GENERALITES SUR LES FONCTIONS NUMERIQUES

MOTIVATION :

Dans la vie, l’étude des fonctions numériques peut permettre :

• La détermination des dimensions d’un terrain,
• Le partage des biens,
• La vérification d’une facture,
• La comparaison des prix des objets …

SITUATION PROBLEME :

La figure ci-contre est représentation du terrain de M. NGO’O qui a la forme d’un carré de 8km de côté. Pour des raisons géographiques, il a délimité le carré AMNP, puis le triangle NDC ce qui est représenté en jaune. Il souhaite cultiver du cacao sur la partie en jaune et du café sur le reste. Il souhaite positionner le point M sur [AB] de sorte que l’aire de la partie en jaune soit la même que l’aire de la partie restante.

LECON 1 : Notions de fonctions et d’applications

COMPETENCES A ACQUERIR PAR LES ELEVES :

A la fin de cette leçon, l’élève sera capable de :

• Faire la différence entre une application et une fonction
• Reconnaître une application injective, surjective, bijective
• Déterminer de façon explicite la réciproque d’une application bijective
• Déterminer l’ensemble de définition d’une fonction

PRE-REQUIS :

On donne l’expression $A(x)=x^2-4x+3$

1. Donner la valeur de $A(x)$ pour $x=-5$, pour $x=-\frac{3}{2}$ et pour $x=\sqrt{3}$
2. Déterminer la valeur de $x$ pour laquelle $A(x)=0$, $A(x)=6$.

SITUATION PROBLEME :

ACTIVITE D’APPRENTISSAGE :

1. Considérons le problème d’entrée, et posons $AM=x$ et appelons $A(x)$ l’aire de la partie en jaune.

   1. Pour $x=0$ ; quelle est alors l’aire $A(0)$ ?
   2. Pour $x=2$ ; quelle est alors l’aire $A(2)$ ?
   3. Pour $x=8$ ; quelle est alors l’aire $A(8)$ ?
2. Exprimer en fonction de $x$ l’aire du carré AMNP.
3. Exprimer en fonction de $x$ l’aire du triangle NDC.
4. En déduire l’expression de $A(x)$ en fonction de $x$. Calculer $A(0)$, $A(2)$, $A(8)$.
5. Retrouve-t-on les résultats obtenus précédent ?

RESUME :

I.  GENERALITES SUR LES APPLICATIONS

1.  DEFINITIONS

a.  APPLICATION : Une application $f$ est la donnée :

• d’un ensemble de départ A,
• d’un ensemble d’arrivée B,
• d’une relation ou d’une formule associant chaque élément $x$ de A à un unique élément $y=f(x)$ de B.

EXEMPLES : $f_1:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ ; $x\mapsto x^2$ ; $f_2:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^+$ ; $x\mapsto x^2$ sont des applications. Par contre $f_3:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ ; $x\mapsto \sqrt{x}$

A = l’ensemble des élèves d’une classe ayant composé en maths

B = l’ensemble des nombres compris en 0 et 20 inclus.

La relation qui à chaque élève associe sa note en maths est une application.

b.  IMAGE ET ANTECEDENT

Si : $f:A\to B$ ; $x\mapsto f(x)$ est une application, alors :

• on appelle image de $x$ par $f$ l’élément $f(x)$.
• Si X est une partie de A, on note $f(X)=\{f(x),\ x\in X\}$ l’image de X par $f$.
• Si $y=f(x)$, alors on dit que $x$ est un antécédent de $y$

EXEMPLE :

On a $f_1(-5)=25$ , 25 est l’image de -5 et -5 est l’antécédent de 25

2.  PROPRIETES GENERALES

DEFINITION

Soit   Si : $f:A\to B$ est une application, alors :

• On dit que $f$ est injective si tout $y\in B$ possède au plus un antécédent
• On dit que $f$ est surjective si tout $y\in B$ possède au moins un antécédent.
• On dit que $f$ est bijective si tout $y\in B$ possède exactement un antécédent. On note alors cet élément $x=f^{-1}(y)$ et l’application $f^{-1}:B\to A$ est appelée application réciproque de $f$

N.B :

• Pour savoir si $f$ est injective, on suppose $f(x)=f(x')$ et on montre que $x=x'$
• Pour savoir si $f$ est surjective, on se donne $y\in B$ et on cherche une solution $x\in A$ de l’équation $y=f(x)$.
• Pour savoir si $f$ est bijective, on montre que $y=f(x)$ possède une unique solution $x\in A$.

EXEMPLES :

$f_1:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ ; $x\mapsto x^2$

• $f_1$ n’est pas injective car par exemple 1 et -1 ont la même image qui est 1
• $f_1$ n’est pas surjective car par exemple -1 n’a pas d’antécédent

$f_2:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^+$ ; $x\mapsto x^2$

• $f_2$ n’est pas injective
• $f_2$ est surjective car l’équation $y=f(x)$ a une solution qui est : $\sqrt{y}$.

$g:\mathbb{R}^+\to\mathbb{R}^+$ est surjective et injective. C’est une bijection.

II.  LA NOTION DE FONCTION

1.  DEFINITION

Nous avons vu en classe de seconde qu’une fonction $f:A\to B$ (A et B étant des ensembles non vides) est une correspondance de A→B qui à chaque élément de A associe 1 ou 0 élément de B.

A est appelé ensemble de départ et B est appelé ensemble d’arrivée. Les éléments de A sont les antécédents tandis que les éléments de B sont les images.

Lorsque A et B sont des parties de $\mathbb{R}$, on dit que la fonction est une fonction numérique d’une variable réelle.

EXEMPLES : A proposer par les apprenants.

REMARQUE :

Toute fonction n’est pas une application mais toute application est une fonction.

2.  ENSEMBLE DE DEFINITION D’UNE FONCTION

L’ensemble de définition d’une fonction f notée Df est l’ensemble des éléments de l’ensemble de départ qui ont une image par f.

Exemples :

$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^+$ ; $x\mapsto x^2-\frac{3}{5}x+4$     $D_f=\mathbb{R}$

$g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^+$ ; $x\mapsto \frac{3x-2}{5-2x}$     $D_g=\mathbb{R}\setminus\left\{\frac{5}{2}\right\}$

N.B :

la détermination des domaines dans ces cas est liée aux contraintes de calculs dans $\mathbb{R}$.

EXERCICES D’APPLICATIONS :

LECON 2 : Opérations sur les fonctions

COMPETENCES A ACQUERIR PAR LES ELEVES :

A la fin de cette leçon, l’élève sera capable de :

• Faire la somme, le produit de deux polynômes ;
• Composer deux applications ;
• Déterminer l’ensemble de définition d’une somme, d’un produit, d’un quotient et de la composée de deux fonctions numériques.

PRE-REQUIS :

Soit la fonction $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ ; $x\mapsto \frac{x^2-3x+2}{x-2}$ ,

1. calculer les images par f des nombres -1, $-\frac{5}{2}$, 0, 2, 6
2. déterminer le domaine de définition de f
3. écrire sous forme d’intervalle le Df

ACTIVITE D’APPRENTISSAGE :

Soit les fonctions suivantes $f(x)=\frac{x^2-3x+2}{x-2}$ et $g(x)=x^2+1$

1. Donne le Df sous forme d’intervalle
2. Soit la fonction $h: ]2;+\infty[\ \to\ \mathbb{R}$ ; $x\mapsto \frac{x^2-3x+2}{x-2}$ , la fonction h est-elle égale à la fonction f ? que peut-on dire des fonctions h et f.
3. Calcule $f(3)$, $g(2)$, $g(f(3))$ et $f(g(3))$ et conclure.
4. Calcule : $f(x)+g(x)$ , $f(x)\cdot g(x)$ et $ \frac{f(x)}{g(x)}$

RESUME :

1.  RESTRICTION

Soit f : E → F une fonction où E et F sont deux ensembles non vides. Soit A une partie de E. On appelle restriction à A de la fonction f; la fonction g définie de A vers F par pour tout x ∈ A, g(x) = f(x) on note g = $f_{|A}$

EXEMPLE :

La fonction $h: ]2;+\infty[\to\mathbb{R}$ ; $x\mapsto \frac{x^2-3x+2}{x-2}$ est la restriction sur $]2;+\infty[$ de la fonction f :

$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ ; $x\mapsto \frac{x^2-3x+2}{x-2}$

2.  PROLONGEMENT

Soit f : E → F une fonction où E et F sont deux ensembles non vides. Soit A une partie de E, si la fonction g définie de A vers F est la restriction à A de la fonction f alors la fonction f est un prolongement de la fonction g.

EXEMPLE :

Soit la fonction $h:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ ; $x\mapsto |x|$ ; deux restrictions de la fonction h sont :

• $h_1:\mathbb{R}^+\to\mathbb{R}$ ; $x\mapsto x$
• $h_2:\mathbb{R}^+\to\mathbb{R}$ ; $x\mapsto -x$

3.  SOMME, PRODUIT, QUOTIENT

Soient f et g deux fonctions numériques d’ensembles de définition respectifs Df et Dg. On appelle :

• Somme de f et g la fonction notée $f+g$ définie par : $(f+g)(x)=f(x)+g(x)$
• Produit de f et g la fonction notée $f\cdot g$ définie par : $(f\cdot g)(x)=f(x)\cdot g(x)$
• Inverse de f la fonction notée $\frac{1}{f}$ définie par : $\left(\frac{1}{f}\right)(x)=\frac{1}{f(x)}$ avec $f(x)\neq 0$
• Quotient de f et g la fonction notée $\frac{f}{g}$ définie par : $\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{f(x)}{g(x)}$ avec $g(x)\neq 0$

N.B : $D_{f+g}=D_{f\cdot g}=D_f\cap D_g$ ; $D_{\frac{1}{f}}=D_f\setminus\{x\in D_f,\ f(x)=0\}$ ; $D_{\frac{f}{g}}=D_f\cap D_g\setminus\{x\in D_g,\ g(x)=0\}$

4.  COMPOSITION

Soient f et g deux fonctions numériques d’ensembles de définition respectifs Df et Dg. On appelle composée de f et g la fonction notée $f\circ g$ définie par : $(f\circ g)(x)=f(g(x)).$

$(f\circ g)(x)$ existe si et seulement si

$\begin{cases} x\in D_g \\ g(x)\in D_f \end{cases}$

Exemple : $f(x)=\frac{x+5}{x-2}$ et $g(x)=\sqrt{x-1}$

$(f\circ g)(x)=\frac{\sqrt{x-1}+5}{\sqrt{x-1}-2}$

$\begin{cases} x\in D_g \\ g(x)\in D_f \end{cases}\iff \begin{cases} x\ge 1 \\ \sqrt{x-1}\neq 2 \end{cases}\iff x\in [1;5[\cup]5;+\infty[$

Donc $D_{f\circ g}=[1;5[\cup]5;+\infty[$

$(g\circ f)(x)=\sqrt{\frac{x+5}{x-2}-1}$

On calcule $(f\circ g)(10)=8$ et $(g\circ f)(10)=\sqrt{\frac{7}{8}}$ et note en remarque que :

• En général, $f\circ g\neq g\circ f$

$f\circ f=id$ ; $f\circ id=f$ ; $id\circ f=f$

On appelle application réciproque de f l’application notée $f^{-1}$ et qui est telle que $f^{-1}\circ f=id$.

EXERCICES D’APPLICATIONS :

LECON 3 : Courbe d’une fonction

COMPETENCES A ACQUERIR PAR LES ELEVES :

A la fin de cette leçon, l’élève sera capable de :

• Montrer qu’un point de cordonnées connues appartient à la courbe d’une fonction ;
• Conjecturer l’ensemble de définition ; le sens des variations ; les asymptotes éventuelles, les éléments de symétrie par lecture graphique.

ACTIVITE D’APPRENTISSAGE :

ACTIVITÉ 1

1. En utilisant l’expression algébrique de $A(x)$ obtenue à la leçon 1, Compléter le tableau suivant :

2. Dans un repère orthogonal (O,I,J) tel que OI = 2cm et OJ = 0,5cm, construire les points de cordonnées ( x , A( x ) ) obtenus dans la tableau ci-dessus. On appelle C l’ensemble des points M de coordonnées ( x , A(x) ) pour x appartenant à l’intervalle [0,8]. Tracer la courbe C .
3. Observer le point le plus « bas » de la courbe C ; quelles sont ses coordonnées ? Qu’en déduit-on pour l’aire A( x ) ?

ACTIVITÉ 2

1. Déterminer le domaine de définition de la fonction représentée par la courbe ci-dessus
2. Dressez son tableau de variations
3. Marque deux points M et N sur la courbe, puis construis leurs symétriques par rapport au point A(1 ; -1). Que peut-on dire du point A ?

RESUME :

1.  COURBE REPRESENTATIVE D’UNE FONCTION

Soit f une fonction numérique d’ensemble de définition Df. On appelle courbe représentative de f ou représentation graphique de f l’ensemble des points M de coordonnées (x, f(x)) tels que x ∈ Df. On note généralement Cf la courbe représentative de f.

2.  IMAGE DIRECTE-IMAGE RECIPROQUE D’UN INTERVALLE PAR UNE FONCTION

Soient E et F deux ensembles non vides, A une partie non vide de E, B une partie non vide de F et f : E → F une fonction.

a.  On appelle image directe de A par f et on note f(A) , l’ensemble des éléments de F qui sont images des éléments de A par f.

b.  On appelle image réciproque de B par f et on note $f^{-1}(B)$ l’ensemble des éléments de E qui sont antécédents des éléments de B par f.

REMARQUES ET NOTATION

• f(A) est une partie de F. $f(A)=\{f(x)\ / \ x\in A\}$
• $f^{-1}(B)=\{x\in E\ / \ f(x)\in B\}$

3.  VARIATIONS D’UNE FONCTION

4.  RECONNAITRE UNE INJECTION, UNE SURJECTION OU UNE BIJECTION A PARTIR DE LA COURBE

En considérant la figure ci-dessus, dire sur chaque graphique si la fonction représentée est injective, surjective ou bijection

LECON 4 : Propriétés des fonctions : Parité, éléments de symétrie, périodicité

COMPETENCES A ACQUERIR PAR LES ELEVES :

A la fin de cette leçon, l’élève sera capable de :

• Montrer qu’une fonction est paire ; impaire ou périodique.
• Justifier qu’un point est centre de symétrie d’une courbe.
• Justifier qu’une droite d’équation x = a est un axe de symétrie d’une courbe.

ACTIVITE D’APPRENTISSAGE :

ACTIVITÉ 1 :

Soit les fonctions suivantes : $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , $x\mapsto -3x^2-2$ ; $h:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , $x\mapsto -\frac{2}{5}x^3$ ; $g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , $x\mapsto \frac{3x+2}{5-2x}$

1. Calcule f(-5) et f(5). Quel constat peut-on faire ? compare f(-x) et f(x) .
2. Compare h(-x) et h(x)
3. Peut-on avoir un résultat similaire avec g ?

ACTIVITÉ 2 :

Soit la fonction $f(x)=\sin x$

1. Compare f(x) avec f(x + $2\pi$) ; f(x + $4\pi$) ; f(x + $2\pi k$)
2. Quelle conjecture peut-on faire ?

RESUME :

1.  FONCTION PAIRE – FONCTION IMPAIRE

Soit f une fonction, Df son domaine de définition on dit que :

• f est paire si pour tout x ∈ Df tel que -x ∈ Df on a f(-x) = f(x)
• f est impaire si pour tout x ∈ Df tel que -x ∈ Df on a f(-x) = - f(x)

EXEMPLE :

$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ est une fonction paire ; $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ est impaire

REMARQUE :

• La courbe représentative d’une fonction paire est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
• La courbe représentative d’une fonction impaire est symétrique par rapport à l’origine.

2.  FONCTION PERIODIQUE

soit f une fonction, d’ensemble de définition Df. Soit T un nombre réel strictement positif. On dit que f est périodique de période T si pour tout x ∈ Df tel que x + T ∈ Df on a : f(x+T) = f(x)

EXEMPLE :

les fonctions sinus et cosinus sont périodiques de périodes $2\pi$

3.  ELEMENTS DE SYMETRIE D’UNE COURBE

• centre de symétrie : Soit une f fonction, (Cf) sa courbe représentative. On dit que le point I(a, b) est centre de symétrie de (Cf) si pour tout x de Df tel que a - x et a + x appartiennent à Df, on a : $f(a-x)+f(a+x)=2b$.
• axe de symétrie : Soit une f fonction, (Cf) sa courbe représentative. On dit que la droite (D) d’équation x = a est un axe de symétrie de (Cf) si pour tout x de Df tel que a - x et a + x appartiennent à Df, on a : $f(a-x)=f(a+x)$ .

LECON 5 : Fonctions associées à une fonction donnée

COMPETENCES A ACQUERIR PAR LES ELEVES :

A la fin de cette leçon, l’élève sera capable :

• A partir de la courbe d’une fonction f, de représenter les fonctions : $x\mapsto f(x-a)$ ; $x\mapsto f(x)+b$ ; $x\mapsto f(x-a)+b$ ; $x\mapsto -f(x)$ ; $x\mapsto f(-x)$ ; $x\mapsto |f(x)|$ ; $x\mapsto f(|x|)$.
• De tirer quelques informations sur les courbes des fonctions associées à une fonction donnée ; sens des variations ; parité, éléments de symétrie ; etc.

PRE-REQUIS :

• Construire l’image d’un point par un translation
• Construire l’image d’un point par une symétrie

ACTIVITE D’APPRENTISSAGE :

ACTIVITÉ 1 :

On considère la courbe ci-dessous qui est la courbe d’une fonction f

1. Reproduis la courbe sur une feuille de papier puis construis en rouge son symétrique par rapport à l’axe des abscisses.
2. Complete le tableau puis place les points du tableau sur la figure. Que constates-tu ?

3. Est-ce possible de déterminer les variations de la fonction $x\mapsto -f(x)$ en fonction de celles de la fonction f ?

ACTIVITÉ 2 :

On considère la courbe ci-dessous qui est la courbe d’une fonction f

1. Reproduis la courbe sur une feuille de papier puis construis en rouge l’image de la courbe par la translation de vecteur $\vec{u}(2,1)$ .
2. Complete le tableau $f(x-2)+1$ puis place les points du tableau sur la figure. Que constates-tu ?

3. Est-ce possible de déterminer les variations de la fonction $x\mapsto f(x+2)+1$ en fonction de celles de la fonction f ?

RESUME :

1. La courbe de la fonction $x\mapsto -f(x)$ s’obtient de celle de f en faisant une symétrie par rapport à l’axe des abscisses. Ses variations sont contraires à celles de f.
2. La courbe de la fonction $x\mapsto f(-x)$ s’obtient de celle de f en faisant une symétrie par rapport à l’axe des ordonnées. Ses variations sont contraires à celles de f.
3. La courbe de la fonction $x\mapsto f(x-a)$ s’obtient de celle de f en faisant une translation de vecteur $\vec{u}(a,0)$ . Ses variations sont identiques à celles de f.
4. La courbe de la fonction $x\mapsto f(x)+b$ s’obtient de celle de f en faisant une translation de vecteur $\vec{u}(0,b)$ . Ses variations sont identiques à celles de f.
5. La courbe de la fonction $x\mapsto f(x-a)+b$ s’obtient de celle de f en faisant une translation de vecteur $\vec{u}(a,b)$ . Ses variations sont identiques à celles de f.

EXERCICES D’APPLICATIONS :