3e : 2 eme séquence en maths

ACTIVITES NUMERIQUES (5points)

Exercice 1 (2points)

1. Ecris le nombre $D = 4\sqrt{75} - \sqrt{48} + 2\sqrt{3}$ sous la forme $a\sqrt{3}$ ou $a$ est un entier relatif 0,5pt
2. On donne : $E = \sqrt{9 - 4\sqrt{5}}$
   a) Compare $2$ et $\sqrt{5}$, puis étudier le signe de $2 - \sqrt{5}$ 0,5pt
   b) Calcule $(2 - \sqrt{5})^2$ 0,5pt
   c) Ecris E au moyen d’un seul radical 0,5pt

Exercice 2 (3points)

ACTIVITES GEOMETRIQUES (5points)

Exercice 1 (2,5points)

L’unité est le centimètre. ABC est un triangle tel que AB = 6 ; BC = 8 et AC = 5. M un point du segment [AB] tel que AM = 2,4 ; P un point du segment [BC] tel que CP = 3,2. La droite passant par M et parallèle à (BC) coupe le segment [AC] au point N.

1. Faire une figure 1pt
2. Calcule la longue AN 0,75pt

3. Montre que les droites (MP) et (AC) sont parallèle 0,75pt

Exercice 2 (2,5points)

L’unité de longueur est le mètre. La figure ci-contre représente une partie de la charpente du toit d’une maison. ABC est un triangle rectangle en A tel que AB = 4 et AC = 12. D est le point du segment [AC] tel que AD = 5. La droite passant par D et perpendiculaire à (AC) coupe la droite (BC) en E.

1. En utilisant la propriété de Pythagore calculer la distance BC 0,75pt
2. en utilisant la propriété de Thalès, calcul la distance ED 0,75pt
3. calcul l’aire du triangle AI du triangle EDC 1pt

Partie B : Evaluation des compétences (10points)

Contexte

Après sa retraite en 2016, monsieur BANGOUP, cadre à la fonction publique, décide de se lancer dans l’agriculture et l’élevage. De retour dans son village MAHEUTCHOU, il achète au prix de 2000FCFA le mètre carré une parcelle dont le géomètre a donné une représentation ci-dessous. Il voudrait utiliser la parcelle BFC pour l’agriculture, la parcelle IED pour l’élevage et la parcelle ABF pour construire sa maison.

Rivière et budget

La partie FEIC est une rivière qui traverse son terrain et dont les rives (les segments [CF] et [EI]) sont parallèles. Afin d’éviter que ses ouvriers et ses animaux ne tombent dans la rivière, il décide d’entourer la partie FEIC d’une barrière faite de fils barbelés dont le mètre coûte 1000FCFA. Pour réaliser cette clôture, il prévoit un budget de 1.000.000FCFA.

Partage et données

Pour fêter cette réalisation, monsieur BANGOUP dispose de 84 canettes de bières, achète 147 gâteaux à la boutique du coin, puis décide de les partager avec le maximum de ses amis en utilisant toutes les canettes et tous les gâteaux. Chaque ami doit recevoir un paquet contenant le même nombre de canettes et le même nombre de gâteaux.
BC = 6km ; BF = 8km ; CF = 10km ; DE = 2km et AF = 5√2 km

Tâches

1. Pourrat-il entourer la rivière FEIC avec ses 1.000.000 FCFA ? 3pts
2. Combien coutera tout son terrain ? 3pts
3. Quelle sera la contenance des paquets de ces amis ? 3pts

A) ACTIVITES NUMERIQUES (05 points)

On donne :
$A = \left(-\dfrac{3}{2} + \dfrac{5}{24}\right) \div \left(\dfrac{11}{4} - \dfrac{5}{12}\right)$ ; $B = 4\sqrt{75} - \sqrt{48} + 2\sqrt{27}$ ; $C = \dfrac{2-\sqrt{3}}{3\sqrt{3}-4}$ ; $D = \dfrac{2\sqrt{3}-1}{5}$

1. a) Calculer le pgcd $(2310 ; 1820)$ 0.5pt
   b) Déduire le ppcm $(2310 ; 1820)$ 0.5pt
2. a) Calculer $(2-\sqrt{5})^2$ 0.5pt
   b) Déduire en l’expression simplifiée de $\sqrt{9-4\sqrt{5}}$ 0.5pt
3. Calculer A et donne le résultat sous forme d’une fraction irréductible. 0.75pt
4. Ecrire le nombre B sous la forme $a\sqrt{3}$ ou $a$ est un entier relatif 0.75pt
5. Ecrire l’expression de C sans radical au dénominateur 0.75pt
6. Sachant que $1,732 < \sqrt{3} < 1,733$, donner un encadrement de D 0.75pt

B) ACTIVITES GEOMETRIQUES (05 points)

EXERCICE 1 : 2 points

Sur la figure ci-dessous les droites (MN) et (BC) sont parallèles. On donne AC = 3m ; AP = 4.9m ; AE = 3.5m ; BC = 1.8m ; AN = 2.8m et AM = 2m.

1. Calculer AB et MN 0.5×2 = 1pt
2. Montrer que les droites (BC) et (EP) sont parallèles. 1pt

EXERCICE 2 : 3 points

Soit le triangle ABC rectangle en A tel que AB = 3√3 ; AC = 3√6 et M, N deux points respectifs de [AB] et [AC] tels que (MN) // (BC) et on a AM = √3 et AN = √6.

1. Montrer que BC = 9 0.75pt
2. Calculer MN 0.75pt
3. Calculer le périmètre du triangle ABC 0.75pt
4. Calculer l’aire du triangle ABC 0.75pt

II- EVALUATION DES COMPETENCES (09 points)

Henri est un jeune entrepreneur qui vient de construire sa maison à Banock. Il désire embellir les abords de sa maison. Chez un jardinier à Bafoussam, il trouve en promotion des fleurs blanches et roses. Une fleur blanche est vendue à 200fcfa et une fleur rose est vendue à 300fcfa. Heureux, il achète rapidement. Il achète 280 fleurs roses et 440 fleurs blanches que le jardinier dispose en paquets identiques prêt à être planter dans son jardin. Pour remercier Henri de ses achats, le jardinier lui fait une réduction en laissant chaque paquet constitué à 4000Fcfa au lieu du prix initiale.

transport et données

Pour pouvoir transporter les plantes de Bafoussam à Banock le jardinier a le choix entre le parcours 01 (QABM) ou le parcours 02 (QPRM) comme l’indique la figure suivante, il aimerait choisir le parcourt le plus court afin d’économiser du carburant.
QA = 3km ; QP = 4km ; PR = 5km ; BM = 4km ; LN = 2km ; MN = 2.4km ; EF = 5.25km ; MF = 3km
(AB) ∥ (EF) et (PR) ∥ (LN)

Livraison

Henri livre les produits de son entreprise chaque 12 jours et son ami Joseph lui livre ses marchandises chaque 18 jours. Les deux entrepreneurs livrent dans le même marché et lorsque les deux se rencontrent, ils organisent une fête avec un nombre d’invités égale au nombre de jours qui séparent leurs rencontres. Ils payent 2500 fcfa par plat pour chaque invité au service traiteur en plus des un tiers de la somme totale pour la location des locaux.

Tache :

1. Aider Henri à déterminer le montant exact de la réduction que lui a accordé le jardinier 3pts
2. Aider le jardinier à déterminer quel est le parcours le plus court pour arriver chez Henri 3pts
3. Aider Joseph et Henri à déterminer la dépense totale qu’ils effectueront 3pts

Le coût de réalisation de chaque charpente, y compris la main d’œuvre de l’ingénieur, est fixé à 60 000 frs CFA. Sachant que la barre de métal utilisée par chaque ingénieur coûte sur le marché 4 500 frs CFA le mètre :

Taches

1. Quel est le prix de la main d’œuvre de l’ingénieur Gorsou à la fin des travaux ? 3 pts
2. Quel est le prix de la main d’œuvre de l’ingénieur Sinkoum à la fin des travaux ? 3 pts
3. Quel est le prix de la main d’œuvre de l’ingénieur Haman à la fin des travaux ? 3 pts

I- Activités Numériques

Exercice 1 : (1 point)

On donne $A=\left(\dfrac{3}{2}\right)^2\times\dfrac{2}{9}-\dfrac{5}{2}$ ; $B=\dfrac{7\times10^5\times8\times10^{-8}}{5\times10^{-4}}$

1. Montre que $A$ est un entier relatif. 0,5 pt
2. Écris $B$ sous la forme la plus simple possible. 0,5 pt

Exercice 2 : (2,75 points)

On donne les expressions suivantes : $C=\dfrac{2}{\sqrt{5}-2}$ ; $D=4\sqrt{75}-\sqrt{48}+2\sqrt{3}$

1. Écris $C$ sans radical au dénominateur. 0,5 pt
2. Écris $D$ sous la forme $a\sqrt{b}$ où $a$ est un entier relatif et $b$ un entier naturel. 0,75 pt
3. On donne $E=\sqrt{11-6\sqrt{2}}$
   1. Compare $11$ et $6\sqrt{2}$ puis déduis le signe de $11-6\sqrt{2}$. 0,75 pt
   2. Calcule $(3-\sqrt{2})^2$. 0,5 pt
   3. En déduis la valeur de $E$. 0,25 pt

Exercice 3 : (1,25 point)

On donne l’expression littérale suivante : $F=(2x+1)(2x-3)-x(3-2x)$

1. Développe et réduis $F$. 0,5 pt
2. Factorise $F$ et calcule sa valeur numérique pour $x=1$. 0,75 pt

II- Activités Géométriques

Exercice 1 : (2,25 points)

I. Sur la figure ci-contre, les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles.

On donne : $OA=5\text{ cm}$ ; $OC=9\text{ cm}$ ; $AB=4\text{ cm}$ ; $OD=6\text{ cm}$.

Calcule $OB$ et $CD$. 0,75 pt × 2

II. Sur la figure ci-contre, on donne $OV=18\text{ cm}$ ; $OU=24\text{ cm}$ ; $OT=12\text{ cm}$ ; $OS=9\text{ cm}$.

Démontre que les droites $(ST)$ et $(UV)$ sont parallèles. 0,75 pt

Exercice 2 : (2,75 points)

$ABCD$ est un rectangle tel que $AB=8\text{ cm}$ et $AD=4,5\text{ cm}$. $E$ est le point du segment $[AD]$ tel que $AE=1,5\text{ cm}$ ; $I$ est le point du segment $[AB]$ tel que $AI=4\text{ cm}$ ; $N$ et $K$ sont respectivement les points du segment $[BC]$ tels que $BN=3\text{ cm}$, et $BK=1,5\text{ cm}$. La droite $(EC)$ coupe le segment $[BA]$ en $M$.

1. Représente la figure. 1,25 pt
2. Calcule $MA$. 0,75 pt
3. Trace les droites $(AN)$ et $(IK)$ ; puis montre qu’elles sont parallèles. 0,75 pt

Partie B : ÉVALUATION DES COMPÉTENCES (9 points)

$ABDOULAYE$ a un champ de forme rectangulaire de longueur $40\text{ m}$ et de largeur $20\text{ m}$ qu’il veut exploiter pour réaliser diverses cultures. Afin de faciliter le transport de ses cultures il dépense $250\,000\text{ F.cfa}$ pour faire passer une route de largeur $L$ ayant pour superficie le $\dfrac{1}{10}$ de la superficie totale de son terrain (Voir figure ci-dessous).

On donne :

$AB=DC=40\text{ m}$
$AD=BC=30\text{ m}$
$DB=50\text{ m}$ ; $EC=20\text{ m}$
$EF=25\text{ cm}$ ; $CF=15\text{ m}$

Il aimerait cultiver deux variétés de plantains sur la parcelle $ADB$ et les pommes de terre sur la parcelle $ECF$. Dans le cadre de l’étude financière de son projet, il se rapproche d’un ingénieur agronome qui lui dit :

- Il te faut un seau de semence de pommes de terre à chaque $10m^2$.
    Le seau de semence coûte $2500\text{ F.cfa}$.

- Il te faut $5$ bourgeons de plantains à chaque $m^2$. Un bourgeon de plantain coûte $500\text{ F.cfa}$.

Pour bien organiser la parcelle $ADB$, sa femme le conseille de séparer le champ de la variété $1$ de plantains de celui de la variété $2$ par une clôture perpendiculaire au segment $[AB]$ ; le pied $I$ de cette clôture doit se situer à $16\text{ m}$ du point $B$ et son sommet $J$ doit être sur le segment $[DB]$.

Tâches :

1. Montre que la route construite garde la même largeur ; puis calcule cette largeur. 3 pts
2. Combien $ABDOULAYE$ va t-il dépenser pour réaliser son projet ? 3 pts
3. Reproduis à l’échelle $\dfrac{1}{1000}$ la parcelle $ADB$ ainsi que la clôture ; puis calcule la hauteur de cette clôture. 3 pts

I. Activités numériques. (5 points)

Exercice 1 : (1,5 pt)

1. Utiliser l’algorithme d’Euclide pour calculer le $pgcd(799;1081)$. (0,5 pt)
2. Utiliser la réponse de la question ci-dessus pour simplifier $E=\dfrac{799}{1081}$. (0,5 pt)
3. On donne $pgcd(a;b)=6$ et $a\times b=1632$. Calculer le $ppcm(a;b)$. (0,5 pt)

Exercice 2 : (3,5 pt)

1. On donne $A=\dfrac{5}{\sqrt{2}+\sqrt{18}}+\dfrac{3}{\sqrt{2}-\sqrt{18}}$ ; $B=(\sqrt{11}+4)^2$ ; $C=(\sqrt{13}+4)(3\sqrt{13}-4)$.
   1. Développer et réduire $B$ et $C$. (1 pt)
   2. Écrire $A$ sous la forme $a\sqrt{b}$ où $a$ est une fraction irréductible et $b$ un entier. (0,5 pt)
2. On donne $D=\sqrt{28-16\sqrt{3}}$
   1. Comparer $4$ et $2\sqrt{3}$ puis donner le signe de $2\sqrt{3}-4$. (0,75 pt)
   2. Calculer $(2\sqrt{3}-4)^2$ et simplifier $D$. (0,75 pt)
   3. Sachant que $1,73<\sqrt{3}<1,74$, donner un encadrement de $D$ à $10^{-2}$ près. (0,5 pt)

II. Activités géométriques. (5 points)

Exercice 1 : (2 pts)

1. Sur le dessin ci-dessous, $PN=3+\sqrt{3}$ ; $ON=\sqrt{2}$ et $SR=3-\sqrt{3}$, de plus les droites $(ON)$ et $(SR)$ sont parallèles, calculer $PS$. On donnera le résultat sous la forme $a\sqrt{b}$. (1 pt)

2. Construire un segment de longueur $\sqrt{13}\text{ cm}$. On donnera le programme de construction. (1 pt)

Exercice 2 : (3 pts)

$BANC$ est un parallélogramme tel que $BA=4\,\text{cm}$, $BC=6\,\text{cm}$ et $AC=8\,\text{cm}$, $P$ est un point de $[AC]$ tel que $AP=2,4\,\text{cm}$. La parallèle à $(BC)$ passant par $P$ coupe $[CN]$ en $O$.

1. Construire la figure en vraie grandeur (c’est-à-dire à l’échelle $1/1$). (1 pt)
2. Montrer que les droites $(PO)$ et $(AN)$ sont parallèles. (1 pt)

c. Calculer les longueurs $CO$ et $PO$. (1 pt)

Partie B : Évaluations des compétences. (9 points)

$KENGNE$ se rend au marché tous les $12$ jours et se rend à l’hôpital tous les $15$ jours pour visiter son frère médecin. Un matin en allant au marché, $KENGNE$ rencontre $FOKA$ et $WAMBA$ qui échangent leur point de vue sur la figure ci-dessous correspondant à une partie de la charpente d’une maison. $FOKA$ affirme que les droites $(PS)$ et $(QR)$ sont parallèles et $WAMBA$ conteste.

De retour du marché, $KENGNE$ reçoit $144$ canettes de jus et $112$ gâteaux. Il veut placer le maximum de tables avec le même nombre de canettes et de gâteaux sur chaque table.

Tâches :

Tâche 1 : De qui de $FOKA$ et $WAMBA$ a raison ? (3 pts)

Tâche 2 : Déterminer le nombre de canettes et de gâteaux par table. (3 pts)

Tâche 3 : Le $1^{er}$ octobre $2019$, $KENGNE$ s’est rendu au marché et à l’hôpital. À la prochaine date de coïncidence, combien de fois chaque événement aura-t-il eu lieu ? (3 pts)

I. ACTIVITÉS NUMÉRIQUES   05 pts

EXERCICE 1

1) Calcule $A$ puis $B$ et donne le résultat sous forme de fractions irréductibles. (0,75 + 0,75) pt

$A=\left(\frac{1}{2}-\frac{3}{2}\right)\div\frac{7}{11} \qquad B=\frac{5}{7}-\frac{14}{25}\times\frac{15}{49}$

2) On donne $C=\left(\frac{7}{5}-\frac{4}{3}\right)\div\left(\frac{7}{5}\times\frac{4}{3}\right)$

1. Écrire $C$ sous forme de fraction irréductible. 1 pt
2. Montrer que $\frac{1}{C}$ est un entier naturel. 0,5 pt

EXERCICE 2

Votre parent de retour du service, se voit remettre la fiche de renseignement de votre établissement. Sur laquelle on a écrit : la pension s’élève à 110000 F.cfa ; l’inscription représente les $\dfrac{2}{5}$ de la pension, la première tranche représente les $\dfrac{2}{3}$ du reste et la deuxième tranche représente le reste de la pension.

1. À combien s’élève l’inscription dans cet établissement ? 0,5 pt
2. Quel est le montant de la première tranche ? 0,75 pt
3. Quelle fraction représente la deuxième tranche ? 0,75 pt

II. ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES   05 pts

EXERCICE 1   (2 pts)

On donne le triangle $ABC$ suivant où les droites $(BM)$ et $(CN)$ se coupent en $A$.

1. Énoncer la réciproque de la propriété de THALÈS dans la figure ci-contre. 1 pt
2. Les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont-elles parallèles ? 1 pt

EXERCICE 2   (3 pts)

Soit un triangle $ABC$ tel que $AB=7\,cm$, $AC=5\,cm$ et $BC=3\,cm$.

1. Faire la figure. 0,75 pt
2. Place le point $M$ sur le segment $[BC]$ tel que $BM=1\,cm$. 0,5 pt
3. Construis la parallèle à $(AB)$ passant par $M$ et qui coupe $(AC)$ en $N$. 0,75 pt
4. Calculer la longueur $CN$. 1 pt

PARTIE B : ÉVALUATION DES COMPÉTENCES   09 pts

À l’ouest, BAFANG ; BAGANTE et BAFFOUSSAM sont trois villages voisins. Le chef de chaque village décide de rénover la charpente de sa chefferie ceci en prélude de la visite du chef de l’État dans la région. Ils décident donc de contacter chacun un ingénieur chargé de réaliser le projet. Le travail de chaque ingénieur consiste à remplacer la longueur $FE$ par du métal.

propositions des ingenieurs

L’ingénieur NDJANPA propose la figure 1 pour le maire de BAGANTE ; l’ingénieur FOTSO propose la figure 2 pour le maire de BAFFOUSSAM et l’ingénieur TCHIENCHEU propose la figure 3 pour le maire de BAFANG.

Ils décident donc tous de prendre la somme de 300 000 F.cfa pour la réalisation des travaux à chaque chef de village. On note aussi que le mètre de métal utilisé par les 3 ingénieurs coûte 4 500 F.cfa.

Taches :

1. Quel est le bénéfice réalisé par l’ingénieur NDJANPA à la fin des travaux ? 3 pts
2. Quel est le bénéfice réalisé par l’ingénieur FOTSO à la fin des travaux ? 3 pts
3. Quel est le bénéfice réalisé par l’ingénieur TCHIENCHEU à la fin des travaux ? 3 pts

A- ACTIVITÉS NUMÉRIQUES   5 points

Exercice 1 :   2,5 points

1. Montre que le nombre $A=-2\sqrt{8}+\sqrt{2}+\sqrt{50}-2\sqrt{98}+3\sqrt{32}$ est un entier naturel. 0,5 pt
2. Montre que le nombre $B=\frac{\frac{1}{4}-\frac{3}{2}}{\frac{1}{4}\times\frac{5}{2}}$ est un entier relatif. 0,5 pt
3. On considère le nombre $C=\sqrt{21-12\sqrt{3}}$
   1. Compare 3 et $2\sqrt{3}$. 0,5 pt
   2. Développe et réduis $(3-2\sqrt{3})^2$. 0,5 pt
   3. Mettre $C$ sous la forme $a+b\sqrt{3}$ où $a$ et $b$ sont des entiers relatifs. 0,5 pt

Exercice 2 :   2,5 points

Soit l’expression littérale suivante : $A(x)=2x^2+x-3+(1-x)(3x+1)$

1. Rendre rationnel le dénominateur de la fraction $\frac{\sqrt{2}-2}{\sqrt{2}+3}$. 0,5 pt
2. Montre que $2x^2+x-3=(x-1)(2x+3)$. 0,5 pt
3. En déduire la forme factorisée de $A(x)$. 0,5 pt
4. On pose $P(x)=\frac{(-x+2)(x-1)}{(x+3)(1-x)}$
   1. Donne la condition d’existence de $P(x)$. 0,5 pt
   2. Simplifie $P(x)$. 0,25 pt
   3. Calculer la valeur numérique de $P$ pour $x=\sqrt{2}$. 0,25 pt

B- ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES   5 points

L’unité de longueur est le centimètre.

Sur la figure ci-dessous, $BEPC$ est un rectangle de largeur 4. $A$, $F$, $G$ et $D$ sont les points tels que : $BF=3,5$ ; $BG=7$ ; $BA=2,5$ ; $CD=3$ et $\widehat{GPE}=30^\circ$.

1. Calculer $BD$. 1 pt

2. Démontre que les droites $(AF)$ et $(DG)$ sont parallèles. 0,75 pt
3. Calcule $DG$. 1 pt
4. Calcule $GE$ et $GP$. 1,25 pt
5. Calcule l’aire du triangle $GEP$. 1 pt

Rappel sur la trigonométrie :

Deuxième partie : Évaluation des compétences   10 points

Situation de vie :

Le champ rectangulaire $ABCD$ de votre oncle Atangana a pour longueur $8\,m$. Votre oncle envisageait revêtir son champ avec des pavés entiers de forme carrée les plus grands possibles et dont la douzaine coûte $55\,000$ FCFA ; mais constatant qu’une route devait passer par son champ, il décide de vendre tout son champ sans revêtement à raison de $12\,000$ FCFA le mètre carré pour rembourser ses dettes qui s’élèvent à $400\,000$ FCFA.

Le versement

Son acheteur demande qu’il attende d’abord le passage de la route avant qu’il lui verse de l’argent sur le reste de son champ. Les dimensions de son champ sont telles que $AC=10\,m$, $BK=2,8\,m$ et $\tan \widehat{BKJ}=0,75$.

Tâches :

1. La route passant dans le champ de votre oncle Atangana a-t-elle la même largeur ? 3 pts
2. Votre oncle Atangana peut-il rembourser ses dettes après la vente du reste de son terrain ? 3 pts
3. Quelle somme d’argent votre oncle Atangana devait-il dépenser pour l’achat des pavés si jamais la route ne devait pas passer dans son champ ? 3 pts

A- Activités Numériques :

Exercice 1 : 03 Points

On donne les nombres $A=\sqrt{\dfrac{0,0004\times2,5}{10^{-2}\times1,6}}$ ; $B=8\sqrt{\dfrac{5}{4}}-\sqrt{20}+4\sqrt{45}$ ; $C=\dfrac{1+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}}+\dfrac{1-\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}}$.

1. Calculer $A$ et donner le résultat sous forme de fraction irréductible. 0,5 pt
2. Écrire $B$ sous la forme $a\sqrt{5}$ où $a$ est un nombre réel. 0,5 pt
3. Calculer : $a=(1+\sqrt{3})^2$ ; $b=(1-\sqrt{3})^2$ et $c=(1+\sqrt{3})(1-\sqrt{3})$. 1,5 pt
4. Justifier que $C$ est un entier que l’on déterminera. 0,5 pt

Exercice 2 : 02 Points

On considère les nombres $k=7-3\sqrt{5}$ et $p=\dfrac{1-\sqrt{5}}{7-3\sqrt{5}}$.

1. a) Comparer les nombres $7$ et $3\sqrt{5}$. 0,5 pt
   b) Calculer $k^2$. 0,5 pt
   c) Écrire sous la forme $a+b\sqrt{5}$, le nombre $\sqrt{94-42\sqrt{5}}$. 0,5 pt
2. Écrire $p$ sans radical au dénominateur. 0,5 pt

B- Activités Géométriques

Exercice 1 : 01,75 Point

Soit le schéma codé ci-contre où $IH=4\,cm$, $HK=2\,cm$, $GH=1,5\,cm$ et $GK=2,5\,cm$.

1. Montrer que le triangle $GHK$ est rectangle. 0,75 pt
2. En déduire que les droites $(IJ)$ et $(GH)$ sont parallèles. 0,5 pt
3. Calculer la distance $IJ$. 0,5 pt

Exercice 2 : 01,75 Points

$EFG$ est un triangle équilatéral de côté $4\,cm$. $H$ est le pied de la hauteur issue de $E$.

1. Calculer la distance $EH$. 0,75 pt
2. Calculer $\cos(\widehat{HÊF})$ et $\sin(\widehat{HÊF})$. On donnera les valeurs exactes. 1 pt

Exercice 3 : 01,5 Points

Dans le schéma ci-contre $OP=5\,cm$, $OM=7,5\,cm$, $ON=4\,cm$ et $LN=10\,cm$.

1. Justifier que les droites $(PN)$ et $(LM)$ sont parallèles. 0,75 pt
2. Déterminer alors la valeur de $x$. 0,75 pt

PARTIE B : ÉVALUATION DES COMPÉTENCES   (09 Points)

Pour abattre un arbre en forêt, le bûcheron doit respecter la réglementation en vigueur. Le responsable chargé de veiller à cette réglementation fait fixer deux points $S$ et $T$ au sol et tend deux cordes partant du sommet $G$ de l’arbre à chacun de ces points et faisant des angles de $30^\circ$ et $60^\circ$ avec l’horizontale. Pour avoir cette autorisation, il faut que l’on ait : $x=\dfrac{y}{2}$ (voir figure 1).

Taches :

1. Tache 1 :

   En exprimant la longueur $h$ de l’arbre en fonction de $x$ puis en fonction de $x$ et $y$, justifier que cet arbre remplit les conditions pour être abattu. 3 pts

2. Tache 2 :

   Le responsable de la réglementation a donné son accord pour l’abattage d’un arbre. Le bûcheron fixe alors deux cordes à deux points $A$ et $E$ sur l’arbre pour orienter sa chute. Les deux cordes tendues sont ensuite fixées au sol aux points $F$ et $B$ (voir figure 2). Les distances étant bien prises, le responsable dit au bûcheron que les droites $(AB)$ et $(EF)$ ne sont pas parallèles. Vérifier cette affirmation. 3 pts

3. Tache 3 :

   Le responsable indique donc au bûcheron où placer son point $B$. Le bûcheron le déplace alors de $1,6$ mètre vers la droite. Le point $B$ est alors tel que les deux cordes tendues soient parallèles. Sachant que chaque corde fait d’abord un tour circulaire de l’arbre dont le diamètre est de $1$ mètre, calculer la longueur totale de cordes utilisées par le bûcheron. On prendra $\pi=3,14$ et on donnera le résultat arrondi à l’entier le plus proche. 3 pts

I- ACTIVITÉS NUMÉRIQUES : (5 points)

Exercice 1 : 2,5 points

1. Calculer le PGCD de $216$ et $144$ en utilisant la méthode de l’algorithme d’Euclide ou des soustractions successives. 1 pt

On considère les expressions littérales définies par : $A(x)=16x^2-40x+25$, $B(x)=(2x-3)^2-49$ et $C(x)=(-4x+7)(5x-9)$.

2. Développe et réduis $C(x)$. 0,5 pt
3. Factorise $A(x)$ et $B(x)$. 1 pt

Exercice 2 : 2,5 points

1. On pose : $A=(5\sqrt{2}-4\sqrt{3})^2$, $B=2\sqrt{98}-7\sqrt{32}+16\sqrt{2}$ et $D=-\dfrac{9}{4}-\dfrac{2}{5}\times\dfrac{15}{8}$.
   1. Développe et réduis $A$. 0,75 pt
   2. Écris $B$ sous la forme $a\sqrt{2}$, où $a$ est un entier relatif. 1 pt
2. Montrer que $D$ est un entier relatif. 0,75 pt

II- ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES : (5 points)

Exercice 1 : 2,5 points

Sur la figure ci-contre, les droites $(BC)$ et $(EF)$ sont parallèles.

On donne : $AB=4\,cm$, $AC=5\,cm$, $AE=8\,cm$ et $BC=7\,cm$.

1. Calcule $AF$ et $EF$. 1,5 pts
2. On donne $AI=7\,cm$ et $AJ=5\,cm$.
   Les droites $(IJ)$ et $(BC)$ sont-elles parallèles ? 1 pt

EXERCICE 2 : 2,5 points

Soit le triangle $ABC$ tel que $AB=5\,cm$, $AC=7,5\,cm$ et $BC=7\,cm$. Les points $E$ et $F$ sont respectivement sur les segments $[AB]$ et $[AC]$ de telle sorte que $AE=2\,cm$ et $AF=3\,cm$.

1. Faire la figure en vraie grandeur. 0,75 pt
2. Démontrer que les droites $(BC)$ et $(EF)$ sont parallèles. 0,75 pt
3. Calculer $EF$. 1 pt

PARTIE B : ÉVALUATION DES COMPÉTENCES (10 points)

Un père dispose d’un champ triangulaire $ABC$.

Pour faciliter le transport des cultures, il a créé une route $[EF]$ comme indique le schéma ci-contre.

Ce père désire aussi planter des arbres fruitiers sur les côtés $[AB]$ et $[BC]$, avec un arbre sur chaque sommet $A$, $B$ et $C$.

Pour protéger son champ contre des bêtes, il désire le clôturer avec du fil barbelé qui coûte $350$ F le mètre. Il dispose d’une somme de $100\,000$ F pour cette clôture.

On donne : $AB=75\,m$, $BC=100\,m$, $AE=45\,m$ et $AC=125\,m$.

Taches :

1. Calculer la longueur de la route. 3 pts
2. Déterminer la plus grande distance possible entre deux arbres fruitiers, puis donner le nombre d’arbres que ce père va utiliser. 3 pts
3. Ce père pourra-t-il clôturer ce champ avec la somme d’argent qu’il dispose ? 3 pts

I- ACTIVITÉS NUMÉRIQUES   (05 points)

1. On pose $P(x)=(2x+3)(2x+7)+4x^2-9$ et $Q(x)=4x^2-9$.
   1. Développe, réduis et ordonne $P$ selon les puissances de $x$. 0,75 pt
   2. Factorise $P(x)$. 0,75 pt
   3. Donne la condition d’existence de la fraction rationnelle $R(x)=\dfrac{P(x)}{Q(x)}$. 0,25 pt
   4. Simplifie $R(x)$, puis détermine sa valeur numérique pour $x=\sqrt{2}$. 0,5 pt
2. On pose $A=10\sqrt{700}-3\sqrt{28}+5\sqrt{7}$ et $B=4\sqrt{3}-7$.
   1. Mettre $A$ sous la forme $a\sqrt{7}$. 0,5 pt
   2. Compare $4\sqrt{3}$ et $7$. 0,25 pt
   3. Calcule $(4\sqrt{3}-7)^2$, puis écris plus simplement $\sqrt{97-56\sqrt{3}}$ sans le symbole de racine carrée. 0,5 pt
   4. Montre que $\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{97-56\sqrt{3}}}=12+7\sqrt{3}$. 0,5 pt
   5. Donne un encadrement de $B$ à $10^{-2}$ près sachant que $1,73<\sqrt{3}<1,74$. 0,5 pt
3. On donne $I=]-1;2]$ et $J=]0;4[$. Détermine $I\cap J$ et $I\cup J$. 0,5 pt

II- ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES   (05 points)

Exercice 1 : 01,75 point

Soit le schéma codé ci-contre où $IH=4\,cm$, $HK=2\,cm$, $GH=1,5\,cm$ et $GK=2,5\,cm$.

1. Montrer que le triangle $GHK$ est rectangle. 0,75 pt
2. En déduire que les droites $(IJ)$ et $(GH)$ sont parallèles. 0,5 pt
3. Calculer la distance $IJ$. 0,5 pt

Exercice 2 : 01,75 point

Sur un stade de football, le point de penalty est situé à $11$ mètres de la ligne de but. Les buts ont une largeur de $7,32$ mètres comme l’indique l’esquisse de la figure ci-dessous. Calculer l’angle de tir d’un footballeur lorsqu’il tire un pénalty.

Exercice 3 : 01,5 point

L’unité de longueur est le centimètre.

$ABC$ est un triangle rectangle en $B$ tel que $\widehat{A}=30^\circ$ et $AB=2$.

Calculer $AC$ et $BC$ sachant que $\cos 30^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin 30^\circ=\dfrac{1}{2}$ et $\tan 30^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$. 1,5 pt

PARTIE B : Évaluation des compétences   (10 points)

Monsieur Nana a un champ triangulaire $AML$ tel que $AL=45\,m$ et $AM=39\,m$. Il le partage en deux parties : une partie pour l’élevage et l’autre pour l’agriculture. On suppose que $(EO)$ est parallèle à $(LM)$ et que $EA=15\,m$.

• Il souhaite planter les arbres sur les côtés $[AE]$ et $[AO]$ avec un écartement entre deux arbres le plus grand possible.
• Il souhaite également entourer la parcelle réservée à l’élevage d’une clôture. La clôture coûte $7\,000$ FCFA le mètre.

Taches :

1. Quel est le plus grand écart possible entre deux arbres et combien d’arbres y aura-t-il sur chaque côté ? 3 pts
2. Quelle est l’aire de la portion du champ réservée à l’élevage ? 3 pts
3. Avec $100\,000$ FCFA, ce monsieur aura-t-il suffisamment d’argent pour clôturer son champ ? 3 pts

I- TRAVAUX NUMÉRIQUES : 05 points

Exercice 1 : 03,5 points

1. On considère l’expression littérale : $A=(4x-1)(3x-2)+(3x-2)(x+9)$.
   1. Développe, réduis et ordonne $A$ suivant les puissances décroissantes de $x$. [0,75 pt]
   2. Factorise $A$. [0,75 pt]
2. Écris le nombre $B=\sqrt{700}-4\sqrt{28}+3\sqrt{343}$ sous la forme $a\sqrt{7}$ où $a$ est un entier à préciser. [1 pt]
3. Effectue l’opération $D=\dfrac{7}{9}\div\dfrac{4}{3}-\left(\dfrac{2}{3}\right)^2\times\dfrac{5}{4}$ et donne le résultat sous forme de fraction irréductible. [1 pt]

Exercice 2 : 01,5 point

1. Calcule le $PGCD(520;336)$ à l’aide de l’algorithme d’Euclide ou de l’algorithme des soustractions. [1 pt]
2. Déduis-en la valeur de $PPCM(520;336)$. [0,5 pt]

II- TRAVAUX GÉOMÉTRIQUES : 05 points

Exercice 1 : 02,5 points

Sur la figure ci-contre, $ABC$ est un triangle rectangle en $B$ tel que $AC=8\,cm$ et $\widehat{ACB}=30^\circ$. $E$ et $F$ sont des points respectifs des côtés $[AB]$ et $[BC]$ tels que $AE=2,5\,cm$ et les droites $(EF)$ et $(AC)$ soient parallèles.

On rappelle que $\cos 30^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin 30^\circ=\dfrac{1}{2}$ et $\tan 30^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$.

1. Montre que $AB=4\,cm$. [0,75 pt]
2. Déduis-en que $BC=4\sqrt{3}\,cm$. [0,75 pt]
3. Calcule $BF$ et donne sa valeur à l’unité près. [1 pt]

Exercice 2 : 02,5 points

1. Réponds par Vrai ou par Faux à chacune des affirmations suivantes :
   1. Le sinus d’un angle aigu peut être plus grand que 1. [0,25 pt]
   2. Si $\widehat{A}$ est un angle aigu, alors $\tan\widehat{A}=\dfrac{\sin\widehat{A}}{\cos\widehat{A}}$. [0,25 pt]
   3. Si $\widehat{A}$ est un angle aigu, alors $\sin\widehat{A}+\cos\widehat{A}=1$. [0,25 pt]
2. Soit $\widehat{A}$ un angle aigu tel que $\sin\widehat{A}=\dfrac{3}{5}$.
   1. Donne la valeur de la mesure de l’angle $\widehat{A}$, arrondie à l’unité. [0,5 pt]
   2. Détermine la valeur exacte de $\cos\widehat{A}$ puis de $\tan\widehat{A}$. [0,75 pt + 0,5 pt]

PARTIE B : ÉVALUATION DES COMPÉTENCES (09 points)

Situation :

Pour améliorer l’épanouissement et le cadre de vie des élèves du lycée de Nyabessang au sein de leur établissement, les élites de Nyabessang décident de construire un hangar pour les vendeuses, une salle des fêtes pour des différentes cérémonies et deux toilettes modernes identiques comme le montrent les images ci-dessus, desquelles on a extrait les plans d’une ferme de la charpente de chacune des constructions, représentées respectivement par les figures 1, 2 et 3. Pour chaque toiture du hangar et de la salle des fêtes, toutes les fermes sont identiques.

Depenses pour le toit

Dans la phase actuelle des travaux, ils voudraient couvrir les deux pentes identiques du toit du hangar avec des tuiles vendues à $7\,325$ FCFA le mètre carré ; mettre dans la salle des fêtes, un plafond en lambris vendus à $5\,400$ FCFA le mètre carré et couvrant tout l’espace inférieur horizontal des fermes ; carreler entièrement le sol des toilettes modernes avec des carreaux de $1$ mètre carré et vendus à $175$ FCFA l’unité.

Tâches :

1. À combien s’élève la dépense pour l’achat des tuiles destinées à la couverture de la toiture du hangar ? [3 pts]
2. À combien s’élève la dépense pour l’achat des lambris destinés au plafond de la salle des fêtes ? [3 pts]
3. À combien s’élève la dépense pour l’achat des carreaux destinés aux deux toilettes modernes ? [3 pts]