Théorème de Thalès

INTÉRÊT

L’intérêt de ce cours réside dans le fait que nous pouvons être appelés à calculer certaines longueurs ou distances dans un triangle, et à démontrer, à partir de valeurs numériques, le parallélisme de deux droites.

MOTIVATION

Dans notre vie de tous les jours, nous faisons face à des problèmes tels que l’inclinaison du toit de notre future maison, l’instabilité d’une table à repasser ou encore la détermination de certaines longueurs comme la hauteur d’un mur ou la hauteur d’un mât de drapeau. Cette leçon fournit des outils permettant de répondre à ces préoccupations.

LEÇON 1 : Propriété directe de Thalès

OBJECTIFS PÉDAGOGIQUES

Reconnaître une configuration de Thalès et utiliser la propriété directe de Thalès pour calculer des longueurs.

PRÉREQUIS

1) Détermine la longueur du segment sachant que :

• a) $\dfrac{AB}{3} = 7$
• b) $\dfrac{CD}{15} = \dfrac{7}{3}$
• c) $\dfrac{3}{4} = \dfrac{EF}{16}$
• d) $\dfrac{8}{GH} = \dfrac{2}{5}$
• e) $\dfrac{IJ}{4,2} = \dfrac{4,2}{3,6}$
• f) $\dfrac{85}{KL} = \dfrac{17}{3}$
• g) $\dfrac{MN - 5}{3} = 8$
• h) $\dfrac{OP + 2}{28} = \dfrac{3}{12}$

2) Trace une droite $(D')$ parallèle à $(D)$ passant par $A$.

SITUATION PROBLÈME

Les figures ci-contre représentent respectivement la maison de M. Ali et le plan de la charpente de cette maison. Ce dernier veut se rassurer si les techniciens ont respecté le plan de la charpente. Malheureusement pour lui, une des mesures a été effacée par une tache.

Retrouver cette mesure par calcul.

ACTIVITÉ D’APPRENTISSAGE

La figure ci-dessous représente le plan de charpente d’une maison. On donne :

• $AB = 20\,\text{m}$
• $AM = 8\,\text{m}$
• $AC = 15\,\text{m}$

Utilise la propriété directe de Thalès pour déterminer les longueurs demandées.

SOLUTION

1. En considérant que les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles et que l’on a l’égalité :

   $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC}$

   Ce qui entraîne : $AN \times AB = AM \times AC$

   Donc : $AN = \dfrac{AM \times AC}{AB} = \dfrac{8 \times 15}{20} = 6$

   Ainsi, $AN = 6$.

2. La mesure effacée sur la charpente de M. Ali est donc de $6$ cm.

RÉSUMÉ

Propriété directe de Thalès

Soit $ABC$ un triangle. $M$ est un point de la droite $(AB)$ et $N$ un point de la droite $(AC)$, tels que $A$, $M$, $B$ soient alignés dans le même ordre que $A$, $N$, $C$.

Si les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles, alors on a :

$\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC}$

NB :

• Cette propriété permet de calculer des longueurs.
• Les figures associées à cette situation sont appelées configurations de Thalès.

Exemple

On applique la propriété directe de Thalès pour déterminer une longueur inconnue à partir de longueurs connues lorsque deux droites sont parallèles dans un triangle.

EXERCICE D’APPLICATION

On examine les figures telles que $(EF) \parallel (BC)$ et $(MN) \parallel (PQ)$.

Questions

1. On donne $AB = 6$, $AE = 2$, $AC = 9$. Déterminer la longueur $AF$.
2. On donne $OQ = 4$, $ON = 2$, $OM = 3$. Déterminer la longueur $OP$.

Solution

1) Puisque $(EF) \parallel (BC)$, d’après la propriété de Thalès :

$\dfrac{AE}{AB} = \dfrac{AF}{AC}$

Ce qui donne : $AF \times AB = AE \times AC$

Ainsi : $AF = \dfrac{AE \times AC}{AB} = \dfrac{2 \times 9}{6} = 3$

Donc, $\boxed{AF = 3}$.

2) Puisque $(MN) \parallel (PQ)$, d’après la propriété de Thalès :

$\dfrac{OM}{OP} = \dfrac{ON}{OQ}$

Ce qui entraîne : $OP \times ON = OM \times OQ$

Ainsi : $OP = \dfrac{OM \times OQ}{ON} = \dfrac{3 \times 4}{2} = 6$

Donc, $\boxed{OP = 6}$.

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Exercice d’application

Sur la figure ci-contre, $ABCD$ est un rectangle. Les droites $(HF)$ et $(EG)$ sont parallèles. On donne $AG=7$, $DE=3$, $AD=4$ et $AH=2$. On demande de montrer que $AE=5$.

EXERCICE RÉSOLU : Placer un point connaissant un rapport de distances

Tracer un segment $[AE]$ de longueur $13$ cm.

1. Construire le point $F$ de ce segment tel que :

   $\dfrac{AF}{AE} = \dfrac{5}{9}$

2. Expliquer la construction (programme de construction).
3. Justifier la construction à l’aide de la propriété de Thalès. (Pourquoi le point $F$ construit est-il bien celui attendu ?)

Solution

On construit une demi-droite issue de $A$, sur laquelle on reporte $9$ segments égaux. On relie le neuvième point à $E$, puis on trace par le cinquième point une droite parallèle à cette droite. Le point d’intersection avec $[AE]$ est le point $F$ recherché.

Par la propriété de Thalès, les rapports de longueurs sont conservés, donc :

$\dfrac{AF}{AE} = \dfrac{5}{9}$

Ainsi, le point $F$ obtenu est bien celui qui vérifie la condition demandée.

Programme de construction

Étape 1 : On trace un segment $[AE]$ de longueur $13\ \text{cm}$.

Étape 2 : On trace une demi-droite $(Ax)$ distincte de $[AE]$.

Étape 3 : À l’aide d’un compas (ou d’une règle), on marque sur $(Ax)$ les points $I$ et $J$ tels que :
$AI = 5\ \text{cm}$ et $AJ = 9\ \text{cm}$.

Étape 4 : On trace le segment $[JE]$.

Étape 5 : Le point $F$ est le point d’intersection du segment $[AE]$ avec la droite parallèle à $(JE)$ passant par $I$.

Justification

Le programme de construction fait apparaître deux triangles $AIF$ et $AJE$ qui forment une configuration de Thalès.

D’après la propriété directe de Thalès, on a :

$\dfrac{AF}{AE} = \dfrac{AI}{AJ}$

c’est-à-dire :

$\dfrac{AF}{AE} = \dfrac{5}{9}$.

LEÇON 2 : Réciproque de la propriété directe de Thalès

OBJECTIF PÉDAGOGIQUE

Utiliser la propriété réciproque de Thalès pour justifier le parallélisme de deux droites.

PRÉREQUIS

1) Construis un triangle $ABC$. Place les points $M$ et $N$ milieux respectifs des segments $[AB]$ et $[AC]$.

2) Calcule et compare les rapports $\dfrac{AM}{AB}$ et $\dfrac{AN}{AC}$.

SITUATION PROBLÈME

Paul est un bricoleur. Il souhaite se fabriquer une planche à repasser et veut se rassurer que la planche sera bien parallèle au sol. Il monte sa pièce suivant le modèle ci-dessous. Aide Paul à vérifier si la planche est parallèle au sol.

ACTIVITÉ D’APPRENTISSAGE

On considère la figure ci-contre.

1-a) Calcule $\dfrac{AM}{AB}$ et $\dfrac{AN}{AC}$.

1-b) Compare $\dfrac{AM}{AB}$ et $\dfrac{AN}{AC}$.

2) Que peut-on dire des droites $(MN)$ et $(BC)$ ?

3) La planche à repasser de Paul est-elle parallèle au sol ?

SOLUTION

1-a) $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{120}{30} = 4$ et $\dfrac{AN}{AC} = \dfrac{100}{25} = 4$

1-b) $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC}$

2) En vérifiant avec l’équerre, on affirme que les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles car elles admettent une perpendiculaire commune qui est la droite $(NC)$.

3) La planche à repasser de Paul est parallèle au sol.

RÉSUMÉ

Soit $ABC$ un triangle et $M$ et $N$ deux points du plan tels que :

• $M \in$ à la droite $(AB)$ et $N \in$ à la droite $(AC)$
• Les points $A$, $M$ et $B$ sont alignés dans le même ordre que les points $A$, $N$ et $C$

Si $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC}$, alors les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles.

Cette propriété est appelée réciproque de la propriété de Thalès.

Exemple

Examine les figures. On donne $AB = 6$, $AE = 2$, $AC = 9$, $AF = 3$.

$OQ = 4$, $ON = 2$, $OM = 3$ et $OP = 5$.

1) Montrer que $(EF)//(BC)$

2) Peut-on dire que $(MN)//(PQ)$ ?

Solution

1) $\dfrac{AE}{AB} = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$ et $\dfrac{AF}{AC} = \dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{3}$ donc $\dfrac{AE}{AB} = \dfrac{AF}{AC}$. Ainsi, d’après la réciproque de la propriété de Thalès, on a $(EF)//(BC)$.

2) $\dfrac{OM}{OP} = \dfrac{3}{5}$ et $\dfrac{ON}{OQ} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}$ donc $\dfrac{OM}{OP} \neq \dfrac{ON}{OQ}$. Ainsi, d’après la contraposée de la propriété de Thalès, les droites $(MN)$ et $(PQ)$ ne sont pas parallèles.

EXERCICE D’APPLICATION

On considère la figure ci-dessous. $AB = 5\,\text{m}$, $BC = 4\,\text{m}$, $AF = 3{,}5\,\text{m}$, $FE = 2{,}8\,\text{m}$ et $(CD)//(BE)$.

a) Montrer que les droites $(CE)$ et $(BF)$ sont parallèles.

b) Calculer la distance $AD$.

Solution

a) $\dfrac{AF}{AE} = \dfrac{3{,}5}{6{,}3} = 0{,}55$ et $\dfrac{AB}{AC} = \dfrac{5}{9} = 0{,}55$. Ainsi, d’après la réciproque de la propriété de Thalès, on a $(CE)//(BF)$.

b) $(CD)//(BE)$ donc, d’après la propriété de Thalès, $\dfrac{AE}{AD} = \dfrac{AB}{AC}$. On a alors $AD \times AB = AE \times AC$, d’où $AD = \dfrac{AE \times AC}{AB}$.

Application numérique : $AD = \dfrac{6{,}3 \times 9}{5} = 11{,}34$.

DEVOIRS

Exercice 1

Construire un triangle $MNP$ tel que $MN = 8\,\text{cm}$, $MP = 10\,\text{cm}$ et $NP = 7\,\text{cm}$. Placer le point $Q$ du segment $[MN]$ tel que $MQ = 3{,}2\,\text{cm}$. La parallèle à $(NP)$ passant par $Q$ coupe $(MP)$ en $R$.

1) Calculer $MR$. En déduire $PR$.

2) Placer le point $S$ du segment $[NP]$ tel que $PS = 4{,}2\,\text{cm}$.

3) Montrer que les droites $(RS)$ et $(MN)$ sont parallèles.

Exercice 2

Pour consolider un bâtiment, on a construit un contrefort en bois. On donne : $BS = 6\,\text{m}$, $BN = 1{,}8\,\text{m}$, $AM = 1{,}95\,\text{m}$ et $AB = 2{,}5\,\text{m}$.

a) En considérant que le montant $[BS]$ est perpendiculaire au sol, calculer la longueur $AS$.

b) Calculer les longueurs $SM$ et $SN$.

c) Démontrer que la traverse $[MN]$ est bien parallèle au sol.

On considère la figure ci-contre. Les droites $(EF)$ et $(HG)$ sont parallèles. On donne : $AE = 3\,\text{cm}$, $AF = 4\,\text{cm}$, $AH = 7\,\text{cm}$ et $EF = 6\,\text{cm}$.

a) Calculer $AG$ et $HG$.

b) $AI = 6\,\text{cm}$ et $AJ = 4{,}5\,\text{cm}$. Les droites $(IJ)$ et $(EF)$ sont-elles parallèles ? Justifier votre réponse.