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L’épreuve de mathématiques du BACCALAURÉAT D 2015
EXERCICE 15 points
On considère l’application $t$ de $\mathbb{C}$ dans $\mathbb{C}$ définie par : $t(z)=9z^2-24z^3+50z^2-24z+41$.
1. Montrer que si $z_0$ est une racine de $t$, alors $\overline{z_0}$ est aussi une racine de $t$. 0,5 pt
2. Vérifier que $i$ est une racine de $t$ et en déduire une autre racine de $t$. 0,5 pt
3. Déterminer trois nombres complexes $a$, $b$ et $c$ tels que $\forall z\in\mathbb{C}$, $t(z)=(z^2+1)(az^2+bz+c)$. 0,75 pt
4. Résoudre dans $\mathbb{C}$ l’équation $t(z)=0$. 1 pt
5. Le plan complexe est rapporté à un repère $(O,\vec{u},\vec{v})$ (unité graphique : $3$ cm).
On désigne par $A$, $B$, $C$ et $D$ les points d’affixes respectives $z_A=-i$, $z_B=i$, $z_C=\dfrac{4}{3}+\dfrac{5}{3}i$ et $z_D=\dfrac{4}{3}-\dfrac{5}{3}i$.
(a) Placer les points $A$, $B$, $C$ et $D$. 0,5 pt
(b) Montrer que $\dfrac{z_C-z_A}{z_D-z_A}\in i\mathbb{R}$ et $\dfrac{z_C-z_B}{z_D-z_B}\in i\mathbb{R}$ où $i\mathbb{R}$ est l’ensemble des imaginaires purs. 0,5 pt
(c) En déduire la nature exacte des triangles $ACD$ et $CBD$. 0,5 pt
(d) Montrer que les points $A$, $B$, $C$ et $D$ appartiennent à un même cercle dont on précisera le centre et le rayon. 0,75 pt
EXERCICE 2 :4 points
Une urne contient $6$ jetons rouges et $4$ jetons jaunes. Un jeu consiste à tirer simultanément $2$ jetons de l’urne. Si les jetons sont de même couleur, le joueur gagne $1000$ FCFA. S’ils sont de couleurs différentes, alors le joueur perd $1000$ FCFA.
1. (a) Calculer la probabilité d’obtenir deux jetons de même couleur. 0,25 pt
(b) Calculer la probabilité d’obtenir deux jetons de couleurs différentes. 0,75 pt
2. On note $X$ la variable aléatoire qui à chaque tirage de deux jetons associe le gain ou la perte du joueur.
(a) Donner les différentes valeurs possibles de $X$. 0,75 pt
(b) Déterminer la loi de probabilité de $X$. 0,75 pt
(c) Calculer l’espérance mathématique $E(X)$ et la variance $V(X)$ de $X$. 1,5 pt
PROBLEME11 points
PARTIE A :3 points
On considère l’équation différentielle $(E)$ : $y »-4y=16x+16$.
1. Résoudre l’équation homogène $(E’)$ associée à $(E)$ : $y »-4y=0$. 0,5 pt
2. Déterminer les réels $\alpha$ et $\beta$ tels que le polynôme $p(x)=\alpha x+\beta$ soit une solution particulière de $(E)$. 0,5 pt
3. Montrer qu’une fonction $f$ est solution de $(E)$ si et seulement si $f-p$ est solution de $(E’)$. 0,5 pt
4. En déduire toutes les solutions de $(E)$. 0,5 pt
5. Déterminer parmi ces solutions celle qui vérifie les conditions $f(0)=4$ et $f'(0)=-4$. 1 pt
PARTIE B :8 points
On considère la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=e^{2x}+3e^{-2x}-4$.
1. Montrer que $g(x)=e^{-2x}(e^{4x}-4e^{2x}+4)$, $\forall x\in\mathbb{R}$. 0,5 pt
2. Etudier le signe de $g(x)$. 1 pt
3. On considère sur $\mathbb{R}$ la fonction $h$ définie par $h(x)=\dfrac{1}{2}e^{2x}-\dfrac{3}{2}e^{-2x}-4x$.
(a) Montrer que $\forall x\in\mathbb{R}$, $h(x)=e^{2x}\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{3}{2}e^{-4x}-4xe^{-2x}\right)=e^{-2x}\left(\dfrac{1}{2}e^{4x}-\dfrac{3}{2}-4xe^{2x}\right)$. 0,5 pt
(b) Calculer $\lim_{x\to +\infty} h(x)$ et $\lim_{x\to -\infty} h(x)$. 1 pt
(c) Montrer que $\forall x\in\mathbb{R}$, $h'(x)=g(x)$. 0,5 pt
(d) En déduire le tableau de variation de $h$. 1 pt
(e) Montrer que l’équation $h(x)=0$ admet une seule solution réelle $\alpha$ telle que $\alpha\in]1;2[$. 1 pt
(f) Construire la courbe représentative $(C_h)$ de la fonction $h$ dans le plan rapporté à un repère orthonormé d’unité $3$ cm sur les axes. 1,5 pt
4. Déterminer l’aire de la partie du plan délimitée par la courbe $(C_h)$, l’axe des abscisses et les droites d’équations $x=0$ et $x=\dfrac{1}{2}\ln 3$. 1 pt
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Épreuve de mathématiques — BACCALAURÉAT D 2015
Conclusion du BACCALAURÉAT D 2015
D’abord, prenez le temps de relire chaque consigne et repérez les points importants. Ensuite, entraînez-vous à gérer votre temps et à justifier proprement vos réponses. Puis, gardez en tête que BACCALAURÉAT D 2015 se réussit avec méthode et régularité. Enfin, avec Ndolomath, BACCALAURÉAT D 2015 devient un repère clair pour réviser sans stress.
