Homothétie

LEÇON : Homothétie

OBJECTIFS PÉDAGOGIQUES

• Définir et caractériser une homothétie
• Construire l’image d’un point, d’une figure par une homothétie
• Appliquer les propriétés sur les homothéties

PRÉREQUIS

En rentrant de l’école, deux élèves de troisième s’arrêtent devant un portail par curiosité pour observer un ornement constitué de 2 triangles semblables comme l’indique la figure ci-dessous. L’un d’eux affirme qu’il existe une relation géométrique entre ces deux triangles. A-t-il raison ?

SITUATION PROBLÈME

Un sondage téléphonique effectué auprès de 56 800 personnes a révélé que 2/5 des personnes préfèrent un journal. La Presse tandis que 44% des personnes préféraient le journal de Montréal et le reste de personnes préfèrent un autre journal Montréal. Combien de personnes étaient indécises ou ont choisi un autre journal ?

ACTIVITÉ D’APPRENTISSAGE

Sur la figure de la situation problème ci-dessus, on admet que les points A, B et C sont respectivement des milieux des segments [OA’] ; [OB’] et [OC’].

1) Exprimer OA’, OB’ et OC’ respectivement en fonction de OA, OB et OC

2) On suppose que $(AC)\ //\ (A'C')$ ; $(AB)\ //\ (A'B')$ ; $(BC)\ //\ (B'C')$ en utilisant la règle graduée calculer les rapports $\dfrac{A'C'}{AC}$ ; $\dfrac{A'B'}{AB}$ ; $\dfrac{B'C'}{BC}$

3) Donner la solution à la situation problème en précisant la relation géométrique entre les triangles $A'B'C'$ et $ABC$.

SOLUTION

1) Exprimons $\overrightarrow{OA'}$ ; $\overrightarrow{OB'}$ et $\overrightarrow{OC'}$ respectivement en fonction de $\overrightarrow{OA}$ ; $\overrightarrow{OB}$ et $\overrightarrow{OC}$

$\,\overrightarrow{OA'}=2\,\overrightarrow{OA}\ ;\ \overrightarrow{OB'}=2\,\overrightarrow{OB}\ ;\ \overrightarrow{OC'}=2\,\overrightarrow{OC}\,$

2) Calculons les rapports $\dfrac{A'C'}{AC}$ ; $\dfrac{A'B'}{AB}$ ; $\dfrac{B'C'}{BC}$

$\,\dfrac{A'C'}{AC}=\dfrac{4}{2}=2\ ;\ \dfrac{A'B'}{AB}=\dfrac{4}{2}=2\ ;\ \dfrac{B'C'}{BC}=\dfrac{4}{2}=2\,$

3) Solution à la situation problème :

Le Triangle $A'B'C'$ est l’image de $ABC$ par l’homothétie de centre $O$ et rapport $2$.

RESUME

DÉFINITION ET NOTATION

Soit $O$ un point du plan et $k$ un nombre réel non nul positif, on appelle homothétie $h$ de centre $O$ et de rapport $k$ notée $h(O;k)$ l’application du plan dans le plan qui à chaque point $M$ associe le point $M'$ tel que $\overrightarrow{OM'}=k\,\overrightarrow{OM}$.

On note $h(O;k)(M)=M'$ et on lit « $A'$ est l’image de $A$ par l’homothétie $h$ de centre $O$ et rapport $k$ »

Exemple

si $\overrightarrow{OA'}=2\,\overrightarrow{OA}$ alors $A'$ est l’image de $A$ par l’homothétie de centre $O$ et de rapport $2$.

Remarque :

• Une homothétie est caractérisée par son centre et son rapport $k$
• L’image de $O$ par l’homothétie de centre $O$ est $O$ (lui-même).

IMAGE D’UN POINT PAR UNE HOMOTHÉTIE

M et O sont deux points et k un nombre réel non nul positif. Pour construire le point $M'$, image de $M$ par l’homothétie de centre $O$ et de rapport $k$, on construit le point $M'$ tel que $\overrightarrow{OM'}=k\,\overrightarrow{OM}$.

Exemple 1

Soit $O$ et $P$ deux points du plan. Construis le point $P'$ image de $P$ par l’homothétie de centre $O$ et de rapport $\dfrac{1}{3}$.

Exemple 2

Soit $I$ et $F$ deux points du plan tel que $IF=2\text{ cm}$. Construis le point $G$ image de $F$ par l’homothétie de centre $I$ et de rapport $2$.

IMAGE D’UNE FIGURE PAR UNE HOMOTHÉTIE

Pour construire l’image d’une figure par une homothétie, on construit l’image de ses points caractéristiques.

Exemple

$ABC$ est un triangle équilatéral de côté $4\text{ cm}$. Construis le triangle $A'B'C'$ image de $ABC$ par l’homothétie $h$ de centre $A$ et de rapport $\dfrac{1}{2}$.

NB :

Selon la valeur du rapport $k$ (réel positif), l’image d’une figure par une homothétie s’agrandit ou se réduit :

• Si $k>1$, il y a agrandissement
• Si $k<1$, il y a réduction

PROPRIÉTÉ

Soit $A'B'C'$ l’image d’une figure $ABC$ par l’homothétie de rapport $k$, on a :

• $A'B'=k\,AB$
• $\text{Aire}_{A'B'C'}=k^2\,\text{Aire}_{ABC}$

EXERCICES D’APPLICATION

Exercice 1

1) Traduire par une égalité vectorielle la phrase suivante : « $P$ est l’image du point $Q$ par l’homothétie $h$ de centre $E$ et de rapport $2{,}5$ »

2) Les points $M$, $N$, $P$ sont tels que $\overrightarrow{PN}=2\,\overrightarrow{PM}$. Traduire cette égalité par une phrase en utilisant les mots image et homothétie.

Exercice 2

Le plan est muni d’un repère orthonormé $(O,I,J)$.

$A(-1;-2)$ est l’image de $B(3;2)$ par l’homothétie de centre $C$ et de rapport $2$.

Déterminer les coordonnées de $C$.

Exercice 3

$ABCD$ est un carré de côté $3\text{ cm}$ et $I$ un point extérieur à ce carré.

2) Construire l’image $EFGH$ de $ABCD$ par l’homothétie de centre $I$ et de rapport $2$.

3) Calculer l’aire du carré $ABCD$ puis déduire celle du carré $EFGH$.