1ere A: 2e Séquence en maths

Exercice 1 : 09pts

PARTIE A : 05.25pts

On considère le polynôme $T$ tel que : $T(x)=-2x^3-x^2+5x+2$.

1. Calculer $T(-2)$ et conclure 0.75pt
2. Déterminer un polynôme de second degré tel que $T(x)=(x+2)R(x)$ 1pt
3. Dans la suite on suppose que $R(x)=-2x^2+3x-1$
   1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation : $-2x^2+3x-1=0$ 0.75pt
   2. En déduire la forme factorisée de $T(x)$ 0.75pt
   3. Dresser le tableau de signe de $T(x)$ 1pt
   4. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’inéquation : $T(x)\ge 0$ 1pt

PARTIE B : 03.75pts

1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation : $(x+5)^2=4$ 0.75pt
2. Résoudre dans $\mathbb{R}^2$ les systèmes suivants : 3pts
   • $S_1$ : $$ \begin{cases} 7x-2y=32\\ 4x+3y=10 \end{cases} $$
   • $S_2$ : $$ \begin{cases} 7(x+5)^2-\dfrac{2}{y+3}=32\\ 4(x+5)^2+\dfrac{3}{y+3}=10 \end{cases} $$

Exercice 2 : 03.5pts

On considère les fonctions $f$ et $g$ définies par : $f(x)=-x^2+4x-2$ et $g(x)=-x^2$.

1. Déterminer l’ensemble de définition de $f$ 0.5pt
2. Mettre $f(x)$ sous forme canonique 1pt
3. Vérifier que pour tout nombre réel $x$ ; $f(x)=g(x-2)+2$ 0.5pt
4. Indiquer la transformation du plan permettant d’obtenir la courbe de $f$ à partir de celle de $g$ 0.5pt
5. Montrer que la droite $(D)$ : $x=2$ est un axe de symétrie pour la courbe de $f$ 1pt

Exercice 3 : 07.5pts

PARTIE A

1. Soit $h$ une fonction impaire définie sur $[-2;2]$ . son tableau de variation est le suivant tableau de variations :

1. Déterminer $h(-1)$ et $h(-2)$ sachant que $h(1)=-1$ et $h(2)=4$ 1pt
2. Donner le tableau de variation de $h$ sur $[-2;2]$ 1pt

2. Calculer les limites suivantes : 1.5pt

   $\displaystyle \lim_{x\to -\frac12}\frac{-2x+5}{4x+2}\ ;\quad \lim_{x\to \sqrt2}\left(\frac12 x^4+x\sqrt2-\frac13\right)$

PARTIE B

On considère la fonction $g$ dont la représentation graphique est :

1. Déterminer graphiquement l’ensemble de définition de $f$ 0.25pt
2. Déterminer graphiquement les images par $f$ des nombres : $0$; et $-4$. 0.5pt
3. Déterminer graphiquement les antécédents par $f$ des nombres : $0$; et $1$ . 0.5pt
4. Dresser le tableau de variation de $f$ . 1pt
5. Déterminer graphiquement l’image directe par $f$ des intervalles : $[-4;-2]$ . 0.5pt
6. Déterminer graphiquement l’image réciproque par $f$ des intervalles : $[0;1[$ . 0.5pt
7. Résoudre graphiquement : $f(x)\ge 0$; $f(x)>3$ et $f(x)<1$ . 0.75pt

PARTIE A : ÉQUATIONS ET INÉQUATIONS DANS ℝ (06 points)

1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation $x^2-3x-270=0$. 2pts
2. Un groupe d’élèves de première de l’arrondissement de Ma’an décide d’entreprendre un voyage d’étude à Ebolowa, dont le coût est fixé à 54 000 FCFA. Le coût devrait être équitablement supporté par chaque élève. À la dernière minute, trois élèves désistent du groupe initial et le prix à payer par chaque élève est alors augmenté de 600 FCFA. On désigne par $n$ le nombre d’élèves initialement retenu.
   1. Montrer que $n$ vérifie l’équation $x^2-3x-270=0$. 2.5pts
   2. En déduire le nombre d’élèves initialement retenu et le prix à payer par chaque élève présent après le désistement de trois élèves. 1.5pt

PARTIE B : SYSTÈMES D’ÉQUATIONS DANS ℝ² (06 points)

1. En résolvant le système d’équations suivant, justifier que $x=500$ et $y=100$ : 2pts $$ \begin{cases} x+\dfrac{2}{5}y=540\\ 5x+\dfrac{12}{5}y=2740 \end{cases} $$
2. En déduire les réels positifs $x$ et $y$ tels que : 1.5pt $$ \begin{cases} (x^2+100)+\dfrac{2}{5}(3y^2+25)=540\\ 5(x^2+100)+\dfrac{12}{5}(3y^2+25)=2740 \end{cases} $$
3. David et Nadia se rendent dans une librairie pour acheter des cahiers et des crayons du même modèle. David prend 5 cahiers et 2 crayons et débourse une somme de 2 700 FCFA tandis que Nadia prend 25 cahiers et 12 crayons et débourse une somme de 13 700 FCFA. On désigne par $x$ le prix d’un cahier et par $y$ celui d’un crayon.
   1. Montrer que $x$ et $y$ vérifient le système de la question 1. 1.5pt
   2. En déduire le prix d’un cahier et celui d’un crayon achetés par David et Nadia. 1pt

PARTIE C : FONCTIONS NUMÉRIQUES DANS ℝ² (08 points)

Sur la figure ci-dessous, est représentée sur l’intervalle $[-2;4]$ la courbe d’une fonction $f$.

1. Déterminer $f(0)$ et $f(1)$. 1pt
2. Résoudre les équations : $f(x)=-1,5$ et $f(x)=0$. 2pts
3. Résoudre les inéquations : $f(x)<-3$ et $f(x)\ge 0$. 1.5pt
4. Dresser le tableau de variations de $f$ sur $[-2;4]$. 1pt
5. On suppose que $f(x)=x^2+ax+b$, où $a,b\in\mathbb{R}$.
   1. En utilisant les images de $0$ et de $1$, montrer que $a=-2$ et $b=-3$. 1pt
   2. Montrer alors que la droite d’équation $x=1$ est un axe de symétrie pour la courbe de $f$. 1.5pt

Exercice 1 : 6 points

On considère les polynômes $g(x)=x^2+5x+12$ et $P(x)=x^3+3x^2+2x-24$.

1. Mettre $g(x)$ sous sa forme canonique et déduire que $g$ n’a pas de racine. 1pt
2. Calculer $P(2)$ et conclure. 0.5pt
3. Mettre $P(x)$ sous la forme $P(x)=(x-2)(ax^2+bx+c)$ où $a$, $b$ et $c$ sont des réels à déterminer. 0.75pt
4. Factoriser le polynôme $P(x)$. 0.75pt
5. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation $P(x)=0$. 0.5pt
6. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’inéquation $P(x)\ge 0$. 1pt
7. Déterminer trois nombres entiers naturels consécutifs tels que leur produit soit $24$. 1.5pt

Exercice 2 : 4 points

Soient $a$ et $b$ deux nombres réels tels que $0<a<1$ et $0<b<1$.

1. Démontrer que $0<a+b<2$ et que $0<ab<1$. 1pt
2. Développer $(1-a)(1-b)$ et étudier le signe de $A=ab-a-b+1$ sur $]0;1[$. 1pt
3. Démontrer que pour $a\in]0;1[$ et $b\in]0;1[$ : $$ \left(1+\frac{1}{ab}\right)-\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right) =\frac{(1-a)(1-b)}{ab} $$ 0.75pt
4. Étudier le signe de $\left(1+\frac{1}{ab}\right)-\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)$ sur $]0;1[$. 0.75pt
5. En déduire la comparaison de $\left(1+\frac{1}{ab}\right)$ et $\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)$ sur $]0;1[$. 0.5pt

Problème : 10 points

Le problème est constitué de deux parties indépendantes, mais obligatoires.

Partie A : 6 points

1. Résoudre dans $\mathbb{R}\times\mathbb{R}$ le système $(S)$ :
   • $$ \begin{cases} x+y=7\\ 3x-y=1 \end{cases} $$
   1pt
2. Soit la fonction $f$ dont sa courbe représentative est donnée ci-dessous.

Problème : Partie A

1. Déterminer le domaine de définition de $f$. 0.5pt
2. Déterminer $f(0)$ ; $f(-3)$ ; $f(1)$ ; $f(2)$. 1pt
3. Résoudre graphiquement l’équation $f(x)=0$. 0.5pt
4. On suppose que $f$ est une fonction définie par $f(x)=ax^2+bx+c$.
   1. En utilisant $f(0)$, montrer que $c=-3$. 0.5pt
   2. En utilisant $f(1)$ et $f(-3)$, montrer que $a$ et $b$ sont solutions du système $(S)$. 1.5pt
   3. Déduire de tout ce qui précède l’expression de $f$. 0.5pt
5. Déterminer par calcul l’ensemble solution de l’équation $f(x)=0$. 0.5pt
6. Reproduire la courbe $C_f$ et tracer celle de $h$ définie par $h(x)=-f(x)$. 1pt

Partie B : 4 points

On considère les fonctions $f$ et $g$ définies respectivement par $f(x)=\dfrac{5x+3}{x-1}$ et $g(x)=\dfrac{8}{x}$.

1. Déterminer les domaines de définition de $f$ et $g$. 0.5pt
2. Montrer que $g$ est une fonction impaire. 0.5pt
3. Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que $f(x)=a+\dfrac{b}{x-1}$. 0.5pt
4. Démontrer que la courbe $C_f$ de $f$ s’obtient de celle de $g$ par une transformation du plan dont on précisera la nature et l’élément caractéristique. 1pt
5. Construire la courbe $C_g$ de la fonction $g$ et en déduire celle de $f$ dans le même repère, au stylo à encre bleue. 1.5pt

PARTIE A : ÉVALUATION DES RESSOURCES

Exercice 1 : 06,5 points

I

1. Résoudre dans $\mathbb{R}^2$ le système :
   • $$ \begin{cases} x-3y=-7\\ -2x+y=-1 \end{cases} $$
   1pt
2. En déduire le couple $(a;b)\in\mathbb{R}^2$ solution du système :
   • $$ \begin{cases} \dfrac{1}{a-1}-\dfrac{2}{2b+1}=-7\\[6pt] \dfrac{-2}{a-1}+\dfrac{1}{2b+1}=-1 \end{cases} $$
   1pt
3. Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations et inéquations suivantes :
   1. $\dfrac{2x+1}{-x+3}=2$ 0.5pt
   2. $\dfrac{3-x}{1-x}<-1$ 0.75pt
   3. $\dfrac{2x-4}{1-x}\ge 0$ 0.75pt

II

On désire former des codes à $4$ chiffres (distincts ou non), pris parmi les chiffres $\{0;1;2;3;4;5;6;7;8;9\}$.

1. Combien de codes distincts peut-on former ? 0.75pt
2. Combien de codes commençant par $2$ peut-on former ? 1pt
3. Combien de codes ayant les $4$ chiffres différents peut-on former ? 1pt

Exercice 2 : 09 points

I — Équations et inéquations

1° Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes :

1pt × 3 = 3pts

1. $x^2-3x-270=0$
2. $-2x^2-4x-2=0$
3. $2x^2-4x+20=0$

Résoudre dans $\mathbb{R}$ les inéquations suivantes :

1pt × 3 = 3pts

1. $x^2-3x-270>0$
2. $-2x^2-4x-2>0$
3. $2x^2-4x+20\le 0$

II — Discriminant et système d’équations

2° Calculer les déterminants du second ordre et discuter sur l’existence des solutions : 2pts

• $$D_1=\begin{vmatrix}1 & 1\\ 7 & 4\end{vmatrix} \qquad D_2=\begin{vmatrix}15 & 20\\ 5 & 7\end{vmatrix}$$

3° Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes : 0.5 × 2 = 1pt

1. $2x+5=A_5^2$
2. $x^2+4x+10=3!$

PARTIE B : ÉVALUATION DES COMPÉTENCES / 04,5 points

Contexte économique

Le directeur de CHOCOMCAM souhaite anticiper le bénéfice qui sera réalisé en fin d’année. Pour cela, il fait appel à un ingénieur mathématicien, M. Bilonq. À partir des données de ventes des années précédentes, celui-ci détermine une fonction du bénéfice dépendant de la quantité de chocolat vendue.

La fonction du bénéfice est donnée par : $$B(x)=\frac{20x-200}{10-x},$$ où $x$ représente le nombre de tonnes de chocolat vendues et le bénéfice est exprimé en milliards. Si le bénéfice annuel n’atteint pas $200$ milliards, le directeur sera contraint de licencier une partie du personnel.

Gestion du personnel

M. Bilonq précise que le taux de licenciement correspond à une racine du polynôme : $$P(x)=x^2+100x-525.$$ En $2017$, l’entreprise comptait $400$ employés.

Organisation d’une réception

Pour célébrer ses $20$ ans de mariage, le directeur décide d’inviter $x$ femmes et $y$ hommes tels que le couple $(x;y)$ soit solution du système : $$\begin{cases} xy=2475\\ x+y=100 \end{cases} \quad \text{avec } x>y.$$

Chaque invité a droit à $3$ boissons. Les femmes consommeront des jus coûtant $450$ frs, tandis que les hommes boiront des bières coûtant $650$ frs.

Travail demandé

• Tâche 1 : Déterminer la quantité de chocolat à vendre pour réaliser un bénéfice de $200$ milliards. 1,5pt
• Tâche 2 : Déterminer le nombre d’employés de Chocomcam au $1^{\text{er}}$ janvier $2018$. 1,5pt
• Tâche 3 : Calculer la somme totale dépensée par le directeur pour l’achat des boissons lors de la réception. 1,5pt

Exercice I : (6 points)

Équation, inéquation et système

1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation : $-x^2+5x+36=0$. (1pt)
2. En déduire la solution de l’inéquation : $-x^2+5x+36<0$. (1pt)
3. Résoudre dans $\mathbb{R}^2$ le système : (1,5pt)
   • $$ (S)\;\begin{cases} 5x=4y\\ x+y=27000 \end{cases} $$
4. Abdou et Salim désirent acheter en commun un lecteur de disques compacts qui coûte $30.000$F. Les économies de Abdou représentent les $\dfrac{4}{5}$ de celles de Salim et s’ils réunissent leurs économies, il leur manque $3000$F pour effectuer leur achat.
   1. Si $x$ représente les économies de Abdou et $y$ celles de Salim, montrer que $x$ et $y$ vérifient le système $(S)$. (1,5pt)
   2. Calculer alors le montant des économies de chacun des deux garçons. (1pt)

Exercice II : (6 pt)

I

Étude d’une équation du second degré

On considère l’équation $(E)$ : $2x^2+x-1=0$.

1. Justifier que cette équation admet deux racines distinctes. (0,75pt)
2. Calculer la somme $S$ et le produit $P$ de ces deux racines. (0,75pt)
3. On suppose que l’une des racines est $x_1=-1$, en déduire l’autre racine. (1pt)

II

Fonction définie sur $[-2,2]$

Soit $g$ la fonction définie sur $[-2,2]$ par $g(x)=x^2-ax-2$.

1. Déterminer le réel $a$ pour que $-1$ soit l’image de $1$ par $g$. (0,5pt)
2. Dans la suite, on suppose que $g(x)=x^2-2$. (1pt)
3. Étudier la parité de $g$. (1pt)
4. Construire la courbe représentative de la fonction $g$. (1pt)

PROBLÈME : (8 pts)

La courbe $(C)$ ci-dessous représente une fonction $f$.

Lecture graphique et variations

1. 1. Déterminer l’ensemble de définition $D_f$. (0,5pt)
   2. Déterminer $f(-3)$ ; $f(-2)$ ; $f(0)$ ; $f(2)$ et $f(3)$. (0,5×5=2,5pts)
   3. Déduire que $f$ est impaire. (1pt)
2. Donner le sens des variations de $f$. (1,5pt)
3. Résoudre l’inéquation $f(x)\ge 0$. (1pt)
4. Dresser le tableau des variations de $f$. (1,5pt)

Partie A : 6 points

Système d’équations et situation concrète

1. Résoudre le système d’équations suivant $(S)$ :
   • $$ \begin{cases} 2x+3y=9800\\ x+4y=8900 \end{cases} $$
   2.5pt
2. Pour assister à un spectacle, la famille Alhadji composée de deux adultes et trois enfants a payé $9800$ Frs. Madame Isaac, accompagnée de ses quatre enfants, a payé $8900$ Frs. Montrer que cette situation vérifie le système d’équations $(S)$ de la question 1. 2pt
3. En déduire le prix d’un billet d’entrée pour adulte et celui d’un billet d’entrée pour enfant. 1.5pt

Partie B : 6 points

Questions à choix multiples

Pour chacune des propositions ci-dessous, une seule réponse est juste. Recopier le numéro de la question suivi de la réponse exacte.

1. La forme canonique de $2x^2+3x-5$ est :
   1. $2\left[\left(x-\dfrac{3}{4}\right)^2-\dfrac{49}{16}\right]$
   2. $2\left[\left(x+\dfrac{3}{4}\right)^2-\dfrac{49}{16}\right]$
   3. $2\left[\left(x-\dfrac{3}{4}\right)^2+\dfrac{49}{16}\right]$
   4. $2\left[\left(x+\dfrac{3}{4}\right)^2+\dfrac{49}{16}\right]$
2. La forme développée de $\dfrac{1}{x+1}+2$ est :
   1. $\dfrac{2x+2}{x+1}$
   2. $\dfrac{2x-2}{x+1}$
   3. $\dfrac{-2x+3}{x+1}$
   4. $\dfrac{2x+3}{x+1}$
3. Le vecteur de translation qui permet d’obtenir la courbe de $p(x)=x^2+4x+3$ à partir de la parabole $(P):y=x^2$ est :
   1. $\vec{u}(-2;-1)$
   2. $\vec{u}(2;1)$
   3. $\vec{u}(-2;1)$
   4. $\vec{u}(2;-1)$
4. Dans $\mathbb{R}^2$, le système $\begin{cases}3a-b=3\\ -a+2b=4\end{cases}$ a pour ensemble solution :
   1. $\{(3;-2)\}$
   2. $\{(2;3)\}$
   3. $\{(3;2)\}$
   4. $\{(-3;-2)\}$
5. La somme des solutions de l’équation $2x^2-34x+120=0$ est :
   1. $-34$
   2. $17$
   3. $-17$
   4. $34$
6. Le polynôme $ax^2+bx+c$ a pour discriminant :
   1. $b^2-ac$
   2. $\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}$
   3. $b^2-4ac$
   4. $\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$

Partie C : 8 points

Lecture graphique et résolution

On considère la courbe représentative $(C_f)$ de la fonction $f$ définie sur $[-1;5]$, telle que l’indique la figure ci-contre. $(C_g)$ est une droite coupant la courbe en deux points.

1. Déterminer graphiquement les images par $f$ de $-1$, $0$ et $3$. 1.5pt
2. Préciser les antécédents par $f$ de $5$ et de $6$. 2pt
3. Résoudre graphiquement :
   1. $f(x)=2$ et $f(x)=g(x)$
   2. $f(x)>0$
   2pt + 1.5pt
4. Déterminer le maximum de $f$ sur l’intervalle $[-1;5]$. 1pt

PARTIE A : ÉVALUATION DES RESSOURCES [15,5 points]

Exercice 1 : 4 points

Résolution de systèmes

1. Résoudre dans $\mathbb{R}^2$ le système :
   • $$ \begin{cases} 2x+3y=14\\ 5x-4y=-11 \end{cases} $$
   2pts
2. Déduire une résolution dans $\mathbb{R}^2$ du système :
   • $$ \begin{cases} \dfrac{2}{x-3}+3y^2=14\\[6pt] \dfrac{5}{x-3}-4y^2=-11 \end{cases} $$
   2pts

Exercice 2 : 5,5 points

Équations et inéquations du second degré

1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations et inéquations suivantes :
   1. $4x^2-4x-3=0$ 1pt
   2. $4x^2-4x-3\le 0$ 1pt
   3. $-x^2+2x-1<0$ 1pt
   4. $-x^2+3x-3>0$ 1pt
2. Écrire la forme factorisée des polynômes $4x^2-4x-3$ et $-x^2+2x-1$. 1,5pt

Exercice 3 : 6 points

Étude de fonctions

On considère la fonction $f$ définie sur $[-2;4]$ par $f(x)=x^2-2x-3$ et la fonction $g$ définie sur $[-1;5]$ par $$g(x)=\frac{x+3}{x-2}.$$

1. Déterminer le domaine de définition de la fonction $g$ sous forme d’intervalles. 1pt
2. Calculer l’image de $4$ par $g$. 1pt
3. Calculer l’antécédent de $\dfrac{7}{2}$ par $g$. 1pt
4. Recopier et compléter le tableau suivant :

   • $x$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
     $f(x)$

   1,5pt
5. Tracer la courbe représentative de la fonction $f$. 1,5pt

PARTIE B : ÉVALUATION DES COMPÉTENCES [4,5 points]

Situation de départ

Samedi dernier, des élèves du lycée d’Abondo ont travaillé sur un champ rectangulaire d’aire $66\,m^2$ et de périmètre $34\,m$. Pour se rendre au champ, ils ont loué une voiture à $8100$ Fr CFA, somme à payer de manière égale entre chaque élève.

Au départ, trois élèves n’y étaient pas et le reste du groupe a cotisé $225$ Fr CFA de plus que leur cotisation initiale. Pendant le travail au champ, ils ont récolté le macabo et la patate pour une masse totale de neuf kilogrammes. Il a été constaté que la masse totale du macabo est le double de celle de la patate.

Travail demandé

1. Déterminer la masse totale du macabo et celle de la patate récoltée. 1,5pt
2. Déterminer les dimensions du champ. 1,5pt
3. Déterminer le nombre d’élèves présents au départ ainsi que la somme finalement cotisée par chaque élève. 1,5pt

Exercice 1 : 6 points

Étude d’un polynôme du second degré

On donne le polynôme $f(x)=x^2-3\sqrt{3}x+6$. Soient $x_1$ et $x_2$ les racines de $f(x)$ ; on pose $x_1+x_2=S$ et $x_1x_2=P$.

1. Déterminer les valeurs numériques de $S$ et de $P$. 0,75×2 = 1,5pt
2. Parmi les couples suivants, indiquer celui qui est solution du système : $$\begin{cases} x_1+x_2=3\sqrt{3}\\ x_1x_2=6 \end{cases}$$
   1. $(-\sqrt{3};\,2\sqrt{3})$
   2. $(\sqrt{3};\,2\sqrt{3})$
   3. $(-\sqrt{3};\,-2\sqrt{3})$
   1,5pt
3. En déduire les racines $x_1$ et $x_2$ du polynôme $f(x)$. 0,5pt
4. 1. Dresser le tableau de signes de $f(x)$. 1,5pt
   2. En déduire la solution dans $\mathbb{R}$ de l’inéquation $x^2-3\sqrt{3}x+6\le 0$. 1pt

Exercice 2 : 6 points

Équations et problèmes concrets

1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation $(E)$ : $x^2+200x-1025=0$. 1,5pt

2. EMILYANO place une somme de $10\,000$ francs dans une banque à intérêt annuel de $x\,\%$.

   1. Exprimer, en fonction de $x$, le capital obtenu après un an. 1pt
   2. L’année suivante, il replace ce capital dans la même banque et retire à la fin de l’année une somme de $11\,025$ francs. Montrer que $x$ vérifie l’équation $(E)$ puis en déduire le taux $x$. 1,5pt
3. Résoudre dans $\mathbb{R}^2$ le système : $$\begin{cases} x+y=7\\ x^2+y^2=25 \end{cases}$$ 2pt

Problème : 8 points

I – Parité de fonctions

Étudier la parité des fonctions suivantes : $$g(x)=x^3-x,\quad k(x)=-\sqrt{x^2},\quad p(x)=-\frac{3}{7x},\quad t(x)=-\frac12x^2-3x+5.$$

0,5×4 = 2pts

II – Étude graphique d’une fonction

La courbe ci-dessous est la représentation graphique $(C_f)$ d’une fonction $f$ définie sur $\left[-\dfrac{5}{2};\,3\right]$.

1. La fonction $f$ est-elle paire ? Est-elle impaire ? 1pt
2. Déterminer graphiquement $f(0)$, $f(-1)$ et $f(2)$. 0,5×3 = 1,5pt
3. Résoudre graphiquement :
   1. $f(x)=0$
   2. $f(x)\le 0$
   0,75pt + 0,75pt
4. 1. Reproduire la courbe $(C_f)$ et construire, dans le même repère, la courbe $(C_{|f|})$ de la fonction $|f|$. 1pt
   2. Construire, dans un autre repère, la courbe $(C_{-f})$ de la fonction $-f$. 1pt

Exercice 1 : 3,5 points

Calcul et équation du second degré

1. Calculer $227^2$ puis résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation : $2x^2+203x-1290=0$. 1,5pt
2. Placement bancaire

   Atangana place une somme de $120\,000$ francs dans une banque au taux de $x\%$ pendant un an. La banque ayant connu des difficultés, il retire son capital ainsi que ses intérêts et place la totalité dans une autre banque à un taux annuel de $\left(x+\dfrac{3}{2}\right)\%$. Dans cette dernière banque, il obtient un intérêt de $9\,540$ francs.

   1. Démontrer que $x$ vérifie l’équation de la question 1. 1,5pt
   2. En déduire le taux pratiqué dans la première banque. 0,5pt

Exercice 2 : 6,5 points

Étude d’un polynôme du troisième degré

On considère le polynôme $P$ défini par : $$P(x)=x^3+3x^2-4x-12.$$

1. Vérifier que $-3$ est une racine du polynôme $P$. 0,5pt
2. Déterminer trois réels $a$, $b$ et $c$ tels que $$P(x)=(x+3)(ax^2+bx+c).$$ 1,5pt
3. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation : $x^3-12=-3x^2+4x$. 1pt
4. Étudier le signe du polynôme $(x+3)(x-2)(x+2)$ dans un tableau. 1,5pt
5. En déduire l’ensemble des solutions de l’inéquation $P(x)\ge 0$. 1pt

Problème : 11 points

Partie A – Étude de limites

1. Calculer les limites en $-\infty$ et en $+\infty$ des fonctions suivantes :

   $f(x)=3+4x-x^2$ ;   $g(x)=(x+3)(-2x+1)$ ;
   $h(x)=x^5+x^2-7$ ;   $R(x)=\dfrac{3-5x}{2x+1}$.

   2pts
2. Déterminer les limites suivantes : $$\lim_{x\to 2}\frac{x+2}{x+1},\qquad \lim_{x\to 2}\frac{x-1}{x-2},\qquad \lim_{x\to -\infty}\frac{x-1}{x^2-4}.$$ 3pts

Partie B – Étude graphique d’une fonction

Une fonction polynôme $f$ a pour courbe représentative $(C_f)$ le dessin ci-contre.

1. Déterminer l’ensemble de définition de $f$. 0,5pt
2. Déterminer les images par $f$ de $0$ et de $2$. 0,5pt
3. Déterminer les antécédents par $f$ de $3$. 0,5pt
4. Résoudre graphiquement l’équation $f(x)=0$. 0,5pt
5. Résoudre graphiquement l’inéquation $f(x)>0$. 1pt
6. 1. On pose $f(x)=x^2+bx+c$. Sachant que $f(-1)=f(5)=8$, déterminer $b$ et $c$ puis donner l’expression explicite de $f(x)$. 1pt
   2. Retrouver le résultat de la question 4 par le calcul. 1pt
7. La fonction $f$ est-elle continue sur son ensemble de définition ? 1pt

Exercice 1 : 05 points

I – Étude d’un polynôme du second degré

On considère le polynôme du second degré $P(x)=x^2-4x-96$.

1. Écrire $P(x)$ sous la forme canonique. 0,5pt
2. Donner les racines de $P(x)$. 0,5pt
3. Étudier le signe de $P(x)$. 0,5pt
4. En déduire les solutions des inéquations $P(x)<0$ et $P(x)\ge 0$. 1pt

II – Partage d’une somme

On veut partager une somme de $30\,000$ FCFA entre un certain nombre de personnes. S’il y avait $4$ personnes de moins, la part de chacun serait augmentée de $1\,250$ FCFA.

1. En posant $x$ le nombre de personnes, démontrer que $x$ vérifie l’équation $x^2-4x-96=0$. 1,5pt
2. En déduire le nombre de personnes et la part de chacun. 1pt

Exercice 2 : 06 points

Statistique descriptive

Dans un magasin, sur un total de $210$ paires de chaussures, la répartition des prix en milliers de francs CFA est donnée ci-dessous.

• Prix (en milliers de FCFA)	[0 ; 10[	[10 ; 20[	[20 ; 30[	[30 ; 40[	Totaux
  Nombre de paires $n_i$	50	60	30	70	210
  Fréquence en %
  Centre de classe $c_i$
  $n_i c_i$
  $n_i c_i^2$
  Effectifs cumulés croissants
  Effectifs cumulés décroissants

1. Recopier et compléter le tableau. 0,5 × 6 pts = 3pts
2. Déterminer la classe modale, la moyenne, la variance et l’écart-type. 1,75pt
3. Construire le polygone des effectifs (on prendra $1$ cm pour $10$ sur tous les axes). 0,75pt
4. Déterminer la médiane. 0,5pt

Problème : 09 points

Présentation du cadre

Le plan est muni du repère orthonormé $(O,I,J)$. On considère la fonction définie par : $$f(x)=\frac{x^2-1}{x}.$$

I – Étude algébrique de la fonction $f$

1. Déterminer l’ensemble de définition de la fonction $f$. 0,5pt
2. Montrer que $f(x)+f(-x)=0$. 0,5pt
3. En déduire la parité de la fonction $f$. 0,5pt
4. Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que $$f(x)=ax+\frac{b}{x}.$$ 1pt

II – Étude de la fonction $g$

On considère la fonction $g$ définie par : $$g(x)=x-\frac{1}{x}.$$

1. Table de valeurs

   Compléter le tableau suivant :

   
   2pts
2. Représentation de la droite Tracer sur le graphique la droite d’équation $y=x$. 0,5pt
3. Construction graphique de $g$ À l’aide du tableau de variation ci-dessous, construire la courbe de la fonction $g$. 1pt

4. Interprétation géométrique Que peut-on dire du point $O(0,0)$ par rapport à la courbe de $g$ ? 0,5pt

III – Résolutions graphiques

1. Résoudre graphiquement l’équation $g(x)=0$ et l’inéquation $g(x)\le 0$. 1,5pt
2. Tracer sur le même graphique la courbe de la fonction $h$ définie par $h(x)=|g(x)|$. 1pt

Partie A : 4 points

Équation, inéquation et problème géométrique

1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation et l’inéquation suivantes :
   1. $4x^2-12x-7=0$
   2. $4x^2-12x-7>0$
   1 × 2 = 2pts
2. Un champ rectangulaire a pour périmètre $54\,m$ et pour aire $180\,m^2$. Déterminer ses dimensions. 2pts

Partie B : 6,5 points

Systèmes et application concrète

1. Résoudre dans $\mathbb{R}^2$ le système : $$ \begin{cases} 2x-y=0\\ 3x+8=3y-10 \end{cases} $$ 2pts
2. En déduire la solution dans $\mathbb{R}^2$ du système : $$ \begin{cases} 2(x^2+5)-(y+9)=0\\ 3(x^2+5)+8=3(y+9)-10 \end{cases} $$ 2pts
3. Rideau rectangulaire

   La longueur $y$ d’un rideau rectangulaire est le double de sa largeur $x$. Si l’on augmente cette largeur de $\dfrac{8}{3}$ et diminue la longueur de $\dfrac{10}{3}$, le rideau devient un carré.

   1. Montrer clairement que $x$ et $y$ vérifient le système ci-dessus. 1,5pt
   2. En déduire les dimensions de ce rideau. 1pt

Partie C : 9,5 points

I – Parité et fonction rationnelle

1. Étudier la parité de chacune des fonctions suivantes : $$f(x)=x^2+2,\quad h(x)=\frac{x^3}{x^2+1},\quad s(x)=x^3-2x+1.$$ 0,5 × 3 = 1,5pt

2. On considère la fonction $g$ définie par : $$g(x)=\frac{2x-3}{x+2}.$$

   1. Déterminer l’ensemble de définition de la fonction $g$. 0,5pt
   2. Déterminer les images par $g$ de $-2$, $0$ et $\dfrac12$. 0,25 × 3 = 0,75pt
   3. Déterminer les antécédents par $g$ de $0$ et $1$. 0,5 × 2 = 1pt
   4. Montrer que le point $A(-2;2)$ est centre de symétrie de la courbe représentative de la fonction $g$. 0,75pt

II – Lecture graphique

On considère la courbe suivante représentant une fonction $f$. Déterminer par lecture graphique, sans reproduire le graphe sur votre copie :

1. Le domaine de définition de $f$. 0,25pt
2. Les images par $f$ de $-3$, $-1$, $0$, $1$ et $2$. 0,25 × 5 = 1,25pt
3. Les antécédents par $f$ de $0$, $4$, $-3$ et $2$. 0,5 × 4 = 2pts
4. Préciser si la fonction $f$ est paire, impaire ou ni paire ni impaire. Justifier la réponse. 0,5pt
5. Déterminer les images par $f$ des intervalles $[0;2]$ et $[-3;-1]$. 0,5 × 2 = 1pt