Calcul littéral

LEÇON 1 : Expression Littérale

MOTIVATION

Dans la vie courante, nous sommes souvent confrontés aux problèmes de donner :

• Le code secret de notre boîte email, de la carte bancaire…
• Le matricule d’un élève, d’un fonctionnaire…
• Déverrouiller un téléphone, un ordinateur. Pour cela, nous sommes appelés à utiliser les chiffres et les nombres.

OBJECTIFS PÉDAGOGIQUES

• Définir une expression littérale.
• Savoir calculer la valeur numérique d’une expression littérale.

PRÉREQUIS

• Donner les formules géométriques de quelques figures de base (carré, rectangle, triangle, trapèze, cercle…)
• Calculer le périmètre, la surface et le volume de ces figures géométriques de base connaissant leurs dimensions

SITUATION PROBLÈME

Monsieur Noah veut carreler sa maison, mais il trouve des difficultés à donner la valeur exacte de la surface de sa douche trapézoïdale ayant des dimensions suivantes : petite base $x$, grande base dépassant la petite base de $4$ et d’une hauteur $x$. Aide Monsieur Noah à déterminer la superficie de la douche à carreler si $x = 3$.

ACTIVITÉ D’APPRENTISSAGE

La figure ci-contre est formée d’un carré $ABCD$ et d’un triangle $BCF$.

On pose $AB = AD = x$ et $CF = 4$.

1. Exprime en fonction de $x$ l’aire $A_1$ du carré $ABCD$ et l’aire $A_2$ du triangle $BCF$, sachant que $A_1 = AB \times AD$ et $A_2 = \dfrac{BC \times CF}{2}$.
2. a) Déterminer l’aire totale $A_T$ de la figure en fonction de $x$ sachant que $A_T = A_1 + A_2$.
   b) Comment appelle-t-on les expressions $A_1$, $A_2$ et $A_T$ ?
3. Calculer la valeur numérique de l’aire totale $A_T$ pour $x = 3$.

Résolution de l’activité d’apprentissage

1. Exprimons en fonction de $x$ l’aire $A_1$ du carré $ABCD$. On sait que $A_1 = AB \times AD$.
   AN : $A_1 = x \times x = x^2$ donc $A_1 = x^2$.

Et que $A_2 = \dfrac{BC \times CF}{2}$.
AN : $A_2 = \dfrac{x \times 4}{2} = 2x$ donc $A_2 = 2x$.

2. a. Déterminons l’aire totale $A_T$. On sait que $A_T = A_1 + A_2$.
   AN : $A_T = x^2 + 2x$ donc $A_T = x^2 + 2x$.

b. On appelle les expressions $A_1$, $A_2$ et $A_T$ des expressions littérales.

3. Calcul de la valeur numérique de l’aire totale $A_T$ pour $x = 3$.
   On sait que $A_T = x^2 + 2x$.
   $A_T = 3^2 + 2(3)$
   $A_T = 15$

Déterminons en fonction de $x$ l’aire de la surface du salon à carreler.

On sait que la surface de la douche est : $S = \dfrac{(GB + PB)\times h}{2}$.

D’où la grande base $GB = x + 4$, la petite base $PB = x$ et la hauteur $h = x$.

D’après la formule, on a : $S = \dfrac{(x+4+x)\times x}{2} = \dfrac{(2x+4)x}{2} = x^2 + 2x$.

Donc $S = x^2 + 2x$.

Calcule la superficie de la douche de Monsieur Noah si $x = 3$.

$S = (3)^2 + 2(3) = 9 + 6 = 15$.

$S = 15m^2$. La superficie de la douche de Monsieur Noah est de $15m^2$.

RESUME

DEFINITION
Une expression littérale est une expression qui contient une ou plusieurs lettres et parfois des nombres. Ces lettres sont appelées variables.

Exemples

• $A = x^2 + 2x$ est une expression littérale de variable $x$.
• $B = 2x + 7y - 5$ est une expression littérale de variables $x$ et $y$.

LA VALEUR NUMERIQUE D’UNE EXPRESSION LITTERALE

C’est la valeur obtenue lorsqu’on remplace toutes ses variables (lettres) par des nombres donnés.

Exemple
Calcule la valeur numérique des expressions suivantes.

$A = x^2 + 2x$      $B = 2x + 7y - 5$

Solution

• Calcul de la valeur numérique de $A$ pour $x = 3$
  $A = x^2 + 2x$
  $A = (3)^2 + 2(3) = 9 + 6 = 15$
• Calcul de la valeur numérique de $B$ pour $x = 25$ et $y = 9$
  $B = 2x + 7y - 5 = 2(25) + 7(9) - 5$
  $B = 50 + 45 - 5$
  $B = 90$

EXERCICES D’APPLICATION

On considère les expressions littérales suivantes :

$A = 3x^2 - 2x + 3$ ;  $B = 5x^4 + 4x^3 - 7x^2 - 2$ ;  $C = 7y^2 - 3y + 4$

Calcule la valeur numérique de $A$, $B$ et $C$ pour $x = 2$ et $y = -5$.

LEÇON 2 : Opérations sur les expressions littérales

MOTIVATION

• Déployer un raisonnement mathématique pour résoudre des problèmes relatifs à des situations de vie faisant appel à la notion de factorisation
• Communiquer des informations comportant des nombres

OBJECTIFS PÉDAGOGIQUES

• Définir monômes, polynômes ;
• Identifier un monôme dans une expression littérale ;
• Développer, réduire et ordonner une expression littérale ;
• Ranger un polynôme dans un ordre donné.

PRÉREQUIS

1. Soit des expressions littérales suivantes, identifiez chaque élément de ces expressions.
   • $4x^5$ est composé de $4$ un chiffre, $x$ une lettre et $5$ une puissance de $x$
   • $y + 1$ est composé de $y$ une lettre et $1$ un chiffre
   • $8$ est composé de $8$ un chiffre
2. Rappel de la règle de distributivité

   La règle de distributivité

   • $k(a+b) = ka + kb$
   • $k(a-b) = ka - kb$
3. Comment ranger les nombres suivant l’ordre demandé

SITUATION PROBLEME

Alain veut fabriquer une table triangulaire $ABC$ comme l’indique la figure ci-dessus. Ne disposant pas de mètre ruban, il se sert de $3$ morceaux de bois de dimensions respectives $10cm$, $8cm$ et $6cm$, puis d’un lacet de longueur inconnue $x$. Après les mesures, il trouve :

$AB = 4x + 8$,   $BC = 3x + 6$   et   $AC = 5x + 10$.

Son fils qui lui assiste dit : « Quel que soit la longueur du lacet, le triangle $ABC$ est rectangle. » Prouve que l’affirmation de son fils est toujours vraie si $x = 10$.

ACTIVITÉ D’APPRENTISSAGE

Le rectangle ci-contre a des dimensions ainsi indiquées. $x$ est un nombre positif. Les côtés $AB$ et $BC$ sont représentés respectivement par des expressions littérales suivantes : la largeur $l = 2x + 1$ et la longueur $L = 2x(x + 1)$.

1. Cite les expressions littérales qui constituent $L = 2x(x + 1)$ et $l = 2x + 1$.
   • Comment peut-on encore appeler ces expressions ?
   • Donne un nom à l’expression de la longueur $L$ et de la largeur $l$.
2. Calcule le demi-périmètre de ce rectangle et ordonne l’expression du demi-périmètre suivant l’ordre croissant de la variable réelle.
   • Déduis le degré de l’expression du demi-périmètre.
3. Peux-tu répondre à la question de la situation problème ?

Résolution de l’activité d’apprentissage

1) Citons les expressions littérales qui constituent :

• L’expression $L = 2x(x + 1) = 2x^2 + 2x$ est constituée de $2x^2$ et de $2x$.
• L’expression $l = 2x + 1$ est constituée de $2x$ et de $1$.

On appelle les expressions $2x^2$, $2x$ et $1$ des monômes.

Les expressions de la longueur et de la largeur s’appellent les polynômes.

2) Calcul du demi-périmètre de ce rectangle.

On sait que $DP = L + l$.
AN : $DP = 2x(x + 1) + 2x + 1$
$DP = 2x^2 + 2x + 2x + 1$
$DP = 2x^2 + 4x + 1$

Ordonnons l’expression du demi-périmètre suivant l’ordre croissant de la variable réelle :
$DP = 1 + 4x + 2x^2$

Déduction : le degré de l’expression du demi-périmètre est $2$.

3) Prouvons que l’affirmation de son fils est toujours vraie. Nous devons montrer que le carré du plus long côté est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.

On a :
$AC^2 = (5x + 10)^2$
$= (5x + 10)(5x + 10)$
$= (5x)^2 + 2(5x)(10) + (10)^2$
$AC^2 = 25x^2 + 100x + 100$

Et :
$AB^2 + BC^2 = (4x + 8)^2 + (3x + 6)^2$
$= (4x + 8)(4x + 8) + (3x + 6)(3x + 6)$
$= (4x)^2 + 2(4x)(8) + 8^2 + (3x)^2 + 2(3x)(6) + 6^2$
$= 16x^2 + 64x + 64 + 9x^2 + 36x + 36$
$AB^2 + BC^2 = 25x^2 + 100x + 100$

Donc $AC^2 = AB^2 + BC^2$, c’est-à-dire que le triangle $ABC$ a toujours une forme triangulaire rectangle. D’où l’affirmation de son fils est toujours vraie.

RESUME

DEFINITION 1

Un monôme : un monôme de la variable $x$ est une expression littérale de la forme $ax^n$, où $a$ est un nombre coefficient ou constante, $x$ est appelé inconnue et $n$ est un entier naturel appelé degré du monôme.

Exemples

• $-5x^3$ est un monôme de coefficient $-5$, de variable $x$ et de degré $3$.
• $8$ est un monôme de coefficient $8$, de variable $x$ et de degré $0$.
• $0$ est un monôme de coefficient $0$, de variable $x$ et de degré $0$.

Un polynôme est une somme algébrique de plusieurs monômes de même variable. La variable peut être n’importe quelle lettre de l’alphabet. Le degré d’un polynôme est celui de son monôme de plus haut degré.

Exemple
$P = -6t^2 + t + 3$ est un polynôme de variable $t$ et de degré $2$. On note : $d^\circ t = 2$.

DEFINITION 2

Développer un polynôme ou une expression, c’est l’écrire sans parenthèse, c’est-à-dire l’écrire sous la forme d’une somme algébrique d’autres expressions plus simples (monômes).

Exemple
Développe les expressions suivantes :

$A(x) = 2x(x + 1)$ ;    $B(x) = \left(\dfrac{1}{2}x + 3\right)(2x + 4)$

Solution
Développons les expressions suivantes :

$A(x) = 2x(x + 1)$
$A(x) = 2x^2 + 2x$

$B(x) = x + 3(2x + 4)$
$B(x) = x^2 + 2x + 6x + 12$

Pour développer une expression littérale, on peut utiliser :

• la propriété de distributivité de la multiplication sur l’addition et la soustraction

• $k(a + b) = ka + kb$
• $k(a - b) = ka - kb$
• $(a - b)(c - d) = ac - ad - bc + bd$
• $(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd$

Exemple

Développe les expressions littérales suivantes :

1. $2(x + 1) = 2x + 2$
2. $3(x - 2) = 3x - 6$
3. $(x + 1)(x + 2) = x^2 + 2x + x + 2 = x^2 + 3x + 2$
4. $(x + 1)(x - 2) = x^2 - 2x + x - 2 = x^2 - x - 2$

Les identités remarquables :

• $(a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + 2ab + b^2$
• $(a - b)^2 = (a - b)(a - b) = a^2 - 2ab + b^2$
• $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$

Exemple

Développe les expressions littérales suivantes :

1. $(2x + 3)^2 = (2x)^2 + 2 \times (2x) \times 3 + 3^2 = 4x^2 + 12x + 9$
2. $(x - 5)^2 = (x)^2 - 2 \times (x) \times 5 + 5^2 = x^2 - 10x + 25$
3. $(4x - 3)(4x + 3) = 16x^2 - 9$

Réduire une expression littérale, c’est l’écrire avec moins de termes. Pour cela, on regroupe les termes semblables afin d’effectuer les opérations appropriées visant à réduire les différentes expressions.

Exemple

Réduis l’expression suivante : $A(x) = 2xy + 3y^2 + x^2 + 4xy$

Solution

Réduisons l’expression $A(x)$ suivante :

$A(x) = 6xy + 3y^2 + x^2$

Ordonner un polynôme revient à le ranger du monôme le plus haut degré à celui du plus petit degré (suivant les puissances décroissantes) ou alors du monôme au plus petit degré à celui au plus haut degré (suivant les puissances croissantes).

Remarque 1

Quand on a un (+) devant la parenthèse, on supprime les parenthèses sans rien faire d’autre.

Quand on a un (−) devant la parenthèse, on supprime les parenthèses mais en changeant tous les signes des monômes qui se trouvent à l’intérieur des parenthèses en leur opposé.

Exemple

$-(2x^2 - x + 1) = -2x^2 + x - 1$

$+(1 - b + 3b) = 1 - b + 3b$

Remarque 2

Dans un développement d’une expression littérale, l’ordre de priorité est le suivant :

• L’élévation à une puissance ;
• Les opérations entre parenthèses ;
• La multiplication ou la division ;
• L’addition ou la soustraction.

EXERCICES D’APPLICATION

Soit l’expression littérale $P(x) = (x - 1)^2 + (x - 1)(x + 2)$

1. Développe, réduis et ordonne $P(x)$ suivant la puissance décroissante de $x$.
2. Donne le degré de $P$.

LEÇON 3 : Factorisation

MOTIVATION

• Déployer un raisonnement mathématique pour résoudre des problèmes relatifs à des situations de vie faisant appel à la notion de factorisation.
• Communiquer des informations comportant des nombres.

OBJECTIFS PÉDAGOGIQUES

Écrire une expression littérale en produits de facteurs du premier degré à l’aide d’un facteur commun, d’une identité remarquable ou des deux éléments.

PRE-REQUIS

• Factoriser les expressions suivantes : $2x^2 + 4$, $x^2 + x$
• Initier les techniques pour écrire certaines expressions littérales en produit de facteurs du premier degré.

SITUATION PROBLEME

François possède un terrain de forme carrée de côté $(2x + 3)$. L’aire de la partie non hachurée est $(4x + 7)(2x + 3)$. Il veut vendre la partie hachurée ; pour cela, il décide de connaître l’aire de cette partie.

Il trouve que l’aire de la partie hachurée est :

$A_1(x) = 4x^2 + 12x + 9 - (4x + 7)(2x + 3)$.

Mais l’acheteur arrive et trouve plutôt que :

$A_1(x) = -2(2x + 3)(x + 2)$ ou $A_1(x) = -4x^2 - 14x - 12$.

Les deux ont-ils raison ?

ACTIVITE D’APPRENTISSAGE

On considère la figure ci-dessous où $ABCD$ est un carré de côté $x$ et $EFGH$ le petit carré de côté $x - 2$.

1. Écrire l’aire $A_1$ de $ABCD$ et l’aire $A_2$ de $EFGH$ en fonction de $x$.
2. On note $A_3$ l’aire de la partie hachurée et on note $A_3 = A_1 - 16$. Écris $A_3$ sous forme de produits de facteurs premiers.
3. Peux-tu apporter les éléments de réponse à la situation problème ?

Résolution de l’activité d’apprentissage

a) Écrivons l’aire $A_1$ de $ABCD$ et l’aire $A_2$ de $EFGH$ en fonction de $x$ :

$A_1 = x \times x = x^2$
$A_2 = (x - 2)(x - 2) = x^2 - 4x + 4$

b) Écrivons l’aire $A_3$ sous forme de produit de facteurs premiers :

$A_3 = A_1 - 16 = x^2 - 16 = x^2 - 4^2$
$A_3 = (x - 4)(x + 4)$

c) Vérifions si François et l’acheteur ont raison :

$A_1(x) = 4x^2 + 12x + 9 - (4x + 7)(2x + 3)$
$= (2x + 3)^2 - (4x + 7)(2x + 3)$
$= (2x + 3)\big[(2x + 3) - (4x + 7)\big]$
$= (2x + 3)(-2x - 4)$

$A_1(x) = -2(2x + 3)(x + 2)$. D’où les deux ont raison.

RESUME

DEFINITION

Factoriser une expression, c’est l’écrire sous la forme d’un produit de facteurs.

Méthodes de factorisation : utilisation des identités remarquables.

On a :

$a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$
$a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$
$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$

Exemple

Factoriser les expressions suivantes :

$A = x^2 + 4x + 4$    $B = x^2 - 6x + 9$

$C = x^2 - 121$    $D = (x - 1)^2 - 25$

Solution

Factorisons les expressions suivantes :

$A = x^2 + 4x + 4$
$A = (x)^2 + 2(x)(2) + (2)^2$
$A = (x + 2)^2$
$A = (x + 2)(x + 2)$

$B = x^2 - 6x + 9$
$B = (x)^2 - 2(x)(3) + (3)^2$
$B = (x - 3)^2$
$B = (x - 3)(x - 3)$

$C = x^2 - 121$
$C = x^2 - (11)^2$
$C = (x - 11)(x + 11)$

$D = (x - 1)^2 - 25$
$D = (x - 1)^2 - (5)^2$
$D = (x - 1 - 5)(x - 1 + 5)$
$D = (x - 6)(x + 4)$

UTILISATION DES FACTEURS COMMUNS

Exemple

Factoriser les expressions suivantes : $A = 4x + 8$ ; $B = 2x^2 + x$ ;

$C = (x + 5)(-x + 2) - (x + 3)(x + 5)$

Solution

Factorisons les expressions suivantes :

$A = 4x + 8$
$A = 4 \times x + 4 \times 2$
$A = 4(x + 2)$

$B = 2x^2 + x$
$B = 2 \times x \times x + x$
$B = x(2x + 1)$

$C = (x + 5)(-x + 2) - (x + 3)(x + 5)$
$C = (x + 5)[(-x + 2) - (x + 3)]$
$C = (x + 5)(-x + 2 - x - 3)$
$C = (x + 5)(-2x - 1)$

UTILISATION DU FACTEUR COMMUN ET DE L’IDENTITÉ REMARQUABLE

Exemple

Factoriser les expressions suivantes :

$A = x^2 + 10x + 25 - (x + 5)(2x - 3)$ ;    $B = 4x^2 - 9 + (2x + 3)^2$

Solution

Factorisons les expressions suivantes :

$A = x^2 + 10x + 25 - (x + 5)(2x - 3)$
$A = x^2 + 2(x)(5) + 5^2 - (x + 5)(2x - 3)$
$A = (x + 5)(x + 5) - (x + 5)(2x - 3)$
$A = (x + 5)\big[(x + 5) - (2x - 3)\big]$
$A = (x + 5)(x + 5 - 2x + 3)$
$A = (x + 5)(-x + 8)$

$B = (2x)^2 - (3)^2 + (2x + 3)^2$
$B = (2x - 3)(2x + 3) + (2x + 3)(2x + 3)$
$B = (2x + 3)\big[(2x - 3) + (2x + 3)\big]$
$B = (2x + 3)(2x - 3 + 2x + 3)$
$B = (2x + 3)(4x)$
$B = 4x(2x + 3)$

LEÇON 4 : Fractions rationnelles

RESUME

DEFINITION D’UNE FRACTION RATIONNELLE

Une fraction rationnelle est une fraction dont le numérateur et le dénominateur sont des polynômes.

Exemple

$R(x) = \dfrac{x^2 - 2x + 3}{(1 - x)(2 + x)}$     $Q(a) = \dfrac{a + 1}{a}$

CONDITION D’EXISTENCE D’UNE FRACTION RATIONNELLE

Comme toute fraction, l’écriture d’une fraction rationnelle n’est possible que lorsque son dénominateur est différent de zéro : c’est la condition d’existence d’une valeur numérique de la fraction rationnelle.

Pour déterminer la condition d’existence d’une valeur numérique d’une fraction rationnelle, on peut d’abord et si possible factoriser le dénominateur et ensuite utiliser la propriété : $ab \neq 0$ signifie que $a \neq 0$ et $b \neq 0$.

Exemple

Donne la condition d’existence de la fraction rationnelle suivante : $A(x) = \dfrac{x^2 - x + 2}{3x - 1}$

$A(x)$ existe si et seulement si $3x - 1 \neq 0$, ce qui équivaut à $3x \neq 1$, soit $x \neq \dfrac{1}{3}$.

SIMPLIFICATION D’UNE FRACTION RATIONNELLE

1. Simplifier une fraction rationnelle, c’est la rendre sous la forme la plus simple possible. Pour cela, on factorise le numérateur et le dénominateur si cela est nécessaire ;
2. On détermine la condition d’existence ;
3. On élimine les facteurs communs qui apparaissent au numérateur et au dénominateur ;
4. On écrit l’expression simplifiée précédée de la condition d’existence.

Exemple

Simplifie la fraction rationnelle suivante :

$B(x) = \dfrac{x^2 - 6x + 9}{(x - 3)(x + 2) - 2(x - 3)(x - 1)}$

a) Factorise :

Le numérateur : $x^2 - 6x + 9 = (x)^2 - 2(x)(3) + (3)^2 = (x - 3)^2$

Le dénominateur :

$(x - 3)(x + 2) - 2(x - 3)(x - 1) = (x - 3)\big[(x + 2) - 2(x - 1)\big]

$(x - 3)(x + 2) - 2(x - 3)(x - 1) = (x - 3)(x + 2 - 2x + 2)$

$(x - 3)(x + 2) - 2(x - 3)(x - 1) = -(x - 3)(x + 1)$

b) La condition d’existence de $B(x)$ :
$B(x)$ existe si et seulement si $-(x - 3)(x + 1) \neq 0$

Ce qui équivaut à : $(x - 3) \neq 0$ et $(x + 1) \neq 0$

Ou encore : $x \neq 3$ et $x \neq -1$

c) Le facteur commun au numérateur et au dénominateur est $(x - 3)$ :

$B(x) = \dfrac{(x - 3)(x - 3)}{-(x - 3)(x + 1)}$

d) L’expression simplifiée de $B(x)$ est :

$B(x) = \dfrac{-x + 3}{x + 1}$

EXERCICE D’APPLICATION

On pose $P(x) = (2x + 3)(2x + 7) + 4x^2 - 9$ et $Q(x) = 4x^2 - 9$.

1. Développe, réduis et ordonne $P(x)$ suivant les puissances croissantes de $x$.
2. En déduis le degré du polynôme $P(x)$.
3. Factorise $Q(x)$ et en déduis une factorisation de $P(x)$.
4. On pose $R(x) = \dfrac{P(x)}{Q(x)}$.
5. Donne la condition d’existence de $R(x)$.
6. Simplifie $R(x)$ puis détermine sa valeur numérique pour $x = \sqrt{3}$.