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L’épreuve de mathématiques du BACCALAURÉAT D 2021
PARTIE A : EVALUATION DES RESSOURCES :15 points
EXERCICE 1 :3.3 points pour la série $C$ et 4 points pour la série $C$
I- (Série $C$ exclusivement)
On considère la droite $(D)$ d’équation réduite $y=\dfrac{65}{16}x-\dfrac{5}{16}$ dans un repère orthonormé du plan.
1. Démontrer que $(D)$ passe par au moins un point $M$ dont les coordonnées sont des nombres entiers relatifs. 0.25 pt
2. Déterminer l’ensemble $E$ des points de $(D)$ à coordonnées entières. 0.75 pt
3. Déterminer les points de $(D)$ dont les ordonnées sont des entiers compris entre 123 et 134 0.5 pt
II-
Soit un point $A(-2;1;1)$ et un vecteur $\vec{n}(1;-2;3)$ de l’espace $\varepsilon$ muni d’un repère orthonormé $(0;\vec{i},\vec{j},\vec{E})$.
1. Déterminer une équation du plan $(P)$ contenant le point $A$ et de vecteur normal $\vec{n}$. 0.5 pt
2. Donner une expression analytique de la réflexion de plan$(P)$. 1 pt
III-
Le plan complexe est rapporté à un repère $(O;\vec{u},\vec{v})$. On considère la transformation $g$ du plan d’écriture complexe $z’=\dfrac{1+i}{2}z+1$.
$\Omega$ est le point d’affixe $1+i$, les points $A_n$ d’affixes $z_n$.
$(z_n)$ est la suite définie par: $z_0=0$ et $z_{n+1}=1+\dfrac{1+i}{2}z_n$, pour tout entier naturel $n$.
1. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de $g$. 1 pt
2. Montrer que :
a) Pour tout entier naturel $n$, les points $\Omega$, $A_n$ et $A_{n+4}$ sont alignés. 0,5 pt
b) Pour tout entier naturel $n$, le triangle $\Omega A_n A_{n+1}$ est rectangle et isocèle. 1 pt
EXERCICE 2 :4,5 points
I-
Une urne contient 6 boules indiscernables au toucher dont deux boules sont marquées $0$, trois boules sont marquées $\sqrt{3}$ et une boule marquée $-\sqrt{3}$. On tire successivement et sans remise deux boules de cette urne. On note $\lambda$ la variable aléatoire qui à chaque tirage associe la somme des nombres marqués sur les boules tirées.
1. Déterminer la loi de probabilité de $\lambda$. 0,75 pt
2. Calculer l’espérance mathématique et l’écart-type de $\lambda$. 0,75 pt
II-
Le plan est muni d’un repère orthonormé direct $(O;\vec{i},\vec{j})$.
$(\Sigma)$ est l’ensemble des points $M(X;Y)$ tels que $4X^2-Y^2=-4$.
1. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de $(\Sigma)$. 1 pt
$r$ est la rotation de centre $O$ et d’angle $-\dfrac{\pi}{6}$.
2. a) Donner l’expression analytique de $r$.
b) Déterminer une équation de l’ensemble $(\Sigma’)$, image de $(\Sigma)$ par $r$. 0,75 pt
b) Déterminer la nature et les éléments caractéristique de $(\Sigma’)$. 0,5 pt
c) Construire dans le repère $(O;\vec{i},\vec{j})$ $(\Sigma)$ et $(\Sigma’)$. 0,5 pt
EXERCICE 3 :3.25 points
On considère une fonction numérique $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\dfrac{x+2}{e^x}$ et $(C)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé : unité sur les axes: 2 cm .
1. a) Etudier les variations de $f$.
b) Déterminer une équation cartésienne de la tangente $(T)$ en $(C)$ au point d’abscisse $-1$.
c) Construire la courbe $(C)$ de $f$ et $(T)$ dans le même repère. 0,25 pt
2. a) Déterminer les constantes réelles $a$, $b$ et $c$ telles que la fonction $F$ définie sur $\mathbb{R}$ par $F(x)=\dfrac{ax+b}{e^x}+cx$ soit une primitive de $f$. 1 pt
b) Calculer $\int_{-1}^{0} f(x)\,dx$. 0,75 pt
0,5 pt
3. ( $E$ exclusivement)
On considère la fonction numérique $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $h(x)=f(-x)$ et $(C’)$ sa courbe et $(E)$ l’équation différentielle définie par: $y »-2y’+y=0$.
a) Résoudre $(E)$. 0,75 pt
b) Déterminer la solution de $(E)$ dont la courbé passe par le point $A(0;-1)$ et admet en ce point une tangente de coefficient directeur 1. 0,75 pt
PARTIE B : EVALUATION DES COMPETENCES :5 points
Situation
La figure ci-après représente le domaine d’un villageois nommé ABBA.
Il a cultivé cette année des carottes et des pastèques dans des portions comme l’indique la figure ci-contre.
Il a récolté le même jour et a tout déversé dans un. Camion. Son fils KAM met en sac afin de vendre à raison de 6800 F le sac de pastèques et à 3000 F le sac de carottes, pour un total de’ 47 sacs
A la fin de la vente, ABBA appelle KAM au téléphone pour savoir la recette obtenue. Avec des problèmes de réseau il le suit à peine et ne retient que: «la différence entre le prix de vente total des carottes et des pastèques n’est que de 4000 F%. un sac de chaque type n’est pas vendu.
ABBA envisage vendre une partie ou tout son vaste terrain à l’avenir. Dans cette zone, le m$^2$ coute 2000F. Il confie ce projet à M KONG pour l’estimation de la valeur de ce terrain. Celui-ci crée un repère indiqué sur la figure ci-dessus ou l’unité sur l’axe des ordonnées est 10 m et 100m sur l’axe des abscisses. Les contours du terrain sont constitués de la droite $(AB)$, la droite $(DB)$ et la ligne $(C)$. La droite $(L)$ représente la séparation de la portion exploitée pour cultiver les pastèques de celle exploitée pour cultiver les carottes. KONG a réussi à trouver les équations de $(C)$ et de $(L)$ qui sont respectivement $y=\dfrac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}$ et $y=\dfrac{1}{4}x$.
Tâches:
1. Combien coûtera ce terrain entier qu’ABBA souhaite vendre? 1,5 pt
2. Combien aura ABBA s’il ne souhaite vendre que la portion réservée aux pastèques? 1,5 pt
3. Aider ABBA à retrouver le nombre de sacs de chaque type des deux produits cultivés. 1,5 pt
Présentation : 0,5 pt
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Épreuve de mathématiques — BACCALAURÉAT D 2021
Conclusion du BACCALAURÉAT D 2021
D’abord, BACCALAURÉAT D 2021 rappelle l’importance de lire chaque consigne avant de calculer. Ensuite, sur Ndolomath, vous pouvez reprendre chaque exercice et consolider vos méthodes. Puis, BACCALAURÉAT D 2021 montre comment relier géométrie, analyse, et probabilités dans une même épreuve. Enfin, entraînez-vous régulièrement, et vérifiez vos résultats calmement avant de rendre la copie.
