Homothétie

INTERET

L’homothétie a pour intérêt de construire une image à partir d’une autre.

MOTIVATION

➤ Agrandir ou réduire l’image d’un objet de décoration, d’ornement…

➤ Déployer un raisonnement mathématique pour résoudre les problèmes relatifs à des situations de vie faisant appel aux homothéties.

LEÇON 1 : Homothéties

OBJECTIFS PÉDAGOGIQUES

➤ Définir et caractériser une homothétie.

➤ Construire l’image d’un point, d’une figure par une homothétie.

➤ Appliquer les propriétés sur les homothéties.

PRÉREQUIS

En rentrant de l’école, deux élèves de troisième s’arrêtent devant un portail par curiosité pour observer un ornement constitué de $2$ triangles semblables comme l’indique la figure ci-dessous. L’un d’eux affirme qu’il existe une relation géométrique entre ces deux triangles. A-t-il raison ?

SITUATION PROBLÈME

Un sondage téléphonique effectué auprès de $56\,800$ personnes a révélé que $\dfrac{2}{5}$ des personnes préféraient le journal La Presse tandis que $44\%$ des personnes préféraient le journal de Montréal et le reste des personnes préfèrent un autre journal Montréal.

Combien de personnes étaient indécises ou ont choisi un autre journal ?

ACTIVITÉ D’APPRENTISSAGE

Sur la figure de la situation problème ci-dessus, on admet que les points $A$, $B$ et $C$ sont respectivement des milieux des segments $[OA']$, $[OB']$ et $[OC']$.

1) Exprimer $\overrightarrow{OA'}$, $\overrightarrow{OB'}$ et $\overrightarrow{OC'}$ respectivement en fonction de $\overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{OB}$ et $\overrightarrow{OC}$.

2) On suppose que $(AC) // (A'C')$ ; $(AB) // (A'B')$ ; $(BC) // (B'C')$ en utilisant la règle graduée calculer les rapports $\dfrac{A'C'}{AC}$ ; $\dfrac{A'B'}{AB}$ ; $\dfrac{B'C'}{BC}$.

3) Donner la solution à la situation problème en précisant la relation géométrique entre les triangles $A'B'C'$ et $ABC$.

Solution

1) Exprimons $\overrightarrow{OA'}$, $\overrightarrow{OB'}$ et $\overrightarrow{OC'}$ respectivement en fonction de $\overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{OB}$ et $\overrightarrow{OC}$ :

$\overrightarrow{OA'} = 2\overrightarrow{OA}$ ; $\overrightarrow{OB'} = 2\overrightarrow{OB}$ ; $\overrightarrow{OC'} = 2\overrightarrow{OC}$.

2) Calculons les rapports $\dfrac{A'C'}{AC}$ ; $\dfrac{A'B'}{AB}$ ; $\dfrac{B'C'}{BC}$ :

$\dfrac{A'C'}{AC} = \dfrac{4}{2} = 2$ ; $\dfrac{A'B'}{AB} = \dfrac{4}{2} = 2$ ; $\dfrac{B'C'}{BC} = \dfrac{4}{2} = 2$.

3) Solution à la situation problème :

Le triangle $A'B'C'$ est l’image de $ABC$ par l’homothétie de centre $O$ et de rapport $2$.

RÉSUMÉ

DEFINITION ET NOTATION

Soit $O$ un point du plan et $k$ un nombre réel non nul positif, on appelle homothétie $h$ de centre $O$ et de rapport $k$ notée $h(O ; k)$ l’application du plan dans le plan qui à chaque point $M$ associe le point $M'$ tel que $\overrightarrow{OM'} = k\overrightarrow{OM}$.

On note $h(O ; k)(M) = M'$ et on lit : « $A'$ est l’image de $A$ par l’homothétie $h$ de centre $O$ et de rapport $k$ ».

Exemple

Si $\overrightarrow{OA'} = 2\overrightarrow{OA}$ alors $A'$ est l’image de $A$ par l’homothétie de centre $O$ et de rapport $2$.

Remarque

➤ Une homothétie est caractérisée par son centre et son rapport $k$.

➤ L’image de $O$ par l’homothétie de centre $O$ est $O$ (lui-même).

IMAGE D’UN POINT PAR UNE HOMOTHETIE

$M$ et $O$ sont deux points et $k$ un nombre réel non nul positif. Pour construire le point $M'$, image de $M$ par l’homothétie de centre $O$ et de rapport $k$, on construit le point $M'$ tel que $\overrightarrow{OM'} = k\overrightarrow{OM}$.

Exemple 1

Soit $O$ et $P$ deux points du plan. Construis le point $P'$ image de $P$ par l’homothétie de centre $O$ et de rapport $\dfrac{1}{3}$.

Exemple 2

Soit $I$ et $F$ deux points du plan tel que $IF = 2\text{cm}$. Construis le point $G$ image de $F$ par l’homothétie de centre $I$ et de rapport $2$.

IMAGE D’UNE FIGURE PAR UNE HOMOTHETIE

Pour construire l’image d’une figure par une homothétie, on construit l’image de ses points caractéristiques.

Exemple

$ABC$ est un triangle équilatéral de côté $4\text{cm}$. Construis le triangle $A'B'C'$ image de $ABC$ par l’homothétie $h$ de centre $A$ et de rapport $\dfrac{1}{2}$.

NB :

Selon la valeur du rapport $k$ (réel positif), l’image d’une figure par une homothétie s’agrandit ou se réduit :

➤ Si $k > 1$, il y a agrandissement.

➤ Si $k < 1$, il y a réduction.

PROPRIETE

Soit $A'B'C'$ l’image d’une figure $ABC$ par l’homothétie de rapport $k$, on a :

➤ $A'B' = k\,AB$

➤ $\text{Aire}_{A'B'C'} = k^2\,\text{Aire}_{ABC}$

EXERCICES D’APPLICATION