Sections de solides

INTERET

Cette notion aidera dans la conception et la réalisation de certaines structures architecturales, et des objets technologiques autour de nous.

MOTIVATION

Dans notre environnement, beaucoup d’objets ont la forme d’une pyramide, d’un cône de révolution, d’un tronc de pyramide ou de cône. On peut citer entre autres les seaux, le cornet de glace. Ce chapitre nous permet de manipuler et de construire ces objets.

LEÇON 1 : Section d’une pyramide, d’un cône

MOTIVATION

Réaliser un objet à partir d’un devis ou d’une maquette.

OBJECTIFS PÉDAGOGIQUES

Ressortir à partir d’une pyramide ou d’un cône, une section par un plan parallèle.

PRÉREQUIS

1) Calculer le volume, en $cm^3$, d’une pyramide à base carrée de côté $5cm$, et de hauteur $18cm$.

$V = 5 \times 5 \times 18 = 450$

2) $RSTU$ est un carré dont le périmètre est donné par : $P = 2X$. Calculer $P$ lorsque $X = \frac{1}{2}$.

$P = 2 \times \frac{1}{2} = 1$

3) Donner la nature exacte des figures suivantes.

SITUATION PROBLÈME

Monsieur ONANA vend des récipients en plastique ayant la forme d’un tronc de cône de révolution dont les rayons sont $10\;cm$ et $28\;cm$, et de hauteur $24\;cm$. Ce tronc de cône est issu d’un cône de hauteur $h = \frac{112}{3}\;cm$.

Madame ADA souhaite acheter un seau d’au moins $80$ litres.

Madame ADA doit-elle acheter un seau chez monsieur ONANA ?

ACTIVITÉ D’APPRENTISSAGE

L’entreprise SEAUCAM fabrique des seaux en plastique ayant la forme d’un tronc de cône. On donne $AD = 30cm$, $IJ = 24cm$ et $AI = 10cm$.

1. Montrer que $DH = 18cm$.
2. Calculer le rayon de la base et la hauteur $h'$ du petit cône.
3. Calculer le volume d’un seau.
4. Madame ADA doit-elle acheter ce seau ?

SOLUTION

RÉSUMÉ

Définition

• La section d’un cône de révolution par un plan parallèle à sa base est un cercle ou un disque dont le centre est situé sur l’axe du cône.

• La section d’une pyramide par un plan parallèle à sa base est un polygone de même nature que celui de la base de la pyramide.

Propriétés de réduction

Rappel

Lorsqu’un plan coupe une pyramide ou un cône suivant une section parallèle à la base, la figure obtenue est une réduction de la base initiale.

Les longueurs correspondantes sont proportionnelles et les rapports des longueurs sont égaux aux rapports des hauteurs.

Lorsqu’on coupe un cône ou une pyramide par un plan parallèle à sa base, on obtient une réduction du cône ou de la pyramide. Ces deux solides ont la même forme, si bien qu’on peut calculer le coefficient $k = \dfrac{\text{longueur finale}}{\text{longueur initiale}}$.

• Si $k > 1$, il s’agit d’un agrandissement.
• Si $k < 1$, il s’agit d’une réduction.

Propriétés

Dans un agrandissement ou une réduction de coefficient $k$ :

• Les longueurs sont multipliées par $k$.
• Les aires sont multipliées par $k^2$.
• Les volumes sont multipliées par $k^3$.

Remarque

On considère une pyramide ou un cône de révolution de volume $V$. Si on coupe ce solide par un plan parallèle à la base, on obtient une pyramide réduite ou un cône réduit de volume $V'$.

Le volume $V_t$ du tronc de cône (ou du tronc de pyramide) est donné par : $V_t = V - V'$.

Exemple

Calculer le volume $V$ d’une pyramide coupée à mi-hauteur par un plan parallèle à sa base, sachant que la pyramide réduite a pour volume $V' = 125\ \text{cm}^3$.

Solution

On sait que : $\dfrac{V'}{V} = \left(\dfrac{1}{2}\right)^3 = \dfrac{1}{8}$.

Donc $V = 8V' = 1000\ \text{cm}^3$.

EXERCICE D’APPLICATION

On considère un cône de révolution de rayon de base $R = 4\ \text{cm}$ et de hauteur $H = 12\ \text{cm}$.

On coupe ce cône par un plan parallèle à la base tel que la hauteur $h$ du cône réduit soit $4\ \text{cm}$.

1. Calculer le volume $V$ de ce cône.
2. Déterminer le coefficient $k$, puis en déduire le volume $V'$ du cône réduit.

LEÇON 2 : Les éléments métriques

MOTIVATION

Réaliser un objet à partir d’un devis ou d’une maquette.

OBJECTIFS PÉDAGOGIQUES

Calculer les aires latérales et totales d’une pyramide ou d’un cône de révolution.

PRÉREQUIS

1. Calculer l’aire d’un disque de rayon $R$ :
   $A = \sqrt{10} \times \sqrt{10} \times 3{,}14 = 31{,}4\ \text{cm}^2$
2. Donner les formules des aires :
   • Carré de côté $x$ : $A_{\text{carré}} = x \times x$
   • Triangle de base $b$ et de hauteur $h$ : $A_{\text{triangle}} = \dfrac{b \times h}{2}$

SITUATION PROBLÈME

Madame ZEBAZE souhaite changer les tôles de la maison de sa grand-mère. Pour cela, elle fait appel à un ingénieur qui lui délivre un plan.

L’ingénieur LATIFA lui demande $10$ tôles de $20\ \text{m}^2$ chacune.

Madame ZEBAZE doit-elle faire confiance à l’ingénieur ?

ACTIVITÉ D’APPRENTISSAGE

$SABCD$ est une pyramide de sommet $S$ et de base un carré de longueur de côté $6\ \text{m}$. Les faces latérales sont des triangles équilatéraux de longueur de côté $6\ \text{m}$.

1. Calculer les aires des faces latérales de cette pyramide.
2. Calculer l’aire de la base $ABCD$, puis déduire l’aire totale de cette pyramide.
3. Combien de tôles de $20\ \text{m}^2$ faut-il pour refaire la toiture de la grand-mère de Madame ZEBAZE ?
4. Madame ZEBAZE doit-elle faire confiance à l’ingénieur ?

Solution

1) Les aires des triangles $SAB$, $SBC$, $SCD$ et $SAD$ sont égales.

$\text{Aire}(SAB) = \dfrac{6 \times 6\sqrt{3}}{2} = 18\sqrt{3}\ \text{cm}^2$.

Ce résultat est valable pour les trois autres triangles.

2) Aire de la base :

$\text{Aire}(ABCD) = 6 \times 6 = 36\ \text{cm}^2$.

Aire totale :

$\text{Aire totale} = \text{Aire}(ABCD) + 4 \times \text{Aire}(SAB) = 36 + 4 \times 18\sqrt{3} = 160{,}70\ \text{cm}^2$.

3) Nombre de tôles nécessaires :

$N = \dfrac{160{,}70}{20} = 8{,}035$.

Donc, il faut $9$ tôles.

4) Le nombre de tôles demandé par l’ingénieur est largement supérieur au nombre de tôles nécessaires.

Donc, Madame ZEBAZE ne doit pas faire confiance à l’ingénieur LATIFA.

RÉSUMÉ

Définitions

• L’aire latérale d’une pyramide est la somme des aires de toutes les faces latérales.
• L’aire latérale d’un cône est donnée par la formule : $A = \pi r a$, où $r$ est le rayon de la base et $a$ la génératrice.
• L’aire totale d’un cône ou d’une pyramide est la somme de l’aire latérale et de l’aire de la base.

Exemple

On considère un cône de révolution de rayon de base $R = 2\ \text{cm}$, de hauteur $SO = 4\ \text{cm}$ et de génératrice $SA = 10\ \text{cm}$. Calculer l’aire totale de ce cône.

Solution

• Aire de la base : $A_{\text{base}} = \pi R^2 = 3{,}14 \times 4 = 12{,}56\ \text{cm}^2$
• Aire latérale : $A_{\text{latérale}} = \pi R a = 3{,}14 \times 2 \times 10 = 62{,}8\ \text{cm}^2$

Aire totale du cône

L’aire totale est donnée par :

$A_{\text{totale}} = \pi R^2 + \pi R a = 12{,}56 + 62{,}8 = 75{,}36\ \text{cm}^2$.

EXERCICE D’APPLICATION

Les faces $CBA$ et $CBD$ de la pyramide sont des triangles rectangles en $B$ et la base $DBA$ est un triangle rectangle et isocèle en $B$. On donne : $CB = 6\ \text{cm}$ et $AB = 4\ \text{cm}$.

1) Calculer :

• L’aire du triangle $DBA$ ;
• Le volume de la pyramide $CDAB$.

2) Section de la pyramide

On coupe la pyramide par un plan parallèle à la base passant par le point $E$ tel que $CE = 3\ \text{cm}$.

La pyramide $CGFE$ est une réduction de la pyramide $CDAB$.

Calculer :

• Le coefficient de réduction ;
• L’aire du triangle $GEF$ ;
• Le volume de la pyramide $CGFE$.