D’abord, le BACCALAUREAT C 2010 t’aide à revoir l’épreuve complète sur Ndolomath calmement. Ensuite, le BACCALAUREAT C 2010 te permet d’identifier les questions clés et les méthodes attendues. Puis, le BACCALAUREAT C 2010 te fait travailler le raisonnement comme le jour de l’examen. Enfin, le BACCALAUREAT C 2010 s’appuie aussi sur la définition de l’examen pour situer le cadre.
L’épreuve de mathématiques du BACCALAUREAT C 2010
Exercice 13.5 points
1. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé directe $(O,\vec{i},\vec{j})$. (Unité d’axe : $1,5$ cm). On considère l’équation d’inconnue $z$ :
$(E):\; z^3-7iz^2-15z+25i=0$ définie dans $\mathbb{C}$.
1.a) Montrer que l’équation $(E)$ admet le nombre complexe $z_0=5i$ comme solution.
(b) Résoudre l’équation $(E)$.
2. On considère les points $A$, $B$ et $C$ d’affixes respectives $2+i;\; 5i;\; -2+i$.
La droite $(D)$ d’équation $y=2$ rencontre la droite $(AB)$ en $K$ et la droite $(OA)$ en $L$.
$\Gamma$ et $\Gamma’$ sont les cercles circonscrits aux triangles $OAB$ et $ALK$ respectivement.
Soit $S$ la similitude plane directe qui transforme $B$ en $O$ et $K$ en $L$; soit $\Omega$ le centre de $S$.
(a) Montrer que $\Omega$ appartient à $\Gamma$ et $\Gamma’$ et qu’il est distinct de $A$.
(b) Donner l’écriture complexe de $S$ et en déduire l’affixe de $\Omega$. 1,25 pt
Exercice 23 points
$(O,\vec{i};\vec{j})$ est un repère du plan. On appelle $(E)$ la conique de foyer $O$ de directrice $(\Delta)$, $(\Delta): y=2$ et d’excentricité $1/2$.
1. Montrer que $(E)$ a pour équation $12X^2+9Y^2=16$ par rapport à un repère que l’on précisera. Quelle est la nature de $(E)$ ?
2. Soit $\varphi$ l’application qui à tout point $M$ de coordonnées $x$ et $y$ associe le point $M’$ de coordonnées $x’$ et $y’$ tels que :
$\left\{\begin{array}{l} x’=x \\ y’=\dfrac{\sqrt{3}}{2}y-\dfrac{2-\sqrt{3}}{3} \end{array}\right.$
(a) Donner une équation cartésienne de l’image $(E’)$ de $(E)$ par $\varphi$. [1pt]
(b) Construire $(E)$ et $(E’)$.
Exercice 33.5 points
Sur la figure ci-dessous, $CABD$ est un tétraèdre régulier (toutes les faces sont des triangles équilatéraux); $G$ et $H$ sont des points tels que :
$\overrightarrow{CG}=\dfrac14\overrightarrow{CA};\; \overrightarrow{CH}=\dfrac34\overrightarrow{CB}$ et $L$ le milieu du segment $[CD]$.
1. Montrer que les droites $(GH)$ et $(AB)$ sont sécantes en un point qu’on appellera $I$.
$\vec{i}$, $\vec{j}$ et $\vec{k}$ sont des vecteurs unitaires, respectivement colinéaires et de même sens que les vecteurs $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AD}$ et $\overrightarrow{AC}$.
On suppose que l’espace est rapporté au repère $(A,\vec{i};\vec{j};\vec{k})$ et que $AC=4$.
2. Déterminer les coordonnées des points $G$, $H$ et $I$, dans le repère $(A,\vec{i};\vec{j};\vec{k})$.
3. Soit $E$ l’espace vectoriel associé à l’espace affine ci-dessus; $(\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ est une base de $E$.
$f$ est l’endomorphisme de $E$ tel que $f(\vec{i})=\vec{j}$, $f(\vec{j})=-2\vec{j}$ et $f(\vec{k})=\vec{k}$.
(a) Justifier que $f$ n’est pas un isomorphis de $E$.
(b) Déterminer le noyau et l’image de $f$; on donnera une base pour chacun d’eux.
PROBLEME10 points
Le problème comporte deux parties $A$ et $B$.
Partie A7 points
I.
Soient les équations différentielles $(E): y’+y=0$ et $(E’):\; y’+y=-\dfrac12 e^{-x/2}-2$.
1. Montrer qu’il existe une fonction $h$ définie par $h(x)=pe^{-x/2}+q$ solution de $(E’)$, $p$ et $q$ étant des nombres réels que l’on déterminera.
2. Montrer qu’une fonction $f=g+h$ est solution de $(E’)$ si et seulement si $g$ est solution de $(E)$. [0,5pt]
3. Résoudre $(E)$, puis en déduire les solutions de $(E’)$.
II.
Soit la fonction numérique d’une variable réelle définie par : $f(x)=e^{-x}-e^{-x/2}-2$.
$(C_f)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O,\vec{i};\vec{j})$ (unité sur les axes : $1$ cm).
1. Montrer que la fonction $f$ vérifie l’équation $(E’)$ ci-dessus.
2. Etudier les variations de $f$, puis dresser son tableau de variation.
3. (a) Etudier les branches infinies de la courbe $(C_f)$.
(b) Tracer la courbe $(C_f)$.
4. (a) Calculer le réel $A(\alpha)=\int_{\alpha}^{\ln 4}[-2-f(x)]\,dx$ où $\alpha$ est un réel supérieur à $\ln 4$.
(b) Calculer $\lim\limits_{\alpha\to+\infty}A(\alpha)$. Interpréter géométriquement le résultat obtenu.
Partie B3 points
Soit $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ la suite numérique définie par : $u_0=1$ et $\forall n\in\mathbb{N}$,
$u_{n+1}+u_n=-\dfrac12 e^{-n/2}-2$ (1)
1. Déterminer une suite $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ définie pour tout entier $n$ par : $a_n=be^{-n/2}+c$ telle que $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ vérifie la propriété (1). ($b$ et $c$ étant des nombres réels).
2. On pose $\forall n\in\mathbb{N}$, $v_n=u_n-a_n$. Montrer que la suite est géométrique dont on déterminera le premier terme et raison.
3. Exprimer $v_n$, puis $u_n$ en fonction de $n$.
4. On pose $S_n=u_0+u_1+\cdots+u_n$. Calculer $S_n$ en fonction de $n$; la suite $(S_n)$ est-elle convergente ?
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Épreuve de mathématiques — BACCALAUREAT C 2010
Conclusion du BACCALAUREAT C 2010
D’abord, avance question par question, comme au BACCALAUREAT C 2010, sans te précipiter. Ensuite, vérifie les calculs et les signes avant de conclure. Puis, si un bloc bloque, reviens plus tard avec une idée plus claire. Enfin, Ndolomath t’accompagne pour garder confiance et progresser vers le BACCALAUREAT C 2010.
