2 : 9 points

1. Étude d’un polynôme du troisième degré

On considère le polynôme $P$ défini dans $\\mathbb{R}$ par : $$P(x)=2x^3-x^2-5x-2.$$

1. Vérifier que $2$ est une racine de $P(x)$. 0,5pt
2. Déterminer les nombres réels $a$, $b$ et $c$ tels que $$P(x)=(x-2)(ax^2+bx+c).$$ 2pts
3. Résoudre dans $\\mathbb{R}$ l’équation $P(x)=0$. 2pts
4. En déduire l’ensemble des solutions de l’inéquation $P(x)<0$. 1,5pt

2. Somme et produit de deux nombres réels

En utilisant la somme et le produit de deux nombres réels, déterminer deux nombres réels $x$ et $y$ tels que : $$x+y=35 \quad \text{et} \quad xy=300.$$

3pts

Partie A : Évaluation des ressources (15,5 points)

Exercice 1 : 4 points

QCM – Modalités de notation

• Bonne réponse : 1 point
• Mauvaise réponse : -0,25 point
• Pas de réponse : 0 point

Questions à choix multiple

1. La somme et le produit des deux solutions de l’équation $-2x^2 + 4x + 6 = 0$ sont :
   1. $S=3$ et $P=-2$
   2. $S=-3$ et $P=2$
   3. $S=1$ et $P=-6$
2. La valeur de $C_3^2$ est :
   1. $3$
   2. $2$
   3. $1$
3. L’équation $x^2 - 2x + 4 = 0$ admet :
   1. une solution
   2. deux solutions
   3. aucune solution
4. L’écriture simplifiée de $A_n^{\,n-2}$ est :
   1. $n(n-1)$
   2. $n(n-2)$
   3. $n$

Exercice 2 : 6 points

I. Dénombrement

Donner le nombre d’anagrammes du mot « constitutionnellement ». 1pt

II. Étude d’une expression combinatoire

On donne l’expression : $$-C_n^{\,n-2} = -3.$$

1. Mettre l’expression ci-dessus sous la forme d’un polynôme de degré deux $H(x)$. 1pt
2. Donner la forme canonique de $H(x)$. 1pt
3. Donner l’expression factorisée de $H(x)$. 1pt
4. Résoudre l’équation $H(x)=0$. 1pt
5. Résoudre l’inéquation $H(x)\le 0$. 1pt

Exercice 3 : 5,5 points

I. Équation et inéquation quotient

1. Résoudre l’équation : $$\frac{-x^2 - x + 6}{x - 2} = 0.$$ 1,5pt
2. Résoudre l’inéquation : $$\frac{x - 2}{x - 3} \ge 3.$$ 1,5pt

II. Résolution de systèmes d’équations

1. Résoudre le système : $$\begin{cases} x + y = 1 \\ xy = -6 \end{cases}$$ 1,5pt
2. Résoudre le système : $$\begin{cases} x + y = -5 \\ 2x + 3y = -17 \end{cases}$$ 2pt

Partie B : Évaluation des compétences (4,5 points)

Situation

Lors d’un week-end, votre grand frère et vous décidez d’aller vous divertir dans une salle de jeu. Votre grand frère se dirige vers un jeu de boule contenu dans une urne afin d’y participer.

Le gérant précise que l’urne contient 5 boules blanches, 4 boules rouges et 3 boules bleues. Les boules sont indiscernables au toucher et l’on tire successivement, sans remise, 3 boules de l’urne.

Tâches

1. Déterminer le nombre de tirages tricolores. 1,5pt
2. Déterminer le nombre de tirages contenant au moins une boule blanche. 1,5pt
3. Déterminer le nombre de tirages contenant exactement deux boules bleues et une boule rouge. 1,5pt

ÉVALUATION DES RESSOURCES

Exercice 1 (06 points)

La courbe ci-contre représente une fonction $f$ définie sur $[-2;4]$.

Lecture graphique

1. Déterminer graphiquement $f(-2)$, $f(-1)$ et $f(1)$. 1,5 pt

Étude du signe

1. Résoudre graphiquement dans $[-2;4]$ :
   1. $f(x)=0$ 1 pt
   2. $f(x)<0$ 1 pt

Expression algébrique de la fonction

On suppose que $f(x)=ax^2+bx+c$, où $a$, $b$ et $c$ sont des nombres réels.

1. Déterminer graphiquement $f(0)$ puis en déduire la valeur de $c$. 0,5 pt
2. Calculer les coefficients $a$ et $b$. 2 pts

Exercice 2 (07 points)

Calcul de limites

1. Calculer les limites suivantes :
   1. $\displaystyle \lim_{x\to1}\frac{x-1}{x^2-1}$ 1 pt
   2. $\displaystyle \lim_{x\to-1}\frac{2x}{x+1}$ 1 pt
   3. $\displaystyle \lim_{x\to1}(2x-1)^{2005}$ 1 pt

Étude d’une fonction définie par morceaux

On donne la fonction :
$f(x)=\dfrac{x^2-9}{x-3}$ si $x\ne3$ et $f(3)=6$.

1. Déterminer l’ensemble de définition de $f$. 1 pt
2. Calculer $\displaystyle \lim_{x\to3^-}f(x)$ et $\displaystyle \lim_{x\to3^+}f(x)$. 2 pts
3. Examiner la continuité de $f$ en $3$. 1 pt

Exercice 3 (02,5 points)

Soit le polynôme $P(x)=2x^2+203x-1290$.

1. Résoudre l’équation $P(x)=0$. 1 pt

Joseph Périn place une somme de $120\,000$ F dans une banque au taux annuel de $x\%$. Après retrait du capital et des intérêts, il place la totalité dans une autre banque au taux annuel de $\left(x+\dfrac{3}{2}\right)\%$ et obtient un intérêt de $9\,540$ F.

1. Montrer que $x$ vérifie l’équation $2x^2+203x-1290=0$. 1 pt
2. Déterminer la valeur de $x$. 0,5 pt

ÉVALUATION DES COMPÉTENCES (04,5 points)

Dans l’enclos de Monsieur Franck, il n’y a que des poules et des chèvres. Le nombre total d’animaux est de $25$ têtes et $80$ pattes.

Une poule est vendue à $3\,000$ F et une chèvre à $26\,000$ F. La somme totale est placée dans une banque à un taux d’intérêt de $5\%$ par mois.

Situation 1 : comptage des animaux

1. Déterminer le nombre de poules et de chèvres. 1,5 pt

Situation 2 : placement bancaire

1. Calculer le nouveau capital et les intérêts après $6$ mois. 1,5 pt
2. Étudier le montant obtenu si la banque applique une réduction de $5\%$ par mois pendant $6$ mois. 1,5 pt

PARTIE A / (07 points)

I. Étude de polynômes

On considère les polynômes du second degré $P(x)=x^2+200x-2100$ et $Q(x)=x^3+199x^2-2300x+2100$.

1. Résoudre dans $\\mathbb{R}$ l’équation $P(x)=0$. 1pt
2. Calculer $Q(1)$ et conclure. 1pt
3. Mettre $Q(x)$ sous la forme $Q(x)=(x-1)(ax^2+bx+c)$ où $a$, $b$ et $c\\in\\mathbb{R}$. 1pt
4. Déduire les solutions de l’équation $Q(x)=0$. 1pt
5. Déduire les solutions de l’inéquation $Q(x)<0$. 1pt

II. Application : tontine

Dans une tontine, on fait des prêts d’argent avec intérêt mensuel aux membres. La dette d’un membre à la fin d’un mois est la dette de celui-ci à la fin du mois précédent, augmentée de l’intérêt de $x\%$ sur cette dernière dette.

Il est demandé à une personne ayant prêté $60000$fcfa de rembourser $72600$fcfa deux mois après son prêt.

1. Montrer que $x$ vérifie l’équation $x^2+200x-2100=0$. 1,5pt
2. Déduire le taux d’intérêt pratiqué dans cette tontine. 0,5pt

PARTIE B / (04,5 points)

Série statistique

Le tableau suivant donne la répartition des notes de français d’une 1ère littéraire.

Travail demandé

1. Recopier et compléter ci-dessus. 0,25x8pt=2pts
2. Déduire la médiane. 0,5pt
3. Tracer le diagramme à bâton de cette série statistique. 0,5pt
4. Calculer la moyenne et la variance de cette série statistique. 1,5pt

PARTIE C / (09,5 points)

Présentation de la fonction

On considère la fonction $f$ définie par $f(x)=\dfrac{x-1}{x-2}$ sur l’intervalle $I=[-4;2[ \cup ]2;4]$. On note $(C_f)$ sa courbe représentative dans le repère $(O,I,J)$.

Étude analytique de la fonction

1. Calculer les limites de $f$ aux bornes de l’ensemble de définition. 0,25×4pt = 1pt
2. Examiner l’existence d’une asymptote pour la courbe $(C_f)$ et préciser son équation si elle existe. 0,5pt
3. Dresser le tableau de variation de la fonction $f$. 1,25pt

Étude géométrique

4. Écrire une équation de la tangente $(T)$ à $(C_f)$ au point d’abscisse $3$. 1pt
5. Déterminer les coordonnées des points d’intersection de $(C_f)$ avec les axes du repère. 1pt

Transformation algébrique

6. Écrire $f(x)$ sous la forme $f(x)=a+\dfrac{b}{x-2}$, où $a$ et $b$ sont des réels. 0,75pt
7. Montrer que le point $I\left(2;1\right)$ est un centre de symétrie de la courbe $(C_f)$. 1pt

Représentations graphiques

8. Tracer la courbe $(C_f)$ ainsi que la tangente $(T)$. 1,25pt
9. Déduire la construction de la courbe $(C_g)$ de la fonction $g$ définie par $g(x)=f(x-1)+1$. 0,75pt