INTERET
Résoudre les problèmes se reportant aux opérations sur les nombres rationnels.
MOTIVATION
Les nombres rationnels constituent un élément essentiel dans la gestion des données tels que :
- Communiquer des informations comportant des nombres,
- L’objet d’ingénieries qui distinguent deux phases : un temps long pour traiter rhétoriquement une classe de problème à des fins de conceptualisation, un temps bref pour assimiler les notations.
LEÇON 1: Nombres rationnels
OBJECTIFS PÉDAGOGIQUES
Représenter, déterminer des quantités et identifier des objets par des nombres.
PRÉREQUIS
-
Citer trois nombres entiers naturels et trois nombres entiers relatifs de ton choix.
Réponse : trois entiers naturel (0 ; 2 ; 7), trois entiers relatifs (-24 ; -1 ; 19)
-
Qu’est-ce qu’un nombre rationnel ? Donne trois exemples.
Réponse : Un nombre rationnel est un nombre qui peut s’écrire sous la forme
$\dfrac{a}{b}$ ou $a$ est un nombre entier relatif et $b$ un entier relatif non nul.
Exemple : $-\dfrac{4}{9}$ ; $\dfrac{7}{11}$ ; 0.
-
Écrire sous forme de fraction les nombres décimaux suivant : 0,054 ; 12,76.
Réponse : 0,054 = $\dfrac{54}{1000}$ ; 12,76 = $\dfrac{1276}{100}$
SITUATION PROBLÈME
Un sondage téléphonique effectué auprès de 56 800 personnes a révélé que
$\dfrac{2}{5}$ des personnes préféraient le journal La Presse tandis que
44% préféraient le journal de Montréal.
Combien de personnes étaient indécises ou ont choisi un autre journal ?
ACTIVITÉ D’APPRENTISSAGE
-
Compléter par le nombre rationnel qui convient :
- 44% = $\dfrac{44}{100} = \dfrac{11}{25}$
- $1 - \dfrac{2}{5} = \dfrac{3}{5}$
- $\dfrac{4}{25} \times 56\,800 = \ldots$
- Tito a donné les $\dfrac{4}{11}$ de son jus. Quelle fraction lui reste-t-il ?
- Donner le quart du nombre $\dfrac{3}{11}$.
-
Effectuer les opérations suivantes et donner les résultats sous forme de fracctions irréductibles :
A = $\dfrac{1}{3} + \dfrac{4}{3}$ ;
B = $\dfrac{1}{5} - \dfrac{5}{3} \times \dfrac{7}{2}$ ;
C = $\dfrac{7}{10} - 5 \div \dfrac{4}{9}$.
Solution de l’activité d’apprentissage :
1) Complétons
➤ $\dfrac{44}{100}=\dfrac{11}{25}$
➤
$1-\dfrac{2}{5}-\dfrac{11}{25}
=\dfrac{1\times5-1\times2}{5}-\dfrac{11}{25}
=\dfrac{5-2}{5}-\dfrac{11}{25}
=\dfrac{3}{5}-\dfrac{11}{25}
=\dfrac{3\times25-5\times11}{5\times25}
=\dfrac{20}{125}
=\dfrac{4}{25}$
➤ $\dfrac{4}{25}\times 56800=\dfrac{4\times56800}{25}=9088$
2) La fraction de jus qui lui reste est :
$1-\dfrac{4}{11}=\dfrac{1\times11-1\times4}{11}=\dfrac{7}{11}$
3) Le quart du nombre $\dfrac{3}{11}$ est
$\dfrac{3}{11}\times\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{44}$
4) Effectuons les opérations suivantes :
$A=\dfrac{1}{3}+\dfrac{4}{3}=\dfrac{1+4}{3}=\dfrac{5}{4}\ ;\
B=\dfrac{1}{5}-\dfrac{5}{3}\times\dfrac{7}{2}
=\dfrac{1}{5}-\dfrac{5\times7}{3\times2}
=\dfrac{1}{5}-\dfrac{35}{6}
=\dfrac{1\times6-5\times35}{5\times6}
=\dfrac{6-175}{30}
=-\dfrac{169}{30}$
$C=\dfrac{7}{10}-5\div\dfrac{4}{9}
=\dfrac{7}{10}-\dfrac{5}{1}\times\dfrac{9}{4}
=\dfrac{7}{10}-\dfrac{5\times9}{4}
=\dfrac{7}{10}-\dfrac{45}{4}
=\dfrac{7\times4-10\times45}{10\times4}
=\dfrac{28-450}{40}
=-\dfrac{422}{40}
=-\dfrac{211}{20}$
Solution de la situation problème :
Nombre de personnes indécises :
$[1-(\dfrac{2}{5}+44\%)]\times 56\ 800=\dfrac{4}{25}\times 56\ 800=9\ 088\ \text{pers}$
Réponse : 9 088 personnes étaient indécises.
RESUME
Définitions
➤ Un nombre décimal est un nombre qui peut s’écrire avec une virgule ou non et avec un nombre limité de chiffres après la virgule.
Exemple
$1 \ ;\ 0{,}75 \ ;\ \dfrac{4}{100} \ ;\ 22{,}3657$
➤ Lorsque le numérateur et le dénominateur sont des entiers, on parle de fraction.
➤ L’ensemble des nombres qui peuvent s’écrire sous la forme $\dfrac{a}{b}$,
où $a$ est un nombre entier relatif et $b$ un nombre entier relatif non nul,
est appelé ensemble des nombres rationnels. Cet ensemble se note $\mathbb{B}$.
Exemple
$\dfrac{22}{7} \ ;\ \dfrac{33}{24} \ ;\ -\dfrac{2}{15} \ ;\ -0{,}23$
Opérations sur les nombres rationnels
Les opérations sur les nombres rationnels se font comme dans le cas des fractions.
Soient $a, b, c$ et $d$ quatre nombres entiers relatifs tels que $b \neq 0$ et $d \neq 0$.
Alors on a :
➤ $\dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{b} = \dfrac{a+c}{b}$ et
$\dfrac{a}{b} - \dfrac{c}{b} = \dfrac{a-c}{b}$
Exemple
$\dfrac{2}{5} + \dfrac{7}{5} = \dfrac{2+7}{5} = \dfrac{9}{5}$
et
$\dfrac{7}{11} - \dfrac{13}{11} = \dfrac{7-13}{11} = -\dfrac{6}{11}$
➤ $\dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{d} = \dfrac{a\times d + c\times b}{b\times d}$
et
$\dfrac{a}{b} - \dfrac{c}{d} = \dfrac{a\times d - c\times b}{b\times d}$
Exemple
$\dfrac{3}{10} + \dfrac{7}{9}
= \dfrac{3\times9 + 10\times7}{10\times9}
= \dfrac{27+70}{90}
= \dfrac{97}{90}$
$\dfrac{3}{7} - \dfrac{13}{11}
= \dfrac{3\times11 - 7\times13}{7\times11}
= \dfrac{33-91}{77}
= -\dfrac{58}{77}$
➤ $\dfrac{a}{b} \times \dfrac{c}{d} = \dfrac{a\times c}{b\times d}$
et
$\dfrac{a}{b} \div \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} \times \dfrac{d}{c}
= \dfrac{a\times d}{b\times c}$ ; avec $c \neq 0$
Exemple
$\dfrac{11}{10} \times \left(-\dfrac{7}{9}\right)
= \dfrac{11\times(-7)}{10\times9}
= -\dfrac{77}{90}$
$\dfrac{3}{8} \div \dfrac{13}{12}
= \dfrac{3}{8} \times \dfrac{12}{13}
= \dfrac{3\times12}{8\times13}
= \dfrac{-36}{104}
= -\dfrac{9}{26}$
RÈGLES DE PRIORITÉS
Dans une suite d'opération, l'ordre de priorité est le suivant
- Parenthèses: elles indiquent les calculs à effectuer en premier. On commence les calculs par ceux qui sont dans les parenthèses les plus inférieures
- Puissances
- Multiplication et division
- Addition et soustraction
EXERCICES D’APPLICATION
Effectuer les opérations suivantes et donner les résultats sous forme de fractions irréductibles.
A = $\dfrac{12}{7} + \dfrac{13}{7}$ ;
B = $\dfrac{53}{78} - \dfrac{97}{78}$ ;
C = $\dfrac{32}{5} + \dfrac{1}{3}$ ;
D = $\dfrac{6}{8} - \dfrac{22}{7}$ ;
E = $\dfrac{6}{7} \times \dfrac{5}{2}$ ;
F = $\dfrac{18}{11} \div \dfrac{12}{7}$ ;
G = $\left(3 - \dfrac{5}{13} \times \dfrac{2}{5}\right)
+ \dfrac{7}{15} \div \dfrac{13}{9}$
Solution de l’exercice d’application
Calculons les nombres suivants.
|
A
$=\dfrac{12}{7}+\dfrac{13}{7}$
$=\dfrac{12+13}{7}$
$A=\dfrac{25}{7}$
|
B
$=\dfrac{53}{78}-\dfrac{97}{78}$
$=\dfrac{53-97}{78}$
$=-\dfrac{44}{78}$
$B=-\dfrac{22}{39}$
|
C $=\dfrac{32}{5}+\dfrac{1}{3}$
$=\dfrac{32\times3+1\times5}{5\times3}$
$=\dfrac{96+5}{15}$
$C=\dfrac{101}{15}$
|
D $=\dfrac{6}{8}-\dfrac{22}{7}$
$=\dfrac{6\times7-22\times8}{8\times7}$
$=\dfrac{42-176}{56}$
$=-\dfrac{134}{56}$
$D=-\dfrac{67}{28}$
|
E $=\dfrac{6}{7}\times\dfrac{5}{2}$
$=\dfrac{18}{7}\times\dfrac{5}{1}$
$E=\dfrac{15}{7}$
|
F $=\dfrac{18}{11}\div\dfrac{12}{7}$
$=\dfrac{18}{11}\times\dfrac{7}{12}$
$=\dfrac{18}{11}\times\dfrac{7}{3}\times\dfrac{1}{4}$
$=\dfrac{21}{22}$
$F=\dfrac{21}{22}$
|
$G=\left(3-\dfrac{5}{13}\times\left(\dfrac{2}{5}\right)^{2}\right)+\dfrac{7}{15}\div\dfrac{13}{9}$
$=\left(3-\dfrac{5}{13}\times\dfrac{4}{25}\right)+\dfrac{7}{15}\div\dfrac{13}{9}$
$=\left(3-\dfrac{1}{13}\times\dfrac{4}{5}\right)+\dfrac{7}{15}\div\dfrac{13}{9}$
$=\left(3-\dfrac{1\times4}{13\times5}\right)+\dfrac{7}{15}\div\dfrac{13}{9}$
$=\left(3-\dfrac{4}{65}\right)+\dfrac{7}{15}\div\dfrac{13}{9}$
$=\left(\dfrac{3\times65-4\times1}{65}\right)+\dfrac{7}{15}\div\dfrac{13}{9}$
$=\left(\dfrac{195-4}{65}\right)+\dfrac{7}{15}\div\dfrac{13}{9}$
$=\dfrac{191}{65}+\dfrac{7}{15}\div\dfrac{13}{9}$
$=\dfrac{191}{65}+\dfrac{7}{15}\times\dfrac{9}{13}$
$=\dfrac{191}{65}+\dfrac{7\times3}{5\times13}$
$=\dfrac{191}{65}+\dfrac{21}{65}$
$=\dfrac{191+21}{65}$
$G=\dfrac{212}{65}$
ACTIVITÉ D’INTÉGRATION
- Un marchand a vendu 45% puis les $\dfrac{2}{3}$ du reste.
- Un satellite fait 1,5 tour par heure. Quelle fraction en 15 minutes ?
