INTÉRÊT
Les vecteurs, objets généralisant plusieurs notions issues de la géométrie, de l’algèbre et de la physique.
MOTIVATION
Utiliser les propriétés sur les vecteurs pour résoudre des problèmes de la vie courante, tels que la modélisation des grandeurs comme les forces, une vitesse ou encore une quantité de mouvement ; effectuer des opérations d’addition et de multiplication par un nombre.
LEÇON : Multiplication d’un vecteur par un réel
OBJECTIFS PÉDAGOGIQUES
- Construire le vecteur $\overrightarrow{\mu n}$ connaissant $\overrightarrow{n}$ et $\mu$.
- Utiliser une égalité vectorielle pour justifier l’alignement de trois points et le parallélisme de deux droites.
PRÉREQUIS
Vérifier la notion de somme, d’égalité et d’opposition de vecteurs des points vue en 4e.
SITUATION PROBLÈME
Un entraîneur de football voudrait recruter un défenseur central rapide. Tongo et Ekoto sont
candidats à ce poste. Pour les départager, l’entraîneur souhaite qu’ils fassent une course de
vitesse en même temps sur un parcours identique sans être côte à côte.
Ainsi, Tongo partira de façon rectiligne du point de corner A pour l’extrémité C de la ligne
médiane. En utilisant les points de la figure ci-après, quel parcours similaire pourrait être celui
d’Ekoto ? Pourquoi ?
ACTIVITÉ D’APPRENTISSAGE
-
En observant la figure suivante, construis les vecteurs $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{BC}$,
$\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{BD}$.
- Trouver un vecteur égal à $\overrightarrow{AC}$.
- Que peux-tu suggérer à Ekoto ?
Solution
Le vecteur $\overrightarrow{BD}$ est égal au vecteur $\overrightarrow{AC}$.
Je suggérerais à Ekoto de courir de façon rectiligne du point B au point D.
RÉSUMÉ
NOTION DE VECTEUR
Définition
Un vecteur est un segment de droite orienté ayant une origine et une extrémité, et caractérisé
par une direction, un sens et une longueur.
Si A et B sont deux points du plan, les caractéristiques du vecteur $\overrightarrow{AB}$ sont :
- Une direction : c’est la droite (AB).
- Un sens : de A vers B.
- Une longueur : la longueur du segment [AB].
Remarques
-
La translation qui transforme A en B est appelée translation de vecteur
$\overrightarrow{AB}$.
-
Le vecteur $\overrightarrow{BA}$ est l’opposé du vecteur $\overrightarrow{AB}$.
OPÉRATION SUR LES VECTEURS
Somme de deux vecteurs
Le composé de deux translations de vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ est une translation de
vecteur $\vec{u} + \vec{v}$.
Dans une situation donnée, on transforme le point A en un point B par la translation de
vecteur $\vec{u}$. Puis, le point B en un point C par la translation de vecteur $\vec{v}$.
Le point C est alors l’image du point A par la translation de vecteur $\vec{u} + \vec{v}$.
Le point A est transformé en le point C par la translation de vecteur $\vec{u} + \vec{v}$.
Une relation de Chasles est :
$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$.
PRODUIT D’UN VECTEUR PAR UN RÉEL
$\vec{u}$ est un vecteur et $k$ un réel quelconque.
Le produit du vecteur $\vec{u}$ par le réel $k$ est le vecteur noté $k\vec{u}$ et défini par :
- Si $k = 0$ alors $k\vec{u} = \vec{0}$.
- Si $k \ne 0$ alors le vecteur $k\vec{u}$ a la même direction que le vecteur $\vec{u}$.
- Si $k\vec{u} = \vec{0}$ alors $\vec{u} = \vec{0}$ ou $k = 0$.
-
Si $\vec{u} \ne \vec{0}$ et $k > 0$, alors les vecteurs $\vec{u}$ et $k\vec{u}$ ont :
même direction, même sens et $\|k\vec{u}\| = k \times \|\vec{u}\|$.
-
Si $\vec{u} \ne \vec{0}$ et $k < 0$, alors les vecteurs $\vec{u}$ et $k\vec{u}$ ont :
même direction, sens contraires et $\|k\vec{u}\| = -k \times \|\vec{u}\|$.
Exemple
$\vec{u}$ est un vecteur donné.
Les points A, B, C, D, E et F sont tels que :
$\overrightarrow{AB} = \vec{u}$ ; $\overrightarrow{CD} = 3\vec{u}$ ;
$\overrightarrow{EF} = -2\vec{u}$.
Les vecteurs $\vec{u}$, $3\vec{u}$ et $-2\vec{u}$ ont la même direction (celle de $\vec{u}$).
Les vecteurs $\vec{u}$ et $-2\vec{u}$ sont de sens contraires.
$\|3\vec{u}\| = 3\|\vec{u}\|$ donc $CD = 3AB$
et $\|-2\vec{u}\| = 2\|\vec{u}\|$ donc $EF = 2AB$.
PROPRIÉTÉS
Quels que soient les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ et les réels $k$ et $k'$ :
- $\|k\vec{u}\| = 0$ équivaut à $\vec{u} = \vec{0}$ ou $k = 0$.
- $k(\vec{u} + \vec{v}) = k\vec{u} + k\vec{v}$.
- $(k + k')\vec{u} = k\vec{u} + k'\vec{u}$.
- $k(k'\vec{u}) = (k \times k')\vec{u}$.
Exemple
-
$3\overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{AB} = (3 + 2)\overrightarrow{AB}
= 5\overrightarrow{AB}$.
-
$\dfrac{1}{5}\overrightarrow{CM} = \vec{0}$ équivaut à $\overrightarrow{CM} = \vec{0}$
équivaut à $C = M$.
VECTEURS COLINÉAIRES
On considère quatre points non alignés $A$, $B$, $C$ et $D$.
Deux vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont colinéaires s’il existe
un réel $k$ tel que :
$\overrightarrow{AB} = k\overrightarrow{CD}$.
Dans ce cas, on a :
$(AB) // (CD)$.
Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires
si et seulement si les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés.
Exemple
$ABC$ est un triangle.
Les points $M$ et $N$ sont tels que :
$\overrightarrow{AM} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}$ et
$\overrightarrow{AN} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}$.
Montrons que les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles.
$\overrightarrow{MN}
= \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AN}
= \overrightarrow{AN} - \overrightarrow{AM}
= \dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB} - \dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}
= \dfrac{1}{3}(\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC})$
$= \dfrac{1}{3}(\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AB})
= \dfrac{1}{3}\overrightarrow{CB}
= -\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BC}$.
Donc $\overrightarrow{MN}$ est colinéaire à $\overrightarrow{BC}$,
d’où les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles.
EXERCICES D’APPLICATION
Dans la figure ci-contre :
- $ABCD$ est un parallélogramme de centre $I$ ;
- $B$ est le milieu du segment $[AE]$ ;
- $G$ est le centre de gravité du triangle $ACE$ ;
- $\overrightarrow{BF} = 2\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AD}$.
1) Déterminer les relations reliant
$\overrightarrow{AE}$ et $\overrightarrow{CD}$,
$\overrightarrow{CG}$ et $\overrightarrow{CB}$,
puis $\overrightarrow{EI}$ et $\overrightarrow{EG}$.
2) Calculer $\overrightarrow{IE} + \overrightarrow{IF}$,
puis montrer que les points $E$, $G$ et $F$ sont alignés.
