3e : Séquence 4 en maths

PARTIE A : ÉVALUATION DES RESSOURCES

Activités Numériques (05 points)

Exercice 1 (02,5 points)

On donne $A=\dfrac{400\times10^{-3}\times0{,}6\times10^{-1}}{0{,}002\times(10^6)}$ et $B=\dfrac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$.

1. Calculer $A$ et donner sa notation scientifique. (0,5 pt)
2. 1. Écrire $B$ sans radical au dénominateur. (0,5 pt)
   2. Sachant que $1{,}73<\sqrt{3}<1{,}74$, donner un encadrement d’ordre $2$ de $C=7-4\sqrt{3}$. (0,5 pt)
3. Résoudre dans $\mathbb{R}$ le système d’inéquations suivant : $\begin{cases} 5x+4\ge8x-5\\ 2x-3>1 \end{cases}$ (1 pt)

Exercice 2 (02,5 points)

On donne l’expression : $E=(2x-5)^2-(5-2x)(1-3x)$.

1. Développer, réduire et ordonner $E$ suivant les puissances décroissantes de $x$. (0,5 pt)
2. Factoriser $E$. (0,5 pt)
3. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation $(2x-5)(-x-4)=0$. (0,5 pt)
4. On pose la fraction rationnelle $F=\dfrac{(2x-5)(-x-4)}{(2x-5)(2x+5)}$.
   1. Déterminer la condition d’existence d’une valeur numérique de $F$. (0,5 pt)
   2. Simplifier $F$. (0,5 pt)

Activités Géométriques (05 points)

Exercice 1 (03,5 points)

Dans le plan rapporté à un repère orthonormé $(O,I,J)$, on considère les points $A(3;2)$, $B(2;-4)$ et $C(-5;2)$. $E$ est le point défini par $\overrightarrow{OE}=-3\overrightarrow{OI}+2\overrightarrow{OJ}$.

1. Placer les points $A$, $B$, $C$ et $E$ dans le repère. (0,75 pt)
2. 1. Démontrer que les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{BC}$ sont orthogonaux. (0,75 pt)
   2. Calculer les distances $AB$ et $BC$ et en déduire la nature exacte du triangle $ABC$. (0,75 pt)
3. Déterminer les coordonnées du point $K$ milieu du segment $[AB]$. (0,25 pt)
4. Déterminer les coordonnées du point $D$ tel que $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$. (0,5 pt)
5. Donner, en justifiant, la nature exacte du quadrilatère $ABCD$. (0,5 pt)

Exercice 2 (01,5 point)

L’unité de longueur est le centimètre. La figure ci-contre n’est pas en vraie grandeur. On donne : $AB=27$, $AC=36$, $BC=45$, $AN=28$ et $AM=21$.

1. Démontrer que les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles. (0,5 pt)
2. Démontrer que le triangle $ABC$ est rectangle en $A$. (0,5 pt)

3. Calculer $\sin\widehat{ABC}$, puis en déduire la mesure, au degré près, de l’angle $\widehat{ABC}$. (0,5 pt)

PARTIE B : ÉVALUATION DES COMPÉTENCES

Présentation des situations

Les figures ci-dessous représentent différentes situations géométriques utilisées pour résoudre un problème de transport et de volume.

Premiere figure 1 : sphère de rayon $r=3\,m$, avec $\pi=3{,}14$. Deuxieme figure 2 : pyramide de base carrée de côté $c=4{,}5\,m$ et de hauteur $h=8\,m$. Troisieme figure 3 : cylindre de rayon $r=3\,m$ et de hauteur $h=5\,m$. Quatrieme figure 4 : $AB=4\,km$, $BC=4\,km$, $CD=6\,km$, avec $(BE)//(CD)$ et $(AC)//(CD)$. Cinquieme figure 5 : points $F(2;5)$ et $G(4;2)$ repérés dans un plan orthonormé.

Situation-problème

Monsieur TAKAM est un ingénieur en maçonnerie ayant obtenu trois marchés dans des zones différentes. Il a commandé du béton, du sable et de la pouzzolane, chacun transporté par un camion distinct.

Le chauffeur de béton part du point $A$ et livre au point $D$ (figure 4). Celui du sable part du point $B$ et se rend au point $E$ (figure 4). Le transporteur de pouzzolane part du point $F$ et livre au point $G$ (figure 5).

Les points $F$ et $G$ sont repérés en kilomètres par deux droites perpendiculaires en $O$. L’unité de longueur est le kilomètre. Chaque chauffeur facture le transport à $3000\,fcfa$ par kilomètre. Les trajets sont supposés rectilignes et chaque camion effectue un seul tour.

Un camion de béton transporte une bétonnière de forme sphérique (figure 1) remplie de béton coûtant $2500\,fcfa/m^3$. Le camion de sable transporte une citerne pyramidale (figure 2) remplie de sable coûtant $5500\,fcfa/m^3$. Le camion de pouzzolane transporte une benne cylindrique (figure 3) remplie de pouzzolane coûtant $3000\,fcfa/m^3$.

Monsieur TAKAM doit payer le coût du contenu de chaque camion ainsi que les frais de transport correspondants.

Tâches

1. Déterminer la dépense de Monsieur TAKAM pour l’achat et le transport du béton. (3 pts)
2. Calculer la dépense de Monsieur TAKAM pour l’achat et le transport du sable. (3 pts)
3. Déterminer la dépense de Monsieur TAKAM pour l’achat et le transport de la pouzzolane. (3 pts)

PARTIE A : ÉVALUATION DES RESSOURCES (10 points)

ACTIVITÉS NUMÉRIQUES (05 points)

Exercice 1 (03 points)

1. Écris $A=\dfrac{5\times10^{-3}\times10^2}{25\times10^5}$ sous forme scientifique. (0,5 pt)
2. On considère les expressions littérales suivantes : $F(x)=x^2-2x$ et $G(x)=2+x$.
   1. Calcule $a=F(\sqrt{8})$ et $b=G(\sqrt{2})$. (Donner les valeurs exactes.) (0,5 pt ×2)
   2. Montrer que le quotient $\dfrac{a}{b}$ peut s’écrire sous la forme $m+n\sqrt{2}$ où $m$ et $n$ sont des entiers. (0,5 pt)
   3. Sachant que $1{,}41<\sqrt{2}<1{,}42$, donner un encadrement de $12+8\sqrt{2}$. (0,5 pt)
   4. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation $x^2-2x=0$. (0,5 pt)

Exercice 2 (02 points)

Parmi les trois réponses proposées dans le tableau ci-dessous, une seule est juste. On choisira le numéro suivi de la lettre juste. (0,5 pt ×4)

ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES (05 points)

Exercice 1 (02 points)

$SABCD$ est une pyramide régulière de sommet $S$. Sa base est le carré $ABCD$ de côté $6\,cm$ et son volume est $V=72\,cm^3$.

1. Calculer la hauteur $SO$ de cette pyramide. (0,5 pt)
2. On note le point $K$ de $[SO]$ tel que $SK=2\,cm$. On coupe la pyramide par un plan parallèle à la base et passant par le point $K$. On obtient une petite pyramide $SEFGH$.
   1. Calculer le coefficient de réduction de $SEFGH$ par rapport à $SABCD$. (0,5 pt)
   2. Déterminer le volume $V’$ de la pyramide réduite. (0,5 pt)
   3. En déduire le volume $V_T$ du tronc de pyramide. (0,5 pt)

Exercice 2 (03 points)

On considère les points $A(-1;2)$, $B(1;-1)$ et $C(7;3)$.

1. Placer les points $A$, $B$ et $C$ dans le repère orthonormé $(O,I,J)$. (0,75 pt)
2. Calculer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{BC}$. (0,75 pt)
3. Calculer les distances $AB$, $BC$ et $AC$. (1,5 pt)
4. En déduire la nature exacte du triangle. (0,25 pt)
5. En déduire $\sin\widehat{ACB}$ et la mesure de $\widehat{ACB}$. (0,5 pt)

PARTIE B : ÉVALUATION DES COMPÉTENCES (09 points)

Monsieur Paul possède une grande concession. Il planifie l’occupation de cette concession de la manière suivante.

M.Paul désire construire une maison de forme cylindrique de rayon $12\,m$. Sa toiture est de forme conique et doit avoir une hauteur de $10\,m$ (figure 1). Il souhaite réaliser la toiture avec des tôles. Le coût est de $1500\,FRS$ par $1\,m^2$ de tôle.

Au milieu de cette concession, il désire construire un édifice de forme pyramidale pour orner sa cour (figure 2). La hauteur de cet édifice doit être de $9\,m$ et sa base est un carré de côté $5\,m$. Il veut remplir de sable le tronc de cet édifice, à une hauteur de $6\,m$ du sol (tronc de pyramide). M.Paul ramassera ce sable avec une brouette pouvant transporter $8\,m^2$ de sable par tour.

Ce dernier veut également construire une citerne pour réserver de l’eau. Cette citerne aura la forme d’un cône de hauteur $2\,m$, au-dessus duquel sera fixée une cuve cylindrique de hauteur $2\,m$ également, et dont la base sera un cercle de diamètre $6\,m$ (figure 3). Il vendra un bidon de $20$ litres d’eau de la citerne à $25\,FRS$.

Taches

1. Lorsque la citerne sera pleine d’eau, quelle somme d’argent gagnera Monsieur Paul s’il arrive à vendre toute l’eau qu’elle contient ? (3 pts)
2. Combien de tours Monsieur Paul fera-t-il avec la brouette pour mettre le sable dans le tronc de cet édifice ? (3 pts)
3. Quelle est la dépense de Monsieur Paul pour mettre les tôles sur sa toiture ? (3 pts)

PARTIE A : ÉVALUATION DES RESSOURCES (10 points)

A. Activités numériques

Exercice 1 (3 points)

1. Soit $A=(3-2\sqrt{7})^2-9\sqrt{112}+54\sqrt{567}$. Écrire $A$ sous forme $a+b\sqrt{7}$. (0,75 pt)
2. Donner un encadrement de $A$ sachant que $2{,}64<\sqrt{7}<2{,}65$. (0,75 pt)
3. Factoriser $B=(2x-3)(4x+2)+4x^2-9$. (0,75 pt)
4. On considère les intervalles de $\mathbb{R}$ suivants : $I=]-\infty;6]$ et $J=[0;+\infty[$.
   1. Représenter sur une droite graduée les intervalles $I$ et $J$. (0,5 pt)
   2. Écrire $I\cap J$ et $I\cup J$ sous forme d’intervalles. (1 pt)

Exercice 2 (2 points)

Issa part de son garage situé dans les environs de Bafia. Il va acheter une pièce d’un véhicule dans un magasin à Yaoundé. Il a mis un temps total de $3\,h\,12\,min$ pour le voyage aller-retour. À l’aller, sa vitesse moyenne était de $90\,km/h$ et au retour, elle est de $70\,km/h$. On rappelle que le temps total mis en heure pour parcourir la distance aller-retour est $3+\dfrac{12}{60}$.

1. Écrire $A=3+\dfrac{12}{60}$ sous forme de fraction irréductible. (0,5 pt)
2. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation $\dfrac{x}{90}+\dfrac{x}{70}=\dfrac{16}{5}$. (0,75 pt)
3. En déduire, en kilomètres, la distance $d$ du garage d’Issa au magasin de Yaoundé. (0,75 pt)

B. Activités géométriques (5 points)

Exercice 1 (5 points)

Le plan est rapporté à un repère orthonormé $(O,I,J)$. L’unité est le centimètre. On considère les points $A(6;5)$, $B(2;-3)$, $C(-4;0)$, $E(0;2)$ et $F$ tel que $\overrightarrow{AF}=\dfrac{3}{5}\overrightarrow{AB}$.

1. Placer les points $A$, $B$, $C$, $E$ et $F$ dans le repère. (1,25 pt)
2. 1. Calculer les valeurs exactes des distances $AB$, $BC$ et $AC$. On donnera les résultats sous la forme $a\sqrt{b}$, où $a$ et $b$ sont des entiers positifs, $b$ étant le plus petit possible. (1,5 pt)
   2. En déduire la nature du triangle $ABC$. (0,25 pt)
   3. Calculer une valeur approchée au degré près de l’angle $\widehat{ACB}$. (0,25 pt)
3. Calculer les coordonnées du point $D$ tel que $BDEF$ soit un parallélogramme, sachant que $F(3{,}4;0{,}3)$. (0,75 pt)
4. Démontrer que les droites $(BC)$ et $(EF)$ sont parallèles. (0,75 pt)
5. Donner la nature des vecteurs $\overrightarrow{AF}$ et $\overrightarrow{AB}$. Donner la nature et les caractéristiques de l’application qui transforme $F$ en $B$. (0,25 pt ×2)

PARTIE B : ÉVALUATION DES COMPÉTENCES (10 points)

Monsieur Paul possède une grande concession. Il planifie l’occupation de cette concession de la manière suivante.

Il désire construire une maison de forme cylindrique de rayon $12\,m$. Sa toiture, de forme conique, doit avoir une hauteur de $10\,m$ (figure 1). Il souhaite réaliser cette toiture avec des tôles. Le coût est de $1500\,FRS$ par $1\,m^2$ de tôle.

Au milieu de cette concession, il projette la construction d’un édifice de forme pyramidale pour orner sa cour (figure 2). La hauteur de cet édifice est de $9\,m$ et sa base est un carré de côté $5\,m$. Il veut remplir de sable le tronc de cet édifice jusqu’à une hauteur de $6\,m$ à partir du sol (tronc de la pyramide). Le sable sera transporté à l’aide d’une brouette pouvant contenir $8\,m^2$ de sable par tour.

Il souhaite également construire une citerne pour stocker de l’eau. Cette citerne aura la forme d’un cône de hauteur $2\,m$, surmonté d’une cuve cylindrique de hauteur $2\,m$. La base de cette cuve est un cercle de diamètre $6\,m$ (figure 3). Il prévoit de vendre un bidon de $20$ litres d’eau à $25\,FRS$.

Questions

1. Lorsque la citerne sera pleine d’eau, quelle somme d’argent Monsieur Paul gagnera-t-il s’il parvient à vendre toute l’eau qu’elle contient ? (3 pts)
2. Combien de tours Monsieur Paul effectuera-t-il avec la brouette pour remplir de sable le tronc de cet édifice ? (3 pts)
3. Quelle est la dépense totale de Monsieur Paul pour poser les tôles sur sa toiture ? (3 pts)

A – ACTIVITÉS NUMÉRIQUES (05 points)

Exercice 1 (02,5 points)

1. On considère les nombres $A=\dfrac{8\times10^{15}\times15\times10^{-6}}{20\times(10^2)^5}$ et $B=6+\sqrt{20}-12\sqrt{5}+2\sqrt{125}$.
   1. Calculer et écrire $A$ sous forme d’une fraction irréductible. (0,75 pt)
   2. Montrer que $B=6$. (1 pt)
2. En électricité, pour calculer des valeurs de résistances, on utilise la formule : $\dfrac{1}{R}=\dfrac{1}{R_1}+\dfrac{1}{R_2}$. Sachant que $R_1=9\,\Omega$ et $R_2=12\,\Omega$, déterminer la valeur exacte de $R$. (0,75 pt)

Exercice 2 (02,5 points)

Sur la figure ci-contre, $ABCD$, $AEFG$ et $EBPQ$ sont des carrés. On donne $AE=x+1$, $EB=6$ et $GD=6$. $x$ est un réel strictement positif.

1. Déterminer l’aire $A_1$ du carré $AEFG$ et l’aire $A_2$ du carré $ABCD$. (1 pt)
2. Montrer que l’aire de la partie grise dans le carré $ABCD$ est $\mathcal{A}=(x+1)(x+13)$. (0,5 pt)
3. Déterminer $x$ pour que $\mathcal{A}$ soit égale à $4A_1$. (1 pt)

B – ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES (05 points)

Exercice 1 (02 points)

$SABCD$ est une pyramide régulière de hauteur $SO=8\,cm$ et de base le carré $ABCD$. On coupe cette pyramide par un plan parallèle à sa base et passant par un point $E$ du segment $[SE]$. On donne : $AC=6\sqrt{2}\,cm$ et $EF=1{,}5\,cm$. Les droites $(EF)$ et $(AB)$ sont parallèles.

1. Montrer que le volume de la pyramide $SABCD$ est $96\,cm^3$. (1 pt)
2. Calculer le volume du tronc de pyramide $EFGHABCD$ obtenu. (1 pt)

Exercice 2 (03 points)

L’unité de longueur est le centimètre. $AHC$ est un triangle tel que $AC=7{,}5$, $AH=6$ et $HC=4{,}5$. $B$ est le point de la demi-droite $[CH)$ tel que $HB=5{,}8$.

1. Faire une figure et placer le point $B$. (0,75 pt)
2. Démontrer que le triangle $ACH$ est rectangle en $H$. (0,75 pt)
3. Déterminer une mesure approchée de l’angle $\widehat{ACB}$. (0,5 pt)
4. Calculer l’aire du triangle $ABC$. (0,5 pt)
5. Soit $M$ le milieu de $[AC]$ et $D$ le symétrique de $H$ par rapport à $M$. Démontrer que le quadrilatère $ADCH$ est un rectangle. (0,5 pt)

PARTIE B : ÉVALUATION DES COMPÉTENCES (09 points)

Compétences à évaluer : Résoudre une situation problème à l’aide du langage mathématique dans des situations de vie où interviennent les solides de l’espace, la propriété de Thalès et les équations du premier degré.

Situation

Pour la période des fêtes, Monsieur Oumarou a reçu, lundi, de l’un de ses fournisseurs un stock de $100$ chemises à $3000$ francs l’unité. Il doit également recevoir un conteneur d’environ $7{,}25\times10^6\,cm^3$ de marchandises la semaine suivante. Il décide donc d’écouler rapidement ce stock de $100$ chemises et de faire construire, sur le prolongement de sa maison, un magasin ayant la forme d’un prisme droit de hauteur $[BC]$ et de base le trapèze $ABST$, afin de conserver toute la marchandise à venir.

Monsieur Oumarou fixe un prix de vente qu’il juge intéressant pour ses chemises. Mardi, il vend $43$ chemises à ce prix. Mercredi, il accorde un rabais de $650$ francs par chemise et en vend $17$. Jeudi, il liquide le reste des chemises à $975$ francs l’unité. Après la vente de l’ensemble des $100$ chemises, il constate qu’il a réalisé un bénéfice de $57\,950$ francs.

Le samedi, pour la fin des travaux du magasin, Madame Oumarou a préparé du jus de fruits pour les ouvriers. Pour servir le jus, elle remplit à ras bord une carafe ayant la forme d’un cylindre de diamètre $12\,cm$ et de hauteur $20\,cm$. Chaque ouvrier dispose d’un verre ayant la forme d’un tronc de cône issu de la section d’un cône de hauteur $12\,cm$ et de diamètre de base $8\,cm$.

Tâches

1. Déterminer le prix de vente d’une chemise le mardi par Monsieur Oumarou. (3 pts)
2. Le magasin de Monsieur Oumarou pourra-t-il recevoir toute la marchandise du conteneur ? (3 pts)
3. Combien de verres de jus, remplis à ras bord, ont pu être servis par Madame Oumarou ? (3 pts)

PARTIE A : ÉVALUATION DES RESSOURCES (10 points)

I. ACTIVITÉS NUMÉRIQUES (5 points)

EXERCICE 1 (3,5 points)

Une seule réponse est juste. Trouves-la et écris le numéro de la question suivi de la réponse juste correspondante.

EXERCICE 2 (1,5 point)

Une commerçante de fruits frais vend les pommes de France, les oranges, les mangues et les aubergines. Elle sort du marché pour se ravitailler et rentre avec : $164$ pommes, $100$ oranges, $96$ mangues et $72$ aubergines.

Pour bien organiser son commerce, elle décide de vendre ces fruits en paquets identiques afin de ne pas faire de jaloux entre les clients. Elle vend deux types de paquets : les paquets constitués de pommes et d’aubergines, et les paquets constitués d’oranges et de mangues.

Sachant qu’elle a acheté une pomme à $150$ F, une orange à $75$ F, une mangue à $50$ F et une aubergine à $40$ F, et qu’elle revend chaque paquet à $900$ F, aider la commerçante à répondre aux questions suivantes :

1. Combien de paquets de chaque type va-t-elle avoir ? (0,5 pt)
2. Combien de fruits de chaque variété y aura-t-il dans chaque type de paquet ? (0,5 pt)
3. Réalise-t-elle un gain au cas où elle vend la totalité des paquets ? (0,5 pt)

ACTIVITES GEOMETRIQUES (5 points)

EXERCICE 1

1. ABC est un triangle équilatéral de côté $10\,cm$. H est le pied de la hauteur issue de C.

   1. Montrer que $CH = 5\sqrt{3}\,cm$. (1 pt)
   2. En déduire l’aire du triangle ABC. (0,5 pt)

2. SABCD est la pyramide régulière de sommet S, de base le triangle équilatéral ABC et de volume $100\sqrt{3}\,cm^3$. Déterminer la hauteur $h$ de la pyramide SABC. (1 pt)

EXERCICE 2 (2,5 points)

ALI est entrain de ne construire une maison pouvant pas atteindre le sommet, le maçon utilise une échelle. Pour cela, il la pose à $3$ mètres du pied du mur ; le mur ayant une hauteur de $4$ mètres.

ALI veut comprendre ce qui se passe et sollicite ton aide pour répondre aux questions suivantes :

1. Quelle est la longueur de l’échelle du maçon ? (0,75 pt)
2. Donne au degré près la valeur de l’angle $\widehat{A}$. (0,75 pt)
3. Calcule le cosinus de l’angle $\widehat{C}$ si l’échelle glisse d’un mètre vers l’arrière ; quelle est la nature exacte de ABC ? (1 pt)

PARTIE B : ÉVALUATION DES COMPÉTENCES (10 points)

Lors des journées portes ouvertes au lycée technique de Tibati, un élève a préparé un jus naturel de corosole qu’il conserve dans un fût cylindrique de rayon $5\,dm$ et de hauteur $8\,dm$. Rempli au $\dfrac{5}{6}$ du fût, le litre est vendu à $2500$ F.

Pour la vente, il utilise deux sortes de mesurette : l’un ayant la forme d’un tronc de cône et l’autre ayant la forme d’un tronc de pyramide comme l’indiquent les figures ci-contre.

Ayant constaté que la matière à base de laquelle le fût a été conçu se détruit, il veut couvrir la surface extérieure de son fût par une peinture grise qui coûte $1500$ F le m².

1. Trouver la mesurette la plus couteuse parmi les deux et son prix ? (3 pts)
2. Determiner la somme d’argent revient à cet élève si tout le jus du fût est vendu ? (3 pts)
3. Quelle somme d’argent suffira pour l’achat de la peinture nécessaire pour peindre le fût ? (3 pts)

ÉVALUATION DES RESSOURCES (10 pts)

A – Activité géométrique (5 pts)

Exercice 1 (2,5 pts)

ABC est un triangle rectangle en B tel que $BA = 6\,cm$ et $AC = 10\,cm$. On note $\alpha$ l’angle au sommet A et $\beta$ celui au sommet C.

1. Faire soigneusement la figure. (0,5 pt)
2. 1. $\alpha$ et $\beta$ sont-ils complémentaires ? (0,25 pt)
   2. Déterminer la valeur exacte de $\tan(\beta)$ et en déduire à l’aide de votre calculatrice une approximation de la mesure de l’angle $\beta$ en degré. (0,75 pt)
3. M est un point du segment $[AB]$ et N un point du segment $[AC]$ tel que $(MN)\ //\ (BC)$ et $AN = 5\,cm$.
   1. Calculer la distance $AM$. (1 pt)

Exercice 2 (2,5 pts)

$SABCD$ est une pyramide régulière à base carrée. On donne ci-dessous la représentation de $SABCD$ et du tronc de pyramide de $SABCD$ sectionné suivant un plan parallèle au plan de sa base. L’on note par $V$ le volume de la pyramide $SABCD$ et par $A$ son aire latérale.

On suppose que $SH = 8\,cm$ et $ABCD$ est un carré de côté $4\,cm$.

1. Quel est le volume de $SABCD$ ? (1 pt)
2. Montrer que le volume du tronc de pyramide et sa surface latérale sont donnés respectivement par les formules :
   $V_{tronc} = (1 – k^3)V$ et $A_{tronc} = (1 – k^2)A$ où $k$ est le coefficient de réduction. (1 pt)
3. En déduire le volume du tronc de pyramide sachant que le coefficient de réduction est $\dfrac{1}{2}$. (0,5 pt)

B – Activités numériques (5 pts)

Exercice 1 (2 pts)

Chacune des affirmations suivantes possède une réponse juste. Recopier le numéro de la question et la lettre de la réponse juste sur votre copie.

1. Forme développée de $A(x) = (1 – x)(3x – 1) + 2(x^2 – 1)$:
   • a) $x^2 – 4x + 3$
   • b) $-x^2 – 4x – 3$
   • c) $-x^2 + 4x – 3$
   • d) $x^2 + 4x + 3$
   (0,5 pt)
2. La forme factorisée de $B(x) = (x – 1)(3x – 1) + 2(x^2 – 1)$ est :
   • a) $(x – 1)(5x + 2)$
   • b) $(x – 1)(5x)$
   • c) $(x + 1)(4x + 1)$
   • d) $(x – 1)(5x + 1)$
   (0,5 pt)

3. La forme irréductible de la fraction $Q=\dfrac{21\times10^{-3}\times5^{3}}{3\times10^{2}\times2^{-2}}$ est :
   • a) $\dfrac{2}{100}$
   • b) $\dfrac{7}{100}$
   • c) $\dfrac{9}{100}$
   • d) $\dfrac{100}{7}$
   (0,5 pt)
4. Si on pose $A = 3\sqrt{243} – 2\sqrt{3}$ alors l’écriture de $A$ sous la forme $a\sqrt{b}$ est :
   • a) $24\sqrt{3}$
   • b) $25\sqrt{5}$
   • c) $23\sqrt{3}$
   • d) $25\sqrt{3}$
   (0,5 pt)

Exercice 2 (3 pts)

Voici un tableau récapitulatif de l’argent de poche que reçoit chaque élève d’une classe par semaine :

1. Quel est la nature du caractère étudié ici ? (0,5 pt)
2. Quel est la fréquence du mode de cette série statistique ? (0,5 + 0,5 pt)
3. Combien d’élèves ont leur argent de poche supérieur à la moyenne de cette série statistique ? (1 + 0,5 pt)

Évaluation des compétences

Mr Wabo possède une citerne ayant la forme d’un tronc de cône de hauteur $2\,m$, de diamètre de base $6\,m$ et dont l’ouverture du dessus est un cercle de rayon $2{,}5\,m$.

Il aimerait fortifier sa citerne en recouvrant la surface latérale avec un tissu résistant avant de la remplir d’eau. Le tissu a une largeur fixe de $2\,m$ et est vendu en raison de $2000\,F$ par $m^{2}$.

1. Aider Mr Wabo à trouver le volume de sa citerne. (On pourra s’aider du volume du cône entier et d’un coefficient de réduction) (3 pts)
2. Mr Wabo estime (sans calcul) que la surface latérale de sa citerne vaut environ $30\,m^{2}$. Calculer la longueur de tissu qu’il doit acheter, ainsi que la somme qu’il dépensera s’il veut recouvrir sa citerne dans ces conditions. (3 pts)
3. En réalité, l’estimation de $30\,m^{2}$ ci-dessus est fausse. Aider Mr Wabo à faire des économies en calculant la valeur approchée de la surface latérale de sa citerne. (3 pts)