1ere A: 1ere Séquence en maths

Exercice 1 (5.5 pts)

1. Développer et réduire l’expression P = $n^2 + (n+1)^2 + (n+2)^2 – 245$. (1.5 pt)
2. On suppose que la somme des carrés de trois entiers consécutifs est égale à $245$ ; le plus petit de ces entiers est noté n.
   1. Démontrer que n vérifie l’équation $n^2 + 2n – 80 = 0$. (2 pts)
   2. Déterminer alors les trois entiers consécutifs. (2 pts)

Exercice 2    (4 pts)

Soit $p(x)=x^2-x-6$ un polynôme du second degré.

1. Mettre $p(x)$ sous la forme canonique. (1 pt)
2. Résoudre l’équation $p(x)=0$. (1 pt)
3. Étudier dans $\mathbb{R}$ le signe du polynôme $p(x)$. (1 pt)
4. Déduire dans $\mathbb{R}$ la solution de l’inéquation $p(x)\le 0$. (1 pt)

Exercice 3      (6 points)

1. Vérifier que $(x+y)^2=(x-y)^2+4xy$. (2 pts)
2. Un rectangle a pour aire $420\,m^2$ ; sa longueur $x$ surpasse sa largeur $y$ de $23\,m$.
   1. Calculer le demi-périmètre de ce champ. (2 pts)
   2. Calculer ses dimensions. (2 pts)

Évaluations des compétences    (4.5 pts)

Hadji dit à son enfant : « J’ai un excédent de $27$ ans sur ton âge. Dans $10$ ans, j’aurai exactement le double de ton âge. » Il lui parlait ainsi, dans une boutique où ils ont acheté une paire de chaussures et des vêtements à $46410$ FCFA. Il affirme ensuite que les prix de ces articles ont subi une succession d’augmentations respectives de $40\%$ et de $50\%$. Dans la somme remise au boutiquier, $200$ F est composé uniquement des pièces de $5$ F et de $10$ F. En réalité, il y a deux fois plus de pièces de $10$ F que de pièces de $5$ F.

Tâches :

Tâche 1. Trouver l’âge de Hadji et celui de son enfant. (1.5 pt)

Tâche 2. Quel était le prix des articles achetés avant la dévaluation du FCFA ? (1.5 pt)

Tâche 3. Quel nombre de pièces de $5$ F et de $10$ F y a-t-il dans les $200$ FCFA ? (1.5 pt)

EPREUVE DE MATHEMATIQUES

Exercice 1 (7 points)

1. Trouver dans $\mathbb{R}$ les solutions des équations suivantes : (3 pts)
   (1 pt × 3)
   1. $x^2 – 3x – 270 = 0$
   2. $-2x^2 – 4x – 2 = 0$
   3. $2x^2 – 4x + 20 = 0$
2. Résoudre dans $\mathbb{R}$ les inéquations suivantes : (3 pts)
   (1 pt × 3)
   1. $x^2 – 3x – 270 > 0$
   2. $-2x^2 – 4x – 2 > 0$
   3. $2x^2 – 4x + 20 \le 0$
3. Résoudre dans $\mathbb{R}^2$ le système suivant : (1 pt)
   $\begin{cases} a+b=320\\ ab=17500 \end{cases}$

Exercice 2 (2 pts + 1 pt + 2 pts + 1 pt = 6 points)

Un commerçant se souvient d’avoir vendu, à une date, $90$ articles constitués uniquement de crayons et de cahiers. La recette correspondante à cette vente était de $21650$~FCFA. On désigne par $x$ et $y$ les nombres respectifs de crayons et de cahiers vendus ce jour-là.

1. 1. Sachant que ce commerçant vendait ce jour-là un crayon à $45$~FCFA et un cahier à $485$~FCFA, justifier que $x$ et $y$ vérifient le système :
      $\begin{cases} x+y=90\\ 9x+97y=4330 \end{cases}$
   2. En déduire le nombre de cahiers et de crayons vendus ce jour-là par le commerçant.
2. Ces cahiers coûtent aujourd’hui $550$~FCFA la pièce après une augmentation de $t\%$ où $t$ est un nombre rationnel.
   1. Justifier que $t$ est solution de l’équation : $485 + 4{,}85t = 550$.
   2. En déduire une valeur approchée de $t$ à $10^{-1}$ près par défaut.

Exercice 3 (2 pts + 2 pts + 1,5 pt + 0,5 pt = 6 points)

1. Résoudre dans $\mathbb{R}^2$ le système :
   $\begin{cases} 2x-y=0\\ 3x+8=3y-10 \end{cases}$
2. En déduire les réels $x$ et $y$ tels que :
   $\begin{cases} 2(x^2+5)-(y+9)=0\\ 3(x^2+5)+8=3(y+9)-10 \end{cases}$
3. La longueur $y$ d’un rideau rectangulaire est le double de sa largeur $x$. Si l’on augmente cette largeur de $\dfrac{8}{3}$ et diminue la longueur de $\dfrac{10}{3}$, le rideau deviendrait un carré.
   1. Montrer que $x$ et $y$ vérifient le système de la question 1).
   2. En déduire les dimensions de ce rideau.

PARTIE A : ÉVALUATION DES RESSOURCES (15,5 points)

Exercice 1.

I – Choisir la bonne réponse.

1. Le polynôme $Q$ défini par : $Q(x)=2x^2-x+1$
   a) est factorisable,   b) n’est pas factorisable,   c) est négatif dans $\mathbb{R}$ 1 pt
2. L’équation $(E)$ : $x^4+3x^2+2=0$ admet :
   a) Deux solutions dans $\mathbb{R}$,   b) Pas de solution dans $\mathbb{R}$,   c) Quatre solutions dans $\mathbb{R}$ 1 pt
3. La forme canonique de $P(x)=3x^2-4x-20$ est :
   a) $P(x)=3\left[\left(x-\dfrac{2}{3}\right)^2-\dfrac{64}{9}\right]$,
   b) $P(x)=-3\left[\left(x-\dfrac{2}{3}\right)^2-\dfrac{64}{9}\right]$,
   c) $P(x)=3\left[\left(x+\dfrac{2}{3}\right)^2-\dfrac{64}{9}\right]$ 1,5 pt

II – Reproduire et compléter le tableau suivant : 4 pts

Exercice 2.

I – On considère le polynôme $P(x)=3x^2+4x-4$.

1. Vérifier que $-2$ est solution de l’équation $P(x)=0$. 1 pt
2. Déterminer les entiers relatifs $a$ et $b$ tels que $P(x)=(x+2)(ax+b)$. 2 pts
3. En supposant que $a=3$ et $b=-2$,
   1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation $P(x)=0$. 1,5 pt
   2. En déduire la solution de l’inéquation $P(x)\le 0$. 1,5 pt

II – Trouver deux entiers naturels pairs consécutifs dont la somme est égale à $254$. 2 pts

PARTIE B. ÉVALUATION DES COMPÉTENCES (4,5 points)

Dans un supermarché, un article a subi une baisse de $50\%$, puis, compte tenu de l’ampleur de la vente de cet article, ce même produit subit à nouveau une augmentation de $60\%$. Son nouveau prix est de $75\,000$ FCFA. On désigne par $x$ le prix de l’article avant la baisse.

1. Calculer en fonction de $x$ son prix $P_1$ après la baisse. 1,5 pt
2. Déterminer en fonction de $x$ son prix $P_2$ après l’augmentation. 1,5 pt
3. En déduire le prix de l’article avant la baisse et après l’augmentation. 1,5 pt

Exercice 1 : Systèmes (5 points)

1. Résoudre dans $\mathbb{R}^2$ le système $(S)$ : 2 pts
   $\begin{cases} x+4y=2600\\ 5x+3y=4500 \end{cases}$
2. Dans une boutique de la place, Fatou achète $2$ houes et $8$ machettes à $5200$~FCFA. Dans cette même boutique, sa camarade Alima achète $5$ houes et $3$ machettes au prix de $4500$~FCFA. Soient $n$ et $p$ les prix respectivement d’une houe et d’une machette.
   Montrer que $n$ et $p$ vérifient le système : 2 pts
   $\begin{cases} n+4p=2600\\ 5n+3p=4500 \end{cases}$
3. Déterminer le prix d’une houe et d’une machette. 1 pt

Exercice 2 : Signe d’un polynôme (4 pts)

Donner à chacun des polynômes suivants son tableau de signe correspondant.

$P(x)=-x^2+5x-6,\; Q(x)=x^2+4x+4,\; M(x)=x^2+x+1,\; N(x)=x^2+x-2$

Exercice 3 : Équations dans $\mathbb{R}$ (11 points)

1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation $x^4+4x^2-5=0$. 2 pts
2. 1. Calculer $(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2$. 0,5 pt
   2. Résoudre dans $\mathbb{R}$ :
      1. $x^2-(\sqrt{3}+\sqrt{2})x+\sqrt{6}=0$ 1 pt
      2. $x^2-(\sqrt{3}+\sqrt{2})x+\sqrt{6}>0$ 1 pt
3. On considère le polynôme $P(x)=x^3+2x^2-x-2$.
   1. Calculer $P(-1)$, puis conclure. 0,5 pt + 0,5 pt
   2. Trouver trois nombres réels $a$, $b$ et $c$ tels que, pour tout réel $x$, on a :
      $P(x)=(x+1)(ax^2+bx+c)$. 1,5 pt
   3. En déduire dans $\mathbb{R}$ la résolution de l’équation $P(x)=0$. 1 pt
4. Trouver deux nombres ayant pour somme $4$ et pour produit $3$. 2 pts
5. Factoriser le polynôme $-x^2+5x-6$. 1 pt

PARTIE A : ÉVALUATION DES RESSOURCES  [15,5 points]

Exercice 1  [5,5 points]

1. Résoudre dans $\mathbb{R}^2$ les systèmes :
   1. $\begin{cases} 3x-4y=2\\ 2x+5y=9 \end{cases}$
      1 pt
   2. $\begin{cases} 3\sqrt{x-1}-\dfrac{4}{y+2}=2\\ 2\sqrt{x-1}+\dfrac{5}{y+2}=9 \end{cases}$
      1,5 pt
2. On considère le polynôme $P$ défini par $P(x)=-4x^2-4x+3$.
   1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation $P(x)=0$. 1 pt
   2. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’inéquation $P(x)\le 0$. 1 pt
   3. Écrire la forme factorisée de $P(x)$. 1 pt

Exercice 2  [4 points]

On considère la fonction $g$ définie sur l’intervalle $[-1;7]$ par $g(x)=\dfrac{x-1}{6-2x}$.

1. Déterminer l’ensemble de définition de $g$ sous forme d’intervalles. 1 pt
2. Calculer les limites de $g$ aux bornes de son ensemble de définition. 2 pts
3. Calculer l’antécédent de $-\dfrac14$ par $g$. 1 pt

Exercice 3  [6 points]

On considère la fonction $f$ définie sur $[-3;5]$ par $f(x)=-x^2+2x+8$.

1. Démontrer que $f$ est dérivable en $x_0=2$ et que le nombre dérivé de $f$ en $x_0=2$ est $f'(2)=-2$. 1 pt
2. Déterminer une équation de la tangente $(T)$ à la courbe de $f$ au point d’abscisse $x_0=2$. 1 pt
3. Recopier et compléter le tableau suivant : 2 pts

   $x$	$-3$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
   $f(x)$

4. Sur une feuille entière, tracer la courbe de la fonction $f$ sur un repère orthonormé $(O;I;J)$. 2 pts

PARTIE B : ÉVALUATION DES COMPÉTENCES  [4,5 Points]

Samedi dernier, des enfants ont travaillé sur un champ rectangulaire d’aire $300m^2$ et de périmètre $70m$. Le patron a prévu $9.000FrCFA$ à partager de manière égale entre chaque enfant. Avant le début du travail, le petit Paul les a rejoints et, à la fin, ceux qui étaient là au départ ont obtenu chacun $300FrCFA$ en moins par rapport à leur somme initiale. Le patron, très fier pendant le bon déroulement du travail, veut offrir sept petits jus constitués de reaktors et de pamplemousses pour un montant total de $2.300FrCFA$. Un pamplemousse coûte $300FrCFA$ et un réaktor coûte $50FrCFA$ de plus qu’un pamplemousse.

TÂCHES

1. Trouver le nombre de reaktors, puis de pamplemousses apportés par le patron. 1,5 pt
2. Calculer les dimensions du champ. 1,5 pt
3. Déterminer le nombre d’enfants qui étaient là avant l’arrivée de Paul et la somme qui a été finalement obtenue par chacun. 1,5 pt

PARTIE A : ÉVALUATION DES RESSOURCES 15 pts

EXERCICE 1 : QCM 5 pts

Choisir la bonne réponse.

1. La solution de l’équation $\dfrac{3x-2}{4-6x}=0$ dans $\mathbb{R}$ est : 1 pt
   a) $S=\left\{\dfrac{2}{3}\right\}$    b) $S=\left\{-\dfrac{3}{2}\right\}$    c) $S=\varnothing$
2. $\dfrac{3x-2}{x+1}=\dfrac{x}{x-1}$ correspond à l’équation : 1 pt
   a) $x^2+6x-2=0$    b) $x^2-6x+2=0$    c) $-x^2+6x-2=0$
3. La solution de l’inéquation $\dfrac{x-2}{x}>2$ est : 1 pt
   a) $[-2;0]$    b) $[-2;0[$    c) Pas de solution
4. Si la somme $S=38$ et le produit $P=297$ de deux racines distinctes, alors : 1 pt
   a) $x^2+38x-297=0$    b) $\Delta=256$    c) $x_1=8$ et $x_2=30$
5. Un polynôme admet $-2$ et $5$ comme racines. Sa forme factorisée est : 1 pt
   a) $(x+2)(x-5)$    b) $a(x+2)(x-5)$    c) $(x+2)(x+5)$

EXERCICE 2 6 pts

I) Soit $P(x)=-2x^2+9x-10$.

1. Montrer que $P$ admet deux racines. 0,5 pt
2. Montrer que $2$ est une racine de $P$. 1 pt
3. Déterminer l’autre racine. 1 pt

II) Le tableau suivant est un tableau de signe incomplet de $ax^2+bx+c$.

1. Compléter le tableau. 0,75 pt
2. Donner le signe de $a$. 0,5 pt
3. Donner le signe de $\Delta$. 0,5 pt
4. Résoudre $ax^2+bx+c=0$. 0,75 pt
5. Résoudre $ax^2+bx+c>0$. 1 pt

EXERCICE 3 4 pts

1. Résoudre dans $\mathbb{R}^2$ : 1,5 pt
   $\begin{cases} x+y=-13\\ xy=40 \end{cases}$
2. Trouver deux nombres dont la somme est $-13$ et le double du produit $80$. 1 pt
3. Résoudre $-2x^2+2x+4<0$. 1,5 pt

PARTIE B : ÉVALUATION DES COMPÉTENCES 4,5 pts

M. Abdou possède une boutique rectangulaire de superficie $96\,m^2$ et de périmètre $40\,m$. Marie achète $2\,kg$ de riz et $1\,kg$ de poisson à $1\,750$ frs. Jeanne achète $4\,kg$ de riz et $2\,kg$ de poisson à $4\,300$ frs. Abdou partage $4\,000$ frs entre ses enfants sauf le cadet.

TÂCHES

1. Déterminer les dimensions de la boutique. 1,5 pt
2. Combien doit payer Aicha pour $3\,kg$ de riz et $2\,kg$ de poisson ? 1,5 pt
3. Combien d’enfants y a-t-il ? 1,5 pt