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L’épreuve de mathématiques du BACCALAUREAT D 2008
EXERCICE 104 points
1. Dans un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$ tracer la courbe représentative de la fonction $u$ définie sur $\mathbb{R}\setminus\{-2\}$ par : $u(x)=\dfrac{2x+1}{x+2}$. 0,5 pt
2. Soit $(u_n)$ la suite définie par : $\left\{\begin{array}{l} u_0=0\\ u_{n+1}=\dfrac{2u_n+1}{u_n+2} \end{array}\right.$
a. Représenter sur l’axe des abscisses du repère précèdent les termes : $u_1$, $u_2$, $u_3$. 0,75 pt
b. Montrer que la suite $(u_n)$ est croissante. 0,5 pt
c. Montrer que pour tout entier naturel $n$, $0\le u_n<2$. 0,25 pt
d. En déduire que la suite $(u_n)$ est convergente. 0,25 pt
3. Soit la suite $(v_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par : $v_n=\dfrac{1+u_n}{2-2u_n}$.
a. Montrer que $(v_n)$ est une suite géométrique dont on déterminera la raison. 0,5 pt
b. Exprimer $v_n$, puis $u_n$ en fonction de $n$. 0,5 pt
c. En déduire la limite de $(u_n)$ quand $n$ tend vers $+\infty$. 0,25 pt
4. On pose $S_n=v_0+v_1+v_2+v_3+\cdots+v_n$. Exprimer $S_n$ en fonction de $n$ et déterminer sa limite quand $n$ tend vers $+\infty$. 0,5 pt
EXERCICE 205 points
1. Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes $\mathbb{C}$ les équations : $(E_1):\, Z^2+2Z\sqrt{3}+4=0$ et $(E_2):\, Z^2-2Z\sqrt{3}+4=0$. 1 pt
2. Pour tout nombre complexe $Z$, on pose $P(Z)=Z^4-4Z^2+16$ et on considère dans $\mathbb{C}$ l’équation $(E):\, P(Z)=0$.
a. Montrer qu’il existe deux valeurs du réel $a$ tel que : $P(Z)=(Z^2+aZ+4)(Z^2-aZ+4)$. 1 pt
b. En déduire les solutions de l’équation $(E)$. 0,5 pt
3. Soient $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ et $F$ les points d’affixes respectives : $\sqrt{3}+i$; $2i$; $-\sqrt{3}+i$; $-\sqrt{3}-i$; $-2i$; et $\sqrt{3}-i$ dans le plan muni du repère orthonormé direct $(O,\vec{i},\vec{j})$.
a. Montrer que ces points appartiennent au cercle de centre $O$ et de rayon $2$. 0,75 pt
b. Placer ces points dans le plan. 1 pt
c. Montrer que $ABCDEF$ est un hexagone régulier. 0,75 pt
PROBLÈME11 points
Le problème comporte deux parties indépendantes. Le candidat devra traiter les deux parties.
Partie A4 points
Soit la fonction $v$ définie sur $]0;+\infty[$ par : $v(x)=\dfrac{2\ln x}{x^2+x}$.
1. Montrer que, pour tout réel $x$ supérieur ou égal à $1$, $\dfrac{\ln x}{x^2}\le v(x)\le \dfrac{\ln x}{x}$. 1 pt
2. Calculer $I=\displaystyle\int_{1}^{\frac{3}{2}}\dfrac{\ln x}{x^2}\,dx$ et $J=\displaystyle\int_{1}^{\frac{3}{2}}\dfrac{\ln x}{x}\,dx$. On remarquera que $\dfrac{\ln x}{x^2}=(\ln x)\dfrac{1}{x^2}$. 2 pts
3. En déduire un encadrement de $K=\displaystyle\int_{1}^{\frac{3}{2}} v(x)\,dx$. 1 pt
Partie B7 points
$f$ désigne la fonction numérique de la variable réelle $x$ définie par : $f(x)=x-\dfrac{e^x-1}{e^x+1}$ et $(C_f)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé. Unités sur les axes : $2$ cm.
1. Étudier les variations de $f$ et dresser son tableau de variation. 1,5 pt
2. a. Montrer que pour tout réel $x$ on a : $f(x)-(x-1)=\dfrac{2}{e^x+1}=\dfrac{2e^{-x}}{1+e^{-x}}$. 0,5 pt
b. Montrer que les droites $(D)$ et $(D’)$ d’équations respectives : $y=x-1$ et $y=x+1$ sont asymptotes à la courbe $(C_f)$. 1 pt
c. Tracer les droites $(D)$, $(D’)$ et la courbe $(C_f)$ dans le même repère orthonormé. 1 pt
3. a. Montrer que $f$ admet sur $\mathbb{R}$ une réciproque $f^{-1}$ dont on donnera le tableau de variation. 1 pt
b. Tracer la courbe $(C’)$ de $f^{-1}$ dans le même repère que $(C_f)$. 0,5 pt
4. Soit $a$ un réel supérieur ou égal à $1$. $A(a)$ l’aire en cm$^2$ de la partie du plan limitée par la courbe $(C_f)$, la droite $(D)$ et les droites d’équation $x=1$ et $x=a$.
a. Calculer $A(1)$ et préciser $A(2)$ à $10^{-2}$ près. 1 pt
b. Calculer la limite de $A(a)$ quand $a$ tend vers $+\infty$. 0,5 pt
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Épreuve de mathématiques — BACCALAUREAT D 2008
Conclusion du BACCALAUREAT D 2008
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