LEÇON 1 : GÉNÉRALITÉS SUR LES SUITES NUMÉRIQUES
OBJECTIFS PÉDAGOGIQUES
- Reconnaître une suite numérique et calculer ses termes
- Déterminer la limite d’une suite numérique
- Étudier la monotonie d’une suite numérique
- Représenter les termes d’une suite numérique dans un repère
PRÉ-REQUIS
On donne $f(x)=\dfrac{2x+3}{x+1}$. Calcule $f(2)$; $f(5)$ ; $f(x+1)$.
Calcule $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)$ puis étudies les variations de $f$ sur $[0;+\infty[$
SITUATION PROBLÈME
Gervais lance une balle jusqu’à une hauteur de 20m. Après chaque rebond, elle perd le $\dfrac{1}{4}$
de sa hauteur. Passant par-là, son petit-frère lui dit en souriant qu’après le cinquième rebond, le ballon
ne pourra plus s’élever de 30cm. A-t-il raison ?
ACTIVITÉ D’APPRENTISSAGE
Considérons l’application $U$ qui à tout nombre entier $n$ associe $U_n$ la hauteur après le $n$-ième rebond.
On suppose $U_0=20$.
- Exprime $U_1$ en fonction de $U_0$ puis calcule la hauteur après le premier rebond
- Exprime $U_2$ en fonction de $U_1$ puis calcule la hauteur après le deuxième rebond
-
Exprime $U_3$ en fonction de $U_2$ puis calcule la hauteur après le premier rebond.
Fais de même pour calculer $U_4$ et $U_5$
- Le ballon pourrait-il s’élever de 30cm ?
- Donne une expression générale de $U_{n+1}$ en fonction de $U_n$
RÉSUMÉ
1- DÉFINITION
On appelle suite numérique toute fonction $U$ de $\mathbb{N}$ (ou d’une partie $I$ de $\mathbb{N}$) dans $\mathbb{R}$.
2- NOTATION ET VOCABULAIRE
Soit $I$ une partie de $\mathbb{R}$ et $U$ une suite numérique.
On notera $(U_n)_{n\in I}$ ou $(U_n)$ ou tout simplement $U$.
$U_p$ se lit « U indice $p$ » ; c’est le terme d’indice $p$.
$U_n$ est le terme général de la suite.
Le premier terme de la suite $(U_n)$ est le terme $U_{n_0}$ obtenu pour la plus petite valeur $n_0$ de $I$.
3- FORMULE EXPLICITE, FORMULE DE RÉCURRENCE
DÉFINITION 1 : formule explicite
Une suite $(U_n)_{n\in I}$ dont le terme général $U_n$ est fonction de $n$
($U_n=f(n)$) où $f$ est une fonction numérique de $\mathbb{R}$ vers $\mathbb{R}$
est une suite définie par une formule explicite.
EXEMPLE : $U_n = 7n + 12$
DÉFINITION 2 : formule de récurrence
Une suite $(U_n)_{n\in I}$ dont le premier terme $U_{n_0}$ est connu,
et chaque terme est fonction du précédent
$U_{n+1}=f(U_n)$ où $f$ est une fonction numérique de $\mathbb{R}$ vers $\mathbb{R}$
est dite suite définie par une formule de récurrence.
EXEMPLE : La suite $U$ définie par
$$U_0=3$$
$$U_{n+1}=-2U_n+8$$
Ici, $U_{n+1}=f(U_n)$ avec $f(x)=-2x+8$.
NB : On peut passer d’une forme à l’autre, mais le travail n’est pas toujours aisé.
EXERCICE D’APPLICATION
Monsieur Hamidou grand cultivateur de la ville de Tokombéré décide d’ouvrir
une boutique de vente de mil pour la nouvelle saison des récoltes.
Il dispose de 12 sacs de mil, et chaque semaine il en stocke 5 de plus.
Parmi les 12 sacs initiaux, trois (3) sont attaqués par des charançons.
Hamidou constate que le nombre de sacs attaqués est le double de la semaine précédente.
1- Recopies et complète.
| Semaine |
0 | 1 | 2 | 3 |
| Nombre total de sacs dans le magasin |
| | | |
| Nombre total de sacs attaqués par les charançons dans le magasin |
| | | |
2- On note $U_n$ le nombre de sacs de mil contenus dans le magasin à la
$n$-ième semaine ; et $W_n$ nombre total de sacs attaqués par les charançons
dans le magasin à la $n$-ième semaine.
a) À quel ensemble appartient $n$ ?
b) Exprime $U_n$ en fonction de $n$.
3- a) Que représente $W_{n+1}$ ?
b) Donne une relation entre $W_n$ et $W_{n+1}$.
RÉSOLUTION
1)
| Semaine |
0 | 1 | 2 | 3 |
| Nombre total de sacs dans le magasin |
12 | 17 | 22 | 27 |
| Nombre total de sacs attaqués par les charançons dans le magasin |
3 | 6 | 12 | 24 |
2) a) $n\in\mathbb{N}$ b) $U_n = 12 + 5n$
On dira ici que $U_0 = 12$ ; $U_1 = 17$ ; …
3) a) $W_{n+1}$ représente le nombre de sacs attaqués par les charançons à la semaine de rang $n+1$.
b) $W_{n+1}=2W_n$. On dira ici que $W_{0+1}=2W_0$ donc $W_1=2W_0$ ;
De même $W_{2+1}=2W_2$ donc $W_3=2W_2$ …
4- LIMITE D’UNE SUITE DÉFINIE PAR UNE FORMULE EXPLICITE
Si $(U_n)$ est une suite définie par $U_n=f(n)$ où $f$ est une fonction numérique,
et si $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=\ell$ alors
$\lim\limits_{n\to +\infty} U_n=\ell$.
EXEMPLE :
On donne la suite $U$ définie par $U_n=\dfrac{3n+5}{n+1}$.
On a $f(x)=\dfrac{3x+5}{x+1}$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=3$
alors $\lim\limits_{n\to +\infty} U_n=3$.
5- ÉTUDE DE LA MONOTONIE (VARIATIONS)
PROPRIÉTÉ 1 :
Soit $(U_n)_{n\in I}$ une suite numérique. Une suite croissante ou décroissante
est dite monotone.
La suite $(U_n)$ est dite croissante si pour tout $n\in I$, $U_{n+1}\geq U_n$.
La suite $(U_n)$ est dite décroissante si pour tout $n\in I$, $U_{n+1}\leq U_n$.
La suite $(U_n)$ est dite constante si pour tout $n\in I$, $U_{n+1}=U_n$.
PROPRIÉTÉ 2 :
Si $(U_n)$ est définie pour tout entier naturel $n$ par la formule explicite
$U_n=f(n)$, où $f$ est définie sur $[0;+\infty[$, alors $(U_n)$ et $f$
ont les mêmes variations sur $[0;+\infty[$.
PROPRIÉTÉ 3 :
Soit $(U_n)$ une suite à termes strictement positifs alors :
- Si $\dfrac{U_{n+1}}{U_n}\geq 1$ alors la suite est croissante ;
- Si $\dfrac{U_{n+1}}{U_n}\leq 1$ alors la suite est décroissante ;
- Si $\dfrac{U_{n+1}}{U_n}=1$ alors la suite est constante ;
- Si $\dfrac{U_{n+1}}{U_n}$ dépend des valeurs de $n$, alors la suite n’est pas monotone.
EXERCICE D’APPLICATION : Montrez que la suite $(U_n)$, définie pour tout naturel $n$ par
$U_n=\dfrac{1}{n+2}$ est strictement décroissante.
6- REPRÉSENTATION DANS UN REPÈRE
ACTIVITÉ :
Nous désirons représenter une suite $(U_n)$, dont le terme général vérifie
la relation de récurrence $U_{n+1}=6-0{,}5U_n$. L’idée est alors de placer les termes successifs
$U_0$ ; $U_1$ ; $U_2$ … de la suite sur l’axe des abscisses.
-
Représente la courbe de la fonction affine $f$ définie par $f(x)=6-0{,}5x$ ainsi que la droite $(\Delta)$ d’équation $y=x$.
-
Place $U_0$ sur l’axe des abscisses, puis construis le point $P_0$ de $C_f$ d’ordonnée $f(U_0)$.
Par construction, $P_0$ a donc pour ordonnée $f(U_0)$, c’est-à-dire $U_1$.
-
Utilise la droite $(\Delta)$ d’équation $y=x$ pour replacer l’image $U_1$ sur l’axe des abscisses,
puis construis l’image de ce nouveau terme $U_1$. Ainsi de suite.
RÉSOLUTION
RÉSUMÉ — REPRÉSENTATION DANS UN REPÈRE
Pour représenter graphiquement une suite dont le terme général vérifie la relation de récurrence $U_{n+1}=f(U_n)$,
nous représentons la fonction $f$ ; puis il suffit de représenter l’image du premier terme et ensuite d’utiliser
la droite d’équation $y=x$ pour replacer l’image sur la droite des abscisses, puis de tracer l’image de ce nouveau terme.
Ainsi de suite …
EXEMPLE
On note $(U_n)_{n\in\mathbb{N}}$ la suite définie par $U_0=0$ et $U_{n+1}=\sqrt{2U_n+1}$.
Représente ses quatre premiers termes dans un repère orthonormé.
RÉSOLUTION
On commence par étudier la fonction $f(x)=\sqrt{2x+1}$ avec précision dans un repère orthonormé,
puis la droite d’équation $y=x$, et on représente de proche en proche les termes de la suite $U$.
