MOTIVATION :
- Déployer un raisonnement mathématique et résoudre des problèmes relatifs à des situations de vie.
- Communiquer des informations comportant des nombres ….
OBJECTIFS PÉDAGOGIQUES :
- Calculer la limite d’une fonction au voisinage d’un réel $x_0$ et à l’infini.
PRÉ-REQUIS :
Soit $f(x)=-3x^2-2x+10$
Calculer $f(-1)$ ; $f(0)$ et $f(1)$
SITUATION PROBLÈME :
Sous l’effet de l’érosion une roche sédimentaire perd sa valeur au fil du temps. Une étude scientifique permet de modéliser par $f(t)=\dfrac{3}{t+1}$ la quantité de matière perdue en fonction du temps (temps en siècle). Quelle quantité de matière aura-t-elle perdue au bout d’un demi-siècle.
ACTIVITÉ D’APPRENTISSAGE :
On considère la fonction $f$ définie par $f(x)=\dfrac{3}{x+1}$ ; $x\in ]-\infty,-1[ \cup ]-1,+\infty[$
a) Recopie et complète le tableau.
| $-5{,}9$ | $-4{,}9$ | $-3{,}9$ | $-2{,}9$ | $-1$ | $2{,}9$ | $3{,}9$ | $4{,}9$ | $5{,}9$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
b) Quel constat fais-tu ?
RESUME :
1- LIMITE D’UNE FONCTION EN UN REEL A
Soit $f$ une fonction numérique et $a$ un réel. Si $f$ admet une limite en $a$ alors on note $\lim\limits_{x\to a} f(x)=f(a)$.
REMARQUE :
Si la limite d’une fonction en un réel $a$ existe alors celle-ci est unique.
EXEMPLE :
On donne $h(x)=\dfrac{-5}{x-2}$ et $g(x)=-x^2+3$. Calculer la limite de $h$ en $0$ et celle de $g$ en $-2$.
2- LIMITE DES FONCTIONS A L’INFINI
a. DEFINITIONS
Soit $f$ une fonction numérique définie sur $\mathbb{R}$.
- Si $f(x)$ est aussi grand dès que $x$ est assez grand, on dit que $f$ a pour limite $+\infty$ en $+\infty$ et on note : $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$
- Si $f(x)$ est aussi grand dès que $x$ est assez petit, on dit que $f$ a pour limite $+\infty$ en $-\infty$ et on note : $\lim\limits_{x\to -\infty} f(x)=+\infty$
Soit $f$ une fonction numérique définie sur un intervalle de la forme $[b,+\infty[$ (respectivement $]-\infty,b]$) avec $b\in\mathbb{R}$.
- Si la distance $|f(x)-l|$ est très petite dès que $x$ est assez grand, on dit que $f$ a pour limite $l$ en $+\infty$. On note : $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=l$
- Si la distance $|f(x)-l|$ est très petite dès que $x$ est assez petit, on dit que $f$ a pour limite $l$ en $-\infty$. On note : $\lim\limits_{x\to -\infty} f(x)=l$
EXEMPLE :
On donne $h(x)=\dfrac{x+3}{x-2}$ et $g(x)=-x^3+3$. Calculer la limite de $h(x)$ et $g(x)$ en $+\infty$ et en $-\infty$.
NB :
- La limite d’une fonction polynôme à l’infini est égale à la limite de son monôme de plus haut degré.
- La limite d’une fonction rationnelle à l’infini est égale au quotient du rapport des monômes du plus haut degré au numérateur et au dénominateur.
b. LIMITES EN L’INFINI DES FONCTIONS DE RÉFÉRENCE
| Fonctions | Limites en $+\infty$ | Limites en $-\infty$ |
|---|---|---|
| $f(x)=a,\ a\in\mathbb{R}$ | $a$ | $a$ |
| $f(x)=x$ | $+\infty$ | $-\infty$ |
| $f(x)=ax$ | $ \begin{cases} -\infty & \text{si } a<0 \\ +\infty & \text{si } a>0 \end{cases} $ | $ \begin{cases} -\infty & \text{si } a>0 \\ +\infty & \text{si } a<0 \end{cases} $ |
| $f(x)=x^n\ (n\in\mathbb{R}^+)$ | $+\infty$ | $ \begin{cases} -\infty & \text{si } n \text{ est impair} \\ +\infty & \text{si } n \text{ est pair} \end{cases} $ |
| $f(x)=\dfrac{1}{x}$ | $0$ | $0$ |
| $f(x)=\dfrac{1}{x^{n+1}}$ | $0$ | $0$ |
| $f(x)=\sqrt{x}$ | $+\infty$ | Impossible |
c. LIMITE À GAUCHE – LIMITE À DROITE
On dit qu’une fonction $f$ admet une limite à gauche (respectivement à droite) admet une limite en $a$ (cette limite pouvant être réelle, $+\infty$ ou $-\infty$). On note $\lim\limits_{x\to a^-} f(x)$ pour la limite à gauche en $a$ et $\lim\limits_{x\to a^+} f(x)$ pour la limite à droite en $a$.
REMARQUE :
Pour que la limite d’une fonction en un réel existe, il n’est pas nécessaire que la fonction soit définie en ce réel, mais elle doit être définie au voisinage de ce réel.
$\lim\limits_{x\to a} f(x)=l$ si et seulement si $\lim\limits_{x\to a^-} f(x)=\lim\limits_{x\to a^+} f(x)=l$.
EXEMPLE :
Soit $f$ la fonction définie par : $ f(x)= \begin{cases} 2x-1 & \text{si } x\le 0 \\ x^2-1 & \text{si } x>0 \end{cases} $ Déterminer la limite à gauche et à droite de $f$ en $0$ puis conclure.
3- LIMITE ET OPÉRATIONS SUR LES FONCTIONS
Soit $f$ et $g$ deux fonctions, $l$ et $l'$ deux réels ; $a$ est élément de $\mathbb{R}\cup\{-\infty;+\infty\}$.
SOMME DE FONCTIONS
| Limite de $f$ en $a$ | $l$ | $l'$ | $l$ | $+\infty$ | $-\infty$ | $+\infty$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Limite de $g$ en $a$ | $l'$ | $+\infty$ | $-\infty$ | $+\infty$ | $-\infty$ | $+\infty$ |
| Limite de $(f+g)$ en $a$ | $l+l'$ | $+\infty$ | $-\infty$ | $+\infty$ | $-\infty$ | $\text{FI}$ |
PRODUIT DE FONCTIONS
| Limite de $f$ en $a$ | $l$ | $+\infty$ | $-\infty$ | $+\infty$ | $-\infty$ | $-\infty$ | $+\infty$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Limite de $g$ en $a$ | $l'$ | $l'\ (l'\neq 0)$ | $l'\ (l'\neq 0)$ | $+\infty$ | $-\infty$ | $+\infty$ | $0$ |
| Limite de $fg$ en $a$ | $ll'$ | $ \begin{cases} -\infty & \text{si } l'<0\\ +\infty & \text{si } l'>0 \end{cases} $ | $ \begin{cases} -\infty & \text{si } l'>0\\ +\infty & \text{si } l'<0 \end{cases} $ | $+\infty$ | $+\infty$ | $-\infty$ | $\text{FI}$ |
QUOTIENT DE FONCTIONS
| Limite de $f$ en $a$ | $l$ | $l$ | $l\ (l\neq 0)$ | $\infty$ | $\infty$ | $0$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Limite de $g$ en $a$ | $l'\ (l'\neq 0)$ | $\infty$ | $0$ | $l'$ | $\infty$ | $0$ |
| Limite de $\dfrac{f}{g}$ en $a$ | $\dfrac{l}{l'}$ | $0$ | $\infty$ | $\infty$ | $\text{FI}$ | $\text{FI}$ |
REMARQUE :
Les résultats $+\infty-\infty$, $\dfrac{\infty}{\infty}$, $\dfrac{0}{0}$, $0\times\infty$ sont appelés formes indéterminées (FI). Lorsqu’on est face à l’une de ces formes il suffit de lever l’indétermination.
EXEMPLES :
Calculer les limites suivantes :
$\displaystyle \lim_{x\to +\infty} (x^2-2x+4)$ ; $\displaystyle \lim_{x\to -\infty} \frac{x^3+3}{x-2}$ ; $\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{x^2-x}{3x}$ ; $\displaystyle \lim_{x\to +\infty} \frac{1}{x}(2x+5)$
4- INÉGALITÉS ET LIMITES
Propriétés de comparaison
Soient $f$, $g$ et $h$ des fonctions.
Comparaison des limites :
Si $f<g$ sur un intervalle $]a,+\infty[$ avec $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=l$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} g(x)=l'$ alors $l\le l'$.
Encadrement (théorème des gendarmes)
Si $g<f<h$ sur un intervalle $]a,+\infty[$ avec $\lim\limits_{x\to +\infty} g(x)=\lim\limits_{x\to +\infty} h(x)=l$ alors $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=l$.
Exercice d’application
Soient les fonctions suivantes : $f(x)=-3x^3+x-7$ ; $g(x)=\dfrac{x^2+3}{-x+2}$ et $h(x)=\dfrac{-x^2+1}{x+1}$.
- Calculer la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $0$ ; $-1$ ; $+\infty$ et $-\infty$.
- Calculer la limite de $g(x)$ aux bornes de son domaine de définition.
- Calculer la limite de $h(x)$ quand $x$ tend vers $-1$.
Leçon 2 : CONTINUITÉS
MOTIVATION :
- Déployer un raisonnement mathématique et résoudre des problèmes relatifs à des situations de vie.
- Communiquer des informations comportant des nombres ….
OBJECTIFS PÉDAGOGIQUES :
- Étudier la continuité d’une fonction en un point $x_0$ et sur un intervalle.
PRÉ-REQUIS :
On donne la fonction $f(x)=\dfrac{x+2}{x}$. Calculer les limites de $f$ aux bornes de son domaine de définition.
SITUATION PROBLÈME :
Monsieur Onana souhaite se rendre au $8^{\text{ème}}$ étage du MINESEC. Or sa voisine Mme Ngono travaille au $3^{\text{ème}}$ étage, et il ne souhaite pas tomber sur elle. Il se demande s’il peut quitter du $1^{\text{er}}$ étage au $7^{\text{ème}}$ étage sans passer par le $3^{\text{ème}}$ étage. Aide Monsieur Mbala à résoudre ce problème.
NB : On pourra faire à l’aide d’un graphe la courbe en trait continu pour dire que la fonction est continue sur l’intervalle.
ACTIVITÉ D’APPRENTISSAGE :
On donne : $f(x)=-x^2-2x+9$
- Calculer $f(-2)$.
- Calculer la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $-2$.
- Comparer les deux résultats précédents.
RÉSUMÉ :
1) CONTINUITÉ EN UN RÉEL $a$
DÉFINITION
Soient $f$ une fonction numérique d’ensemble de définition $D_f$ et $a$ un réel. On dit que $f$ est continue en $a$ si et seulement si les conditions suivantes sont vérifiées :
- $a\in D_f$
- $\lim\limits_{x\to a} f(x)=f(a)$
EXEMPLE :
On donne : $f(x)=-x^2-3x+4$. Déterminer $D_f$ puis étudier la continuité de $f$ en $-1$.
2) CONTINUITÉ À GAUCHE ET À DROITE EN UN RÉEL $x_0$
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle contenant le réel $x_0$.
- $f$ est continue à gauche de $x_0$ si et seulement si $\lim\limits_{x\to x_0^-} f(x)=f(x_0)$.
- $f$ est continue à droite de $x_0$ si et seulement si $\lim\limits_{x\to x_0^+} f(x)=f(x_0)$.
EXEMPLE :
Soit $f$ la fonction définie par : $ f(x)= \begin{cases} x^2+x-2 & \text{si } x\ge 0 \\ 3x-2 & \text{si } x<0 \end{cases} $ Étudier la continuité de $f$ en $0$.
PROPRIÉTÉS
- Toute fonction continue en $x_0$ est continue à gauche et à droite de $x_0$.
- Toute fonction continue à gauche et à droite de $x_0$ est continue en $x_0$.
- $f$ est continue en $x_0$ si et seulement si $\lim\limits_{x\to x_0^-} f(x)=\lim\limits_{x\to x_0^+} f(x)=f(x_0)$.
3) CONTINUITÉ SUR UN INTERVALLE
DÉFINITION
Une fonction $f$ est dite continue sur un intervalle $I$ lorsqu’elle est continue en tout $x_0\in I$.
PROPRIÉTÉS
- Les fonctions polynômes sont continues sur $\mathbb{R}$.
- Les fonctions rationnelles sont continues sur leur $D_f$.
- Si $f$ est une fonction continue sur un intervalle $[a;b]$, $a<b$ et $f(a)\times f(b)<0$ alors $f$ s’annule sur $]a;b[$.
- Si $f$ est une fonction continue sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$ et si $f$ ne s’annule pas sur $I$ alors $f$ garde un signe constant sur $I$.
4) OPÉRATIONS SUR LES FONCTIONS CONTINUES
Soient $f$ et $g$ deux fonctions définies sur un intervalle $I$ ; soit un réel $x_0\in I$.
-
Si les fonctions $f$ et $g$ sont continues en $x_0$, alors :
- la fonction $(f+g)$ est continue en $x_0$ ;
- la fonction $(f\times g)$ est continue en $x_0$ ;
- la fonction $k f$ est continue en $x_0$, où $k$ est une constante.
- Si les fonctions $f$ et $g$ sont continues en $x_0$ et $g(x_0)\neq 0$ alors les fonctions $\dfrac{1}{g}$ et $\dfrac{f}{g}$ sont continues en $x_0$.
- Si la fonction $g$ est continue en $x_0$ et la fonction $f$ continue en $g(x_0)$, alors la fonction $f\circ g$ est continue en $x_0$.
- Si $f$ est une fonction continue en $x_0$ et $f(x_0)\ge 0$, alors la fonction $\sqrt{f}$ est continue en $x_0$.
5) PROLONGEMENT PAR CONTINUITÉ
DÉFINITION
Soit $f$ une fonction d’ensemble de définition $D_f$ ; $x_0$ n’appartenant pas à $D_f$ mais $x_0$ est une borne de $D_f$. On dit que $f$ est prolongeable par continuité en $x_0$ si $\lim\limits_{x\to x_0} f(x)=l$ avec $l\neq \pm\infty$ et $x_0\neq \pm\infty$.
La fonction définie par $ g(x)= \begin{cases} f(x) & \text{si } x\neq x_0 \\ l & \text{si } x=x_0 \end{cases} $ est appelée prolongement par continuité de $f$ en $x_0$.
EXERCICE D’APPLICATION
Soit la fonction définie de $\mathbb{R}$ vers $\mathbb{R}$ par $f(x)=\dfrac{x^3-x^2}{x^2-1}$.
- $f$ est-elle prolongeable par continuité en $1$ ? en $-1$ ?
- Si oui, donner le prolongement par continuité de $f$.
