Transformations affines du plan

CHAPITRE : TRANSFORMATIONS AFFINES DU PLAN

RAPPELS

• On appelle isométrie du plan toute application du plan dans lui-même qui conserve les distances.
• Une symétrie orthogonale d’axe la droite $(D)$ notée $S_D$ est une application du plan dans lui-même qui à un point $M$ associe le point $M'$ tel que :
  • $M = M'$ si $M \in (D)$ ;
  • $(D)$ est la médiatrice du segment $[MM']$ si $M \notin (D)$.

• Une translation du vecteur $\vec{u}$ notée $t_{\vec{u}}$ est une application du plan dans lui-même qui à un point $M$ associe le point $M'$ tel que $\overrightarrow{MM'} = \vec{u}$.

• On appelle rotation de centre $O$ et d’angle $\theta$ notée $R(O,\theta)$ l’application du plan qui à un point $M$ associe le point $M'$ tel que :
  • $\text{mes}(\overrightarrow{OM},\overrightarrow{OM'})=\theta$
  • $OM = OM'$

• Les rotations, les symétries orthogonales et les translations sont des isométries.
• Soit $O$ un point du plan et $k$ un réel non nul. On appelle homothétie de centre $O$ et de rapport $k$ notée $H_{(O,k)}$ la transformation qui à chaque point $M$ du plan fait correspondre le point $M'$ tel que : $$ \overrightarrow{OM'} = k\,\overrightarrow{OM}. $$
• L’expression analytique de l’homothétie de centre $(a,b)$ et de rapport $k$ est : $$ \begin{cases} x' = kx + (1-k)a \\ y' = ky + (1-k)b \end{cases} $$
• Tout système de la forme $$ \begin{cases} x' = kx + a \\ y' = ky + b \end{cases} \quad (k \neq 1) $$ est l’expression d’une homothétie de rapport $k$ et de centre $\left(\dfrac{a}{1-k},\dfrac{b}{1-k}\right)$.

LEÇON 1 : COMPOSÉE DE DEUX SYMÉTRIES ORTHOGONALES

MOTIVATION

Dans la décoration, les objets symétriques sont très beaux à voir et donnent une certaine beauté à la décoration.

OBJECTIFS

Caractériser la composée de deux symétries orthogonales d’axes parallèles et d’axes sécants.

CONTRÔLE DES PRÉREQUIS

$ABCD$ est un carré de centre $O$. $I$, $J$, $K$ et $L$ sont les milieux respectifs des segments $[AB]$, $[BC]$, $[CD]$ et $[AD]$.

1. Faire la figure.
2. Compléter le tableau ci-dessous :

3. Construire les points $B'$, $C'$, $D'$ et $K'$.
4. Construire les points $A' = S_{(BC)}(A)$ et $L' = S_{(BC)}(L)$.

SITUATION DE VIE

Pour décorer une salle de fête, un artiste a dessiné des figures et a tracé deux droites parallèles. Il voudrait reproduire les figures en faisant deux symétries successives par rapport aux deux droites. Quelle transformation simple peut-il utiliser ?

ACTIVITÉ 1

On considère la figure suivante où $(D)$ et $(D')$ sont deux droites parallèles.

1. Construire les points $M_1 = S_{(D')}(M)$ et $M' = S_{(D)}(M_1)$.
   ( $M' = S_{(D)} \circ S_{(D')}(M)$ )
2. En s’inspirant du 1., construire $N'$ tel que $N' = S_{(D)} \circ S_{(D')}(N)$.
3. Vérifier que $NN' = MM' = 2\,H'H$.
4. En déduire que $S_{(D)} \circ S_{(D')}$ est une translation dont on précisera le vecteur de translation.

ACTIVITÉ 2

On considère la figure suivante où $(D)$ et $(D')$ sont deux droites sécantes en $O$.

1. Construire les points $M_1 = S_{(D')}(M)$ et $M' = S_{(D)}(M_1)$
   ( $M' = S_{(D)} \circ S_{(D')}(M)$ ).
2. En s’inspirant de la question 1, construire le point $N' = S_{(D)} \circ S_{(D')}(N)$.
3. Vérifier que $mes(\overrightarrow{ON'},\overrightarrow{ON}) = mes(\overrightarrow{OM},\overrightarrow{OM'}) = 2\,mes(\vec{u},\vec{u'})$ où $\vec{u}$ et $\vec{u'}$ sont les vecteurs directeurs respectifs de $(D)$ et $(D')$.
4. En déduire que $S_{(D)} \circ S_{(D')}$ est une rotation dont on précisera le centre et l’angle.

RÉSUMÉ

• 
  La composée de deux réflexions (ou symétries) $S_{(d)}$ et $S_{(d')}$ d’axes sécants en $O$ est une rotation. Plus précisément, si $(d)$ est d’axe $(O,\vec{u})$ et $(d')$ d’axe $(O,\vec{v})$, alors $S_{(d')} \circ S_{(d)} = r$ où $r$ est une rotation de centre $O$ et d’angle $2(\vec{u},\vec{v})$.
• Réciproquement, toute rotation de centre $O$ et d’angle $\theta$ peut s’écrire comme composée de deux réflexions d’axes sécants en $O$, dont l’un $(d)$ peut être choisi arbitrairement et l’autre $(d')$ tel que l’angle orienté entre $(d)$ et $(d')$ soit $\dfrac{\theta}{2}$. Ainsi : $S_{(d')} \circ S_{(d)} = r_{(O,\theta)}$.
  (Décomposition d’une rotation)
• La composée de deux symétries d’axes parallèles est une translation : $S_{(d')} \circ S_{(d)} = t_{\vec{u}}$ où $\vec{u} = \overrightarrow{AA'}$.
• Réciproquement, toute translation est égale (d’une infinité de manières) à la composée de deux réflexions d’axes parallèles.
  (Décomposition d’une translation)

EXERCICE D’APPLICATION

Soit $ABCD$ un carré de centre $O$ et de sens direct. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques des transformations $S_{(AB)} \circ S_{(AC)}$ et $S_{(AB)} \circ S_{(CD)}$.

LEÇON 2 : COMPOSÉE DE DEUX ROTATIONS

MOTIVATION

On utilise les rotations pour tourner les figures autour d’un point.

OBJECTIFS

• Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de deux rotations de même centre.

CONTRÔLE DES PRÉREQUIS

Soit $ABC$ un triangle équilatéral de sens direct.

1. Quel est l’image du point $B$ par la rotation de centre $A$ et d’angle $\dfrac{\pi}{3}$ ?
2. Construire le point $A'$ image de $A$ par la rotation de centre $B$ et d’angle $\dfrac{\pi}{4}$ et le point $C'$, image de $C$ par la rotation de centre $B$ et d’angle $-\dfrac{\pi}{2}$.

SITUATION PROBLÈME

Une rotation est une transformation du plan. La composition de deux rotations est-elle encore une transformation du plan ?

ACTIVITÉ D’APPRENTISSAGE

Soit $A$ un point du plan, $r$ la rotation de centre $A$ et d’angle $\dfrac{\pi}{4}$ et $r'$ la rotation de centre $A$ et d’angle $\dfrac{\pi}{3}$.

1. Soit $M$ un point quelconque du plan. Construire le point $M_1$ image de $M$ par $r'$ et $M'$ image de $M_1$ par $r$ ( $M' = r \circ r'(M)$ ).
2. Déterminer $r \circ r'(A)$.
3. Déterminer la mesure de l’angle $mes(\overrightarrow{AM},\overrightarrow{AM'})$.
4. En déduire la nature et les éléments caractéristiques de $r \circ r'$.

RÉSUMÉ

La composée de deux rotations de même centre $O$ et d’angles $\theta$ et $\theta'$ est une rotation de centre $O$ et d’angle $\theta + \theta'$.
Lorsque $\theta + \theta' = 2k\pi$, avec $k \in \mathbb{Z}$, alors cette composée est l’identité du plan.

EXERCICE D’APPLICATION

Soit $A$ un point du plan ; $r_1 = R_{(A,\frac{\pi}{4})}$, $r_2 = R_{(A,\frac{2\pi}{3})}$ et $r_3 = R_{(A,\frac{4\pi}{3})}$. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de $r_1 \circ r_2$, $r_2 \circ r_3$ et $r_1 \circ r_3$.

LEÇON 3 : COMPOSÉE D’HOMOTHÉTIES ET TRANSLATION

MOTIVATION

Les homothéties nous permettent d’agrandir ou de réduire les figures.

OBJECTIFS

Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la composée de deux homothéties de même centre et de la composée d’une homothétie et d’une translation.

CONTRÔLE DE PRÉREQUIS

1. Construis l’image du triangle $ABC$ par l’homothétie de centre $O$ et de rapport $2$.

2. Le plan muni d’un repère $(O,I,J)$, on donne le point $A(-1;3)$ et le vecteur $\vec{u}(2;4)$.
   1. Donner l’expression analytique de l’homothétie de centre $A$ et de rapport $-3$.
   2. Donner l’expression analytique de la translation du vecteur $\vec{u}$.

SITUATION PROBLÈME

Les homothéties et les translations sont des transformations du plan. La composée de deux homothéties de même centre et la composée d’une homothétie et d’une translation sont-elles des transformations du plan ?

ACTIVITÉS D’APPRENTISSAGE

ACTIVITÉ 1

Soit $h_1$ l’homothétie de centre $O$ et de rapport $k$ et $h_2$ l’homothétie de centre $O$ et de rapport $k'$.

1. Soit $M$ un point du plan et $M_1 = h_1(M)$. Exprimer $\overrightarrow{OM_1}$ en fonction de $\overrightarrow{OM}$.
2. On note $M' = h_1(M_1)$ ( $M' = h_2 \circ h_1(M)$ ). Exprimer $\overrightarrow{OM'}$ en fonction de $\overrightarrow{OM}$.
3. En déduire la nature et les éléments caractéristiques de $h_1 \circ h_2$.

ACTIVITÉ 2

Le plan est muni d’un repère $(O,I,J)$. On donne $A(1;2)$ et $\vec{u}(-3;1)$. On note $h$ l’homothétie de centre $A$ et de rapport $3$, puis $t$ la translation du vecteur $\vec{u}$.

1. Soit $M(x;y)$ tel que $M_1 = t(M)$. Exprimer $x_1$ en fonction de $x$ et $y_1$ en fonction de $y$.
2. Soit $M'(x';y')$ tel que $M' = h(M_1)$ ( $M' = h \circ t(M)$ ). Exprimer $x'$ en fonction de $x$ et $y'$ en fonction de $y$.
3. En déduire la nature et les éléments caractéristiques de $h \circ t$.

RÉSUMÉ

• La composée de deux homothéties de même centre et de rapports $k$ et $k'$ est une homothétie de même centre et de rapport $k \times k'$.
• La composée d’une homothétie de rapport $k$ ($k \neq 1$) et d’une translation est une homothétie de rapport $k$. Le centre de l’homothétie peut être déterminé par les expressions analytiques ou par la recherche d’un point fixe de la composée ; en effet, si $t \circ h(O) = O$, alors $O$ est le centre de l’homothétie.

EXERCICE D’APPLICATION

Soit $h$ l’homothétie de centre $A(-3;2)$ et de rapport $4$ ; $h'$ l’homothétie de centre $A$ et de rapport $\dfrac{1}{2}$, et $t$ la translation du vecteur $\vec{u}(1;-1)$.

1. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de $h \circ h'$.
2. Déterminer les expressions analytiques de $h$, $h'$, $t$, $t \circ h$ et $h \circ t$.
3. En déduire la nature et les éléments caractéristiques de $t \circ h \circ h' \circ t$.