systèmes linéaires dans IR² et R³

LEÇON 1 : SYSTÈMES LINÉAIRES DANS ℝ²

OBJECTIFS PÉDAGOGIQUES

Résoudre tout problème pouvant se ramener à un système d’équations à deux ou trois inconnus.

PRÉ-REQUIS

Résoudre, en précisant la méthode utilisée, chacun des systèmes ci-dessous :

1. { x + 2y = −3
     2x − y = 4 }
2. { 2x − 3y = 1
     3x − 2y = −1 }
3. { 3x + 2y = −5
     5x + 8y = 1 }

SITUATION PROBLÈME

Monsieur BANGOUP dispose dans son enclos uniquement des poules et des chèvres. Il aimerait faire vacciner ses animaux pour un vétérinaire mais ne connaît pas le nombre d’animaux de chaque espèce. Néanmoins, il se souvient que son fils PAUL lui avait dit qu’il y a un total de 25 têtes et 80 pattes. Aide-le à trouver le nombre de poules et de chèvres dans son enclos.

ACTIVITÉ D’APPRENTISSAGE

1. Combien de têtes et de pattes compte une poule ? Qu’en est-il pour une chèvre ?
2. Résoudre le système $(S)$ :
   { x + y = 25
     x + 2y = 40 }
3. Sachant que
   Δ = |1  1|
       |1  2|,    Δ_x = |25  1|
          |40  2|,    Δ_y = |1  25|
          |1  40|
   1. Calculer Δ, Δ_x et Δ_y.
   2. Vérifier que $x = \dfrac{Δ_x}{Δ}$ et $y = \dfrac{Δ_y}{Δ}$ sont des solutions du système $(S)$.

RÉSOLUTION

1. Une poule a une tête et 2 pattes tandis qu’une chèvre a une tête et 4 pattes.
2. { x + y = 25
     x + 2y = 40 }

   $y = 15$ et $x = 25 − 15 = 10$.

3. Δ = 2 × 1 − 1 × 1 = 1
   Δ_x = 25 × 2 − 40 × 1 = 10
   Δ_y = 1 × 40 − 25 × 1 = 15

   Donc $x = \dfrac{10}{1} = 10$ et $y = \dfrac{15}{1} = 15$.

RÉSUMÉ

1) On appelle système d’équations linéaires dans $IR^2$, tout système qui peut s’écrire sous la forme $(S)$ :

$ \begin{cases} ax + by = c \\ a'x + b'y = c' \end{cases} $
où $a$, $b$, $c$, $a'$, $b'$ et $c'$ sont des réels.

2) Hormis les méthodes de substitution et de combinaison, nous utiliserons la méthode des déterminants ou méthode de Cramer pour résoudre des systèmes. Pour cela, on procède comme suit :

a) Calcul du déterminant du système : $\Delta = \begin{vmatrix} a & b \\ a' & b' \end{vmatrix} = ab' - a'b.$

b) Calcul du déterminant partiel lié à $x$ : $\Delta_x = \begin{vmatrix} c & b \\ c' & b' \end{vmatrix} = cb' - c'b.$

c) Calcul du déterminant partiel lié à $y$ : $\Delta_y = \begin{vmatrix} a & c \\ a' & c' \end{vmatrix} = ac' - a'c.$

• Si $\Delta \neq 0$ et $\Delta_x \neq 0$ et $\Delta_y \neq 0$, alors le système admet une unique solution $S=\{(x;y)\}$ où $ x=\dfrac{\Delta_x}{\Delta} \quad \text{et} \quad y=\dfrac{\Delta_y}{\Delta}. $
• Si $\Delta = 0$ et $(\Delta_x \neq 0 \ \text{ou} \ \Delta_y \neq 0)$, alors le système n’admet pas de solution et donc $S=\varnothing$.
• Si $\Delta = 0$, $\Delta_x = 0$ et $\Delta_y = 0$, alors le système admet une infinité de solutions et donc $S=\{(x;y)\mid ax+by=c\}$.

EXERCICE D’APPLICATION

Résoudre les systèmes ci-dessous en utilisant la méthode de Cramer.

1) $ \begin{cases} 3x - 2y = 3 \\ -6x + 2y = 1 \end{cases} $

2) $ \begin{cases} x - 2y = 1 \\ -2x + 4y = -2 \end{cases} $

3) $ \begin{cases} 3x - 2y = 3 \\ 6x - 4y = 0 \end{cases} $

4) $ \begin{cases} x^2 + 2y^2 = 7 \\ 2x^2 + y^2 = -4 \end{cases} $

5) $ \begin{cases} x + 3y = 1 \\ -2x + y = 0 \\ x - y = 1 \end{cases} $

APPLICATION :

Résoudre la situation de vie.

LEÇON 2 : SYSTÈMES LINÉAIRES DANS ℝ³

COMPÉTENCES À ACQUÉRIR PAR LES ÉLÈVES

Résoudre tout problème pouvant se ramener à un système d’équations à trois inconnus.

SITUATION PROBLÈME

Une usine fabrique chaque jour trois alliages à base de fer, de plomb et de cuivre. L’alliage A est constitué de 30 % de fer, 30 % de plomb et 40 % de cuivre. L’alliage B contient 10 % de fer, 50 % de plomb et 40 % de cuivre. L’alliage C est formé de 50 % de fer, 25 % de plomb et 25 % de cuivre. L’usine dispose de 37 kg de fer, 35 kg de plomb et 38 kg de cuivre. Quelle quantité de chacun des alliages doit-elle produire pour épuiser son stock ?

ACTIVITÉ D’APPRENTISSAGE

Soit le système $(S)$ :

1. 1. En effectuant une combinaison linéaire entre $(L₁)$ et $(L₂)$, éliminer $x$. On nommera cette nouvelle équation $(L'₂)$.
   2. En effectuant une combinaison linéaire entre $(L₁)$ et $(L₃)$, éliminer $x$. On nommera cette nouvelle équation $(L'₃)$.
   3. Écrire le système formé par les équations $(L₁)$, $(L'₂)$ et $(L'₃)$.
2. 1. En effectuant une combinaison linéaire entre $(L'₂)$ et $(L'₃)$, éliminer $y$. On nommera cette nouvelle équation $(L''₃)$.
   2. Écrire le système formé par les équations $(L₁)$, $(L'₂)$ et $(L''₃)$.
3. En déduire la solution du système $(S)$.

RÉSOLUTION

1.a)

1.b)

1.c)

2.a)

2.b)

3) $z = \dfrac{1200}{7,5} = 160$    $y = \dfrac{20 - (2,5 \times 160)}{-4} = 95$    $x = 600 - (2 \times 95) - 160 = 250$.

RÉSUMÉ

1. On appelle système de 3 équations à trois inconnues tout système de la forme :
   { ax + by + cz = d
     a'x + b'y + c'z = d'
     a''x + b''y + c''z = d'' }
   où $a, b, c, a', b', c', a'', b''$ et $c''$ sont des réels.
2. Pour résoudre de tels systèmes, nous utiliserons soit la méthode par substitution, soit la méthode du pivot de Gauss. Cette dernière méthode consiste à effectuer des combinaisons linéaires entre les équations (ou les lignes) jusqu’à l’obtention d’un système triangulaire.

EXERCICE D’APPLICATION

Résoudre les systèmes ci-dessous :

1. { 3x − 2y + 5z = 6
     x + 3y − 4z = 0
     −2x + 3y + z = 2 }
2. { 2x − y − z = 4
     3x + 4y − 2z = 11
     3x − 2y + 4z = 11 }
3. { x − y + 2z = 1
     2x − 3y + 4z = 2
     5x + 4z = 3 }
4. { 2x + y + 3z = 0
     x − y − z = 2 }
5. { 2x − y − z = 1
     −x + y + 2z = 2 }

APPLICATION

Résoudre la situation de vie.