Applications affines

INTÉRÊT

• Résoudre un problème concret se rapportant à une situation de proportionnalité ou à une application linéaire ou affine.
• Utiliser le signe du coefficient directeur pour donner le sens de variation d’une application linéaire ou affine.
• Calculer l’image ou l’antécédent d’un nombre réel.
• Interpréter le graphique d’une application linéaire ou affine.

MOTIVATION

• Déplacements quotidiens.
• Usage de médicaments.
• Pratique d’une activité de loisir ou sportive.
• Achat ou vente d’un bien de consommation.
• Planification de repas, d’activités agricoles ou commerciales.
• Participation à une activité de formation à l’école ou en milieu de travail.
• Prévisions d’augmentation ou de diminution du prix d’un produit.

LEÇON : Applications linéaires et applications affines

OBJECTIFS PÉDAGOGIQUES

• Définir une application affine et une application linéaire.
• Calculer une image ou un antécédent par une application affine ou linéaire.
• Déterminer le sens de variation d’une application affine ou linéaire.
• Représenter une application affine ou une application linéaire.

PRÉREQUIS

1. Lequel de ces deux tableaux suivants traduit une situation de proportionnalité ? Justifie ta réponse.

   Grandeur A	0	10	20	30
   Grandeur B	0	5	10	15

   Grandeur C	0	10	20	30
   Grandeur D	0	5	15	20

2. À cause de l’augmentation du prix, un article qui coûtait 3100 francs a subi une augmentation de 18 %. Calculer cette augmentation.
3. Calculer la valeur numérique des expressions littérales suivantes :
   A = 2x + 3 ; B = x − 1 pour x = 1.

SITUATION PROBLÈME

Max voudrait louer une voiture pour aller passer un weekend dans son village situé à des centaines de kilomètres de la ville de Yaoundé. Pour cela, il se renseigne auprès de deux agences de location de voitures afin de se faire une idée.

Voici les tarifs de deux agences de location de voitures (pour un même modèle) :

AGENCE A : Forfait 45000F et 400F par km parcouru AGENCE B : 700F par km parcouru

Aider Max à choisir le tarif le plus avantageux qui lui permettra de parcourir un grand nombre de kilomètres.

ACTIVITÉ D’APPRENTISSAGE

À l’occasion de la semaine de la jeunesse, la coopérative du lycée Bilingue d’Akono se propose de louer une chaîne musicale pour les activités culturelles. Le discothécaire lui propose deux modes de paiement :

Mode A : Elle doit payer 500 frs pour toute journée commencée, et verser au préalable un taux forfaitaire de 5000 frs.

Mode B : Elle doit payer 1500 frs pour toute journée commencée.

1) Compléter les tableaux suivants :

Mode A

Mode B

2) Chaque mode de paiement : quelle serait la somme à payer pour deux jours de location ? Cinq jours ? Huit jours ? (Expliquer aux camarades comment on a procédé.)

3) Mode A : Le procédé de la correspondance entre les nombres de la première ligne et ceux de la seconde peut s’exprimer ainsi : « Je multiplie par …… puis j’ajoute …… ».

On traduit un tel procédé en disant qu’il s’agit d’une application affine. Ici, cette application f sera notée :

x → 500x + 5000 ; l’image de x est notée f(x) = 500x + 5000.

Compléter :
f(2) = ……… ;   f(5) = ……… ;   f(……) = 8000 ;   f(……) = 9500

4) Mode B : Le procédé de la correspondance entre les nombres de la première ligne et ceux de la seconde peut s’exprimer ainsi : « Je multiplie par …… ».

On traduit un tel procédé en disant qu’il s’agit d’une application linéaire.

Ici, cette application g sera notée : x → 1500x ; l’image de x notée : g(x) = 1500x.

Compléter : g(2) = ……… ;   g(5) = ……… ;   g(……) = 9000

5) On considère les droites (D1) : y = 500x + 5000    (D2) : y = 1500x

1. Représenter sur un même repère orthonormé (O, I, J) les droites (D1) et (D2).
2. Laquelle passe par l’origine des axes ?

6) Soient les applications f et g définies par f(x) = 500x + 5000 ;   g(x) = 1500x

1. Déterminer l’abscisse x pour que les applications f et g soient équivalentes.
2. La coopérative souhaiterait passer un grand nombre de jours : quelle sera la proposition la plus avantageuse dans ce cas ?

Solution de l’activité d’apprentissage

1) Complétons les tableaux

Mode A

Mode B

2) Calcul des sommes à payer

Mode A :
2 jours : 500×2 + 5000 = 6000
5 jours : 500×5 + 5000 = 7500
8 jours : 500×8 + 5000 = 9000

Mode B :
2 jours : 1500×2 = 3000
5 jours : 1500×5 = 7500
8 jours : 1500×8 = 12000

3) Interprétation

Mode A : Je multiplie par 500 puis j’ajoute 5000.

f(2) = 3000    f(5) = 7500    f(6) = 8000    f(9) = 9500. Ce procédé est traduit par l’application affine f : x → 500x + 5000. L’image de x est notée f(x) = 500x + 5000. Donc 2 a pour image f(2) = 6000 et f(2) a pour antécédent 2.

4) Mode B

Je multiplie par 1500.

Complétons : g(2) = 3000    g(5) = 7500    g(6) = 9000. Ce procédé est traduit par l’application linéaire g : x → 1500x. L’image de x est notée g(x) = 1500x. Donc 5 a pour image g(5) = 7500 et g(5) a pour antécédent 5.

5) Étude graphique

On considère les droites (D1) : y = 500x + 5000    et    (D2) : y = 1500x

1. Construction dans un même repère orthonormé (O, I, J) des droites (D1) et (D2).
2. La droite (D2) passe par l’origine des axes.

6) Comparaison des deux propositions

1. Les droites (D1) et (D2) sont équivalentes si et seulement si :
   500x + 5000 = 1500x
   Ce qui équivaut à : −1000x = −5000
   Donc x = 5

Lorsque x = 5 :
f(5) = 500 × 5 + 5000 = 7500
g(5) = 1500 × 5 = 7500

2. Déterminons la proposition la plus avantageuse.

Soit x le nombre de jours. L’application affine associée au mode A est f(x) = 500x + 5000 et celle associée au mode B est g(x) = 1500x.

Supposons le mode B plus avantageux :
g(x) < f(x)
1500x < 500x + 5000
Ce qui équivaut à : x < 5

Conclusion :
Pour moins de 5 jours, le mode B est plus avantageux. Pour plus de 5 jours, le mode A est plus avantageux. La coopérative souhaitant louer pour un grand nombre de jours, le mode A est le meilleur choix.

Solution de la situation problème

Aidons Max à faire un choix parmi les deux agences de location de voitures.

Agence A : taux forfaitaire de 45 000 francs auxquels on ajoute 400 francs par kilomètre parcouru.
Agence B : 700 francs par kilomètre parcouru.

Soit x le nombre de kilomètres parcourus par Max au cours de son voyage.

L’application affine associée à la proposition de l’agence A est : f(x) = 45 000 + 400x

L’application affine associée à la proposition de l’agence B est : g(x) = 700x

Considérons la proposition de l’agence B comme étant la plus avantageuse.

On a :
g(x) ≤ f(x) ⇔ 700x ≤ 45 000 + 400x
⇔ 300x ≤ 45 000
⇔ x ≤ 150

Ainsi, pour x ≤ 150 km, la proposition de l’agence B est plus avantageuse.
Pour x > 150 km, la proposition de l’agence A devient plus avantageuse.

Conclusion :
En parcourant des centaines de kilomètres, Max devra choisir la proposition de l’agence A.

Résumé

Définitions

Application : On appelle application de l’ensemble A dans un ensemble B toute correspondance qui, à chaque élément de A, associe un élément et un seul de B.

Bijection : On appelle bijection de l’ensemble A dans l’ensemble B toute application f de l’ensemble A dans l’ensemble B telle que chaque élément de B est l’image par f d’un élément de A et d’un seul.

Application affine : Étant donnés deux nombres a et b, le procédé qui, à tout nombre x, fait correspondre le nombre ax + b s’appelle une application affine. On note : x → ax + b. Si f désigne l’application, on note l’image de x : f(x) = ax + b.

Cas particuliers

Si b = 0, l’application devient : x → ax. Il s’agit d’une application linéaire.

Si a = 0, l’application devient : x → b. Il s’agit d’une application constante.

Application linéaire

Soit a un nombre donné. Le procédé qui, à tout nombre x, fait correspondre le produit ax s’appelle l’application linéaire de coefficient a. On note cette application : x → ax.

Image et antécédent

Soit l’application affine définie par f(x) = ax + b.

x est appelé antécédent de f(x) et f(x) est appelé image de x par f.

Exemple

On donne l’application affine f(x) = −3x + 1.

• L’image de −4 par f est : f(−4) = 12 + 1 = 13
• L’image de 0 par f est : f(0) = 1
• L’image de 2 par f est : f(2) = −6 + 1 = −5

L’antécédent de 1 est donné par : f(x) = 1 ⇔ −3x + 1 = 1 ⇔ x = 0. Donc l’antécédent de 1 par f est 0.

L’antécédent de 3 est donné par : f(x) = 3 ⇔ −3x + 1 = 3 ⇔ x = −2.

Sens de variation d’une application linéaire ou affine

Soit f une application définie par f(x) = ax + b.

• Si a > 0, alors f est une application croissante.
• Si a < 0, alors f est une application décroissante.
• Si a = 0, alors f est une application constante (la droite de f est parallèle à l’axe des abscisses).

Exemple

a) On donne les applications suivantes :

• f(x) = 2x + 1
• g(x) = −½x

Préciser si f et g sont croissantes, constantes ou décroissantes.

b) f est l’application affine telle que f(−3) = 2 et f(1) = 5. Déterminer si f est croissante ou décroissante.

Exemple concret d’application affine par intervalles

On donne l’application f définie par :

f(x) = 2x + 1 si −1 ≤ x ≤ 1
f(x) = 2 si 1 ≤ x ≤ 2
f(x) = −x si 2 ≤ x ≤ 4

Donner le sens de variation de f dans chacun des intervalles suivants : [−1 ; 1], [1 ; 2], [2 ; 4].

Propriétés des applications linéaires

Soit f une application linéaire de la forme f(x) = ax. Pour tous nombres réels u, v et k, on a :

• f(u + v) = f(u) + f(v)
• f(ku) = kf(u)

Exercices d’application

Exercice 1

1) Soit $f$ l’application affine de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ définie par : $$ f(x) = -3x + 7 $$

Calculer les images par $f$ de chacun des nombres suivants : $$ -10 \; ; \; 7 \; ; \; 3 \; ; \; 0 \; ; \; 2 $$

2) Calculer les antécédents par $f$ des nombres suivants : $$ 4 \; ; \; 0 \; ; \; -2 $$

3) Quel est le sens de variation de cette application ?

4) Construire dans un repère orthonormé l’application $f$.

Exercice 2

Pour établir les factures afférentes à la consommation d’énergie de ses abonnés, la société d’électricité Energy of Cameroun SA (ENEO) utilise les tarifs suivants :

On désigne par $g$ l’application qui, à la quantité $x$ d’énergie en kwh consommée par un abonné d’ENEO, associe le prix $g(x)$ à payer (hors taxe).

Déterminer $g(x)$ selon que $x$ appartient à : $$ [0 ; 110] \; ; \; ]110 ; 400] \; ; \; ]400 ; +\infty[ $$

Solution 2

1) Si $x \in [0 ; 110]$, toute la consommation est facturée en première tranche : $$ g(x) = 50x $$

2) Si $x \in ]110 ; 400]$, $110$ kwh sont facturés en première tranche et $(x - 110)$ kwh en deuxième tranche : $$ g(x) = 50 \times 110 + (x - 110) \times 70 $$ Donc : $$ g(x) = 70x - 2200 $$

3) Si $x \in ]400 ; +\infty[$, $110$ kwh sont facturés en première tranche, $290$ kwh en deuxième tranche et $(x - 400)$ kwh en troisième tranche : $$ g(x) = 50 \times 110 + 70 \times 290 + (x - 400) \times 90 $$ Donc : $$ g(x) = 90x - 10200 $$

Devoir à faire à la maison

Exercice 1

Parmi les applications suivantes définies de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ :

$$ f(x) = 3x + 2 \; ; \; g(x) = 5x \; ; \; h(x) = -x + 1 \; ; \; i(x) = -x\sqrt{2} \; ; \; j(x) = -8 $$

1) Trouver celles qui sont des applications linéaires.

2) Trouver le sens de variation des applications $f$, $g$, $h$, $i$ et $j$.

3) Lorsque $x = -2$ puis $x = 1$, calculer les images par $f$ et par $j$.

4) Calculer l’antécédent $x$ lorsque $f(x)=2$ et $g(x)=-10$.

Exercice 2

1) Quelles fonctions linéaires peut-on associer aux expressions suivantes :

a) « Augmenter les prix de $20\%$ »

b) « Diminuer les prix de $20\%$ »

2) Après une diminution de $20\%$, le prix d’une voiture est de $8\,272\,000$ francs. Quel était le prix initial de la voiture ?

Exercice 3

Le gérant d’une salle de cinéma propose deux options aux spectateurs :

OPTION A : Le spectateur paie $6{,}50$ francs par séance.

OPTION B : Le spectateur paie un abonnement de $28$ francs, puis $3$ francs par séance.

Déterminer graphiquement, en fonction de $x$ séances, l’option la plus avantageuse pour un spectateur.