D’abord, le BACCALAURÉAT D 2009 te donne un sujet complet pour t’entraîner sur Ndolomath. Ensuite, le BACCALAURÉAT D 2009 t’aide à comprendre l’esprit de l’épreuve grâce à la définition de l’examen. Puis, le BACCALAURÉAT D 2009 te prépare à gérer le temps et à sécuriser les points faciles. Enfin, le BACCALAURÉAT D 2009 te motive à soigner la rédaction, comme le jour de l’examen.
L’épreuve de mathématiques du BACCALAURÉAT D 2009
Exercice 1 :4 points
On considère la fonction polynôme $P$ à variable complexe définie par $P(z)=z^3-(6+6i)z^2+21iz+15-5i$.
1. Calculer $P(i)$. 0,25 pt
2. En déduire que $P(z)=(z-i)(az^2+bz+c)$ où $a$, $b$ et $c$ sont des nombres complexes que l’on déterminera. 0,75 pt
3. Résoudre dans $\mathbb{C}$ l’équation $z^2-(6+5i)z+5+15i=0$; en déduire les solutions de l’équation $P(z)=0$. 1 pt
4. $A$, $B$ et $C$ sont trois points du plan complexe d’affixes respectives $\alpha=i$, $\beta=3+i$ et $\gamma=3+4i$.
(a) Calculer le rapport $\dfrac{\gamma-\beta}{\alpha-\beta}$. 1 pt
(b) Quelle est la nature du triangle $ABC$ ? 0,5 pt
(c) Donner l’angle de la rotation $r$ de centre $B$ qui transforme $A$ en $C$. 0,5 pt
Exercice 2 :5 points
Le tableau ci-dessous représente la population $X$ des pays de la zone CEMAC et le nombre $Y$ d’analphabètes de chacun de ces pays (tous exprimés en millions d’habitants).
$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Pays} & \text{Cameroun} & \text{RCA} & \text{Congo} & \text{Gabon} & \text{Guinée Équatoriale} & \text{Tchad}\\ \hline \text{Population} & 13,9 & 3,4 & 2,7 & 1,15 & 0,42 & 7,153\\ \hline \text{Nombre d’analphabètes} & 3,9337 & 1,9584 & 1,43 & 0,38 & 0,08 & 3,43\\ \hline \end{array}$
a) Représenter, dans le plan reporté à un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$, le nuage de points associé à cette série statistique (on prendra en abscisse $1$ cm, et en ordonnées $4$ cm, pour un millions d’habitants). 1,5 pt
b) Déterminer les coordonnées du point moyen $G$ de cette série statistique. 1 pt
c) Déterminer en utilisant la méthode de Mayer une équation cartésienne de la droite d’ajustement affine de ce nuage de points. 1,5 pt
d) Donner une estimation du nombre d’analphabètes qu’aura le Tchad lorsque la population de ce pays atteindra $10,2$ millions d’habitants. 1 pt
PROBLEME :11 points
Le problème comporte trois parties $A$, $B$ et $C$ obligatoires.
Partie A :4 points
On considère la fonction numérique $f$ et sa courbe $(C)$ dans le plan rapporté au repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$, définie par $f(x)=(2x+1)e^{-x}+1$.
1. Calculer $\lim_{x\to +\infty} f(x)$, $\lim_{x\to -\infty} f(x)$, $\lim_{x\to -\infty}\dfrac{f(x)}{x}$. 0,75 pt
2. Etudier le signe de $f'(x)$ et dresser le tableau de variation de $f$. 1,5 pt
3. Montrer que la courbe $(C)$ admet un point d’inflexion $I$ que l’on déterminera. 0,5 pt
4. Tracer $(C)$. 1,25 pt
Partie B :3 points
On considère les équations différentielles $(E)$ et $(E’)$ suivantes :
$(E): 3y »+2y’-y=-8e^{-x}-1$ ; $(E’): 3y »+2y’-y=0$.
1. Vérifier que $f$ est solution de $(E)$ ( $f$ est la fonction définie dans la partie A ). 0,75 pt
2. Montrer qu’une fonction est solution de $(E)$ si et seulement si $g-f$ est solution de $(E’)$. 1 pt
3. Résoudre alors l’équation $(E’)$ et en déduire les solutions de $(E)$. 1,25 pt
Partie C :4 points
$F$ est une fonction numérique définie par $F(x)=(ax+b)e^{-x}+x$.
1. Déterminer $a$ et $b$ pour que $F$ soit une primitive de $f$, où $f$ est la fonction définie dans la partie A. 1 pt
2. On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ supérieur à $1$ par $u_n=\int_{2}^{n}(f(x)-1)\,dx$.
(a) Calculer $u_2$ et $u_4$. 1 pt
(b) Donner une interprétation géométrique de $u_n$ et donner son expression en fonction de $n$. 1,5 pt
(c) Calculer $\lim_{n\to -\infty} u_n$. 0,5 pt
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Conclusion du BACCALAURÉAT D 2009
D’abord, le BACCALAURÉAT D 2009 demande une lecture attentive et des calculs bien posés. Ensuite, gardez une rédaction propre pour ne pas perdre de points. Puis, avancez question par question, même si une partie bloque au début. Enfin, avec Ndolomath, le BACCALAURÉAT D 2009 se prépare plus sereinement.
