ARITHMETIQUE

INTÉRÊT :

L’arithmétique permet à l’élève de bien communiquer à travers les nombres ; de manipuler le PGCD et le PPCM de deux nombres entiers naturels.

MOTIVATION :

L’arithmétique en troisième s’intéresse à l’étude des phénomènes périodiques, par exemple déterminer les dates de coïncidence de deux marchés périodiques. Elle est aussi utilisée pour déterminer les dimensions d’un terrain, le nombre de carreaux ou de dalles nécessaires pour le revêtement total d’une surface, ou encore le nombre de piquets pour la clôture d’un champ.

OBJECTIFS PÉDAGOGIQUES :

• Utiliser l’algorithme d’Euclide et l’algorithme des soustractions pour calculer le PGCD de deux nombres entiers naturels.
• Utiliser la relation entre le PPCM et le PGCD pour calculer le PGCD ou le PPCM de deux entiers naturels.
• Résoudre des problèmes faisant appel au PPCM et au PGCD.

LEÇON 1:Algorithme d’Euclide, algorithme des soustractions et le plus grand commun diviseur

OBJECTIFS PÉDAGOGIQUES :

• Utiliser l’algorithme d’Euclide, l’algorithme des soustractions pour calculer le PGCD de deux nombres entiers naturels ;
• Résoudre des problèmes faisant appel au PGCD.

PRÉREQUIS

1. Décomposer en produit des facteurs premiers les nombres 48 et 32, puis en déduire leur PGCD
2. Effectuer la division euclidienne de 56 par 24.

Solution

1. 48 = $latex 2^4 \times 3$ et 32 = $latex 2^5$ ; Le PGCD de 48 et 32 est $latex 2^4 = 16$

NB : le PGCD de deux entiers naturels est le produit des facteurs communs à ces deux nombres.

2) 56 = 24 × 2 + 8

SITUATION PROBLÈME

Le père d’Agnès élève de la classe de troisième a le projet de carreler le sol de son salon de dimensions 4,62 m × 5,61 m à l’aide des carreaux. Il ne voudrait pas des coupes de carreaux, ni d’espaces entre deux carreaux consécutifs posés au sol. Il fait appel à sa fille Agnès pour déterminer le nombre de carreaux minimum nécessaire pour la réalisation de ce projet. Aider Agnès à déterminer ce nombre de carreau.

ACTIVITÉ D’APPRENTISSAGE

1. Déterminer le PGCD de 462 et 561 à l’aide de la décomposition en produit des facteurs premiers.
2. a) Compléter le tableau ci-dessous.

b) Comparer le dernier résultat non nul de a − b au PGCD de 561 et 462.

3) a) Compléter le tableau ci-dessous. r est le reste de la division de a par b.

b) Comparer le dernier reste non nul au PGCD de 561 et 462.

4) On pose L la longueur en cm et l la largeur en cm du salon du père de Agnès.

1. Que représente le PGCD $(L ; l)$ ?
2. Effectuer les opérations : $latex \dfrac{L}{PGCD(L,l)}$ et $latex \dfrac{l}{PGCD(L,l)}$. Que représentent ces résultats respectivement pour la longueur et pour la largeur ?
3. Détermine alors le nombre de carreaux nécessaires pour carreler le salon du père d’Agnès.

SOLUTION :

1) 561 = $latex 3 \times 11 \times 17$ et 462 = $latex 2 \times 3 \times 7 \times 11$ PGCD(561 ; 462) = 33

2) a) Complétons le tableau

b) Le dernier résultat non nul de a − b est 33 qui est égal au PGCD de 561 et 462.

3) a) Complétons le tableau. r est le reste de la division de a par b.

b) Le dernier reste non nul de a par b est 33 qui est égal au PGCD de 561 et 462.

4) a) Le PGCD $(L ; l)$ représente la longueur du côté du carreau. D’où la longueur du côté des carreaux est 33 cm.

b) $latex \dfrac{L}{PGCD(L,l)}=\dfrac{561}{33}=17$ et $latex \dfrac{l}{PGCD(L,l)}=\dfrac{462}{33}=14$. 17 représente le nombre de carreaux minimum nécessaires à utiliser dans le sens de la longueur et 14 représente le nombre de carreaux minimum à utiliser dans le sens de la largeur.

c) Le nombre de carreau minimal à utiliser est $latex 17 \times 14 = 238$ carreaux.

RÉSUMÉ

Soient a, b, q et d des nombres entiers naturels non nuls.

• On dit que d est un diviseur commun de a et b si d est un diviseur de a et b.
• On appelle plus grand commun diviseur de a et b et on note PGCD(a ; b) le plus grand entier des diviseurs communs de a et b.
• On appelle plus petit commun multiple de a et b et on note PPCM(a ; b) le plus petit entier non nul des multiples communs de a et b.

Pour déterminer le PGCD de deux nombres entiers naturels non nuls tels que a > b, on peut soit utiliser l’algorithme des soustractions successives, soit utiliser l’algorithme d’Euclide ou encore des divisions euclidiennes successives :

ALGORITHME DES SOUSTRACTIONS SUCCESSIVES

On effectue des soustractions successives de a par b comme l’indique le tableau de la question 2 de l’activité. Le PGCD(a ; b) est le dernier résultat non nul de a − b.

Exemple : Déterminons le PGCD (168 ; 120).

168 − 120 = 48 ; 120 − 48 = 72 ; 72 − 48 = 24 ; 48 − 24 = 24 ; 24 − 24 = 0. Donc PGCD(168 ; 120) = 24 car le résultat de la dernière différence non nulle est 24.

ALGORITHME D’EUCLIDE

On effectue les divisions euclidiennes successives de a par b comme l’indique le tableau de la question 3 de l’activité. Le PGCD(a ; b) est le dernier reste non nul. Cet algorithme est basé sur la propriété suivante : si a = bq + r, alors PGCD(a ; b) = PGCD(b ; r) où r est le reste de la division euclidienne de a par b.

Exemple : Déterminons le PGCD (375 ; 2020).

2020 = 5 × 375 + 145 ; 375 = 2 × 145 + 85 ; 145 = 1 × 85 + 60 ; 85 = 1 × 60 + 25 ; 60 = 2 × 25 + 10 ; 25 = 2 × 10 + 5 ; 10 = 2 × 5 + 0. Donc le PGCD (375 ; 2020) = 5 car le dernier reste non nul des divisions est 5.

REMARQUE

• Si b est un diviseur de a, alors PGCD(a ; b) = b.

• PGCD(a ; b) = 1 équivaut à $latex \dfrac{a}{b}$ est irréductible et on dit que les nombres a et b sont premiers entre eux.
  PGCD(a ; 1) = 1.

EXERCICE D’APPLICATION :

SOLUTION

1. Déterminons le PGCD(31 ; 14) à l’aide de l’algorithme des soustractions.

Donc PGCD(31 ; 14) = 1.

2. Déterminons le (300 ; 75) à l’aide de l’algorithme d’Euclide.

Donc PGCD(300 ; 75) = 150.

LEÇON 2: Relation entre le PGCD et le PPCM

OBJECTIFS PÉDAGOGIQUES

• Utiliser la relation entre le PPCM et le PGCD pour calculer le PPCM de deux entiers naturels
• Résoudre des problèmes faisant appel au PPCM.

PRÉREQUIS :

Décomposer en produit des facteurs premiers les nombres 104 et 50, puis en déduire leur PPCM.

Solution :

104 = $latex 2^3 \times 13$ et 50 = $latex 2 \times 5^2$. Ainsi le PPCM(104 ; 50) = 2600.

NB : Le PPCM de deux entiers naturels est le produit des facteurs non communs.

SITUATION PROBLÈME :

Deux voitures partent en même temps de la ligne de départ et font plusieurs tours d’un même circuit. La voiture A fait le tour du circuit en 36 minutes et la voiture B en 30 minutes. Sachant que PGCD(36 ; 30) = 6 y a-t-il des moments (autre que le point de départ) où les voitures se croisent sur la ligne de départ ?

ACTIVITÉ D’APPRENTISSAGE :

1. Déterminer le PPCM(72 ; 30).
2. Sachant que PGCD(72 ; 30) = 6, calculer le quotient $latex \dfrac{72 \times 30}{PGCD(72,30)}$, puis comparer le résultat au PPCM(72 ; 30).
3. Deux athlètes partent au même moment sur la ligne de départ et font plusieurs tours d’un stade de football. La fille fait le tour en 36 minutes et le garçon en 30 minutes.
   1. Sachant que PGCD(36 ; 30) = 6, calculer le PPCM(36 ; 30).
   2. Après combien de temps les deux athlètes se croisent au point de départ. Répondre alors à question de la situation problème.

SOLUTION :

1. On a : 72 = $latex 2^3 \times 3^2$ et 30 = $latex 2 \times 3 \times 5$ ; PPCM(72 ; 30) = $latex 2^3 \times 3^2 \times 5 = 360$.
2. $latex \dfrac{72 \times 30}{PGCD(72,30)} = 360 = PPCM(72 ; 30)$
3. a) PPCM(36 ; 30) = $latex \dfrac{36 \times 30}{6} = 180$
   b) Les deux athlètes se croisent sur la ligne de départ à un temps égal au PPCM(36 ; 30) = 180. Donc après 180 min les athlètes se croisent.
4. Oui il y a des moments (autre que le point de départ) où les deux voitures se croisent sur la ligne de départ. En effet les deux voitures se croisent après chaque 180 minutes.

RÉSUMÉ

• Le PPCM de deux nombres entiers naturels est le produit de tous les facteurs communs affectés de leur grande puissance et des facteurs non communs dans la décomposition de ces deux nombres en produit de facteurs premiers.
• Si a et b sont deux entiers naturels non nuls, alors PPCM(a ; b) = $latex \dfrac{a \times b}{PGCD(a,b)}$.
• Si a et b sont premiers entre eux alors PPCM(a ; b) = a \times b.
• Si b est un diviseur de a alors PPCM(a ; b) = a.

EXERCICE D’APPLICATION