Sujet de maths 5e séquence 1 D

EXERCICE 1 6 points

I- Une machine fabrique des tiges métalliques. On contrôle le fonctionnement de cette machine en prélevant 100 tiges au hasard et en mesurant leurs longueurs en millimètres. Les résultats de ces mesures sont consignés dans le tableau suivant :

1. Dresser le tableau des effectifs cumulés croissants et décroissants. 1,5pt
2. Construire le diagramme des effectifs cumulés croissants et décroissants. 1,5pt
3. Calculer la médiane de cette série statistique. 1pt

II-

Une urne contient six boules blanches, quatre boules vertes et deux boules rouges toutes indiscernables au toucher. On tire successivement et sans remise trois boules de l’urne.

1. Déterminer le nombre de tirages possibles. 0,5pt
2. Déterminer le nombre de tirages où l’on a :
   1. 3 boules de même couleur. 0,5pt
   2. 2 boules blanches. 0,5pt
   3. 3 boules différentes. 0,5pt

EXERCICE 2 4 points

Soit $(U_n)$ la suite numérique définie par $\begin{cases} U_0=1\\ U_{n+1}=\dfrac{3}{4}U_n+\dfrac{5}{4} \end{cases}$.

On considère le plan rapporté à un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$.

1. Représenter les cinq (05) premiers termes de cette suite sur l’axe des abscisses. 1pt
2. Faire une conjecture sur le sens de variation de cette suite $(U_n)$. 0,25pt
3. Soit la suite $(V_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $V_n=U_n-5$.
   1. Montrer que la suite $(V_n)$ est géométrique et en préciser la raison $q$ et le premier terme $V_0$. 0,75pt
   2. Exprimer $V_n$ puis $U_n$ en fonction de $n$. 0,5pt
4. On pose $S_n=U_0+U_1+\cdots+U_n$ et $T_n=V_0+V_1+\cdots+V_n$.
   1. Exprimer $T_n$ en fonction de $n$ puis exprimer $S_n$ en fonction de $T_n$. 1pt
   2. En déduire l’expression de $S_n$ en fonction de $n$. 0,5pt

PROBLEME 10 points

Les parties A et B sont indépendantes.

Partie A (3,5 points)

1. $E$ et $F$ sont deux points tels que $EF=4$. $G$ est le barycentre des points pondérés $(E;1)$ et $(F;3)$.
   1. Calculer les distances $EG$ et $FG$. 0,5pt
   2. Construire le point $G$. 0,5pt
   3. Déterminer et construire l’ensemble des points $M$ du plan tel que $ME^2+3MF^2=16$. 1pt

2. 1. En remarquant que $\dfrac{\pi}{12}=\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\pi}{4}$, calculer la valeur exacte de $\cos\dfrac{\pi}{12}$ et $\sin\dfrac{\pi}{12}$. 0,5pt
   2. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation : $2\sqrt{3}\cos2x+2\sin2x=\sqrt{6}+\sqrt{2}$. 1pt

Partie B (6,5 points)

Le plan est muni d’un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$. (Unité 1cm sur les axes).

On considère la fonction de la variable réelle $x$ définie sur $D=]1;+\infty[$ par $f(x)=\dfrac{x^2+x+2}{x-1}$ et $(C)$ sa courbe représentative.

1. 1. Calculer les limites de $f$ aux bornes de son domaine d’étude. 0,5pt
   2. Calculer la dérivée $f'$ de $f$ et étudier les variations de $f$ sur $D$. 1pt
   3. En déduire le tableau de variation de $f$. 0,5pt
2. 1. Vérifier que pour tout $x$ de $D$, $f(x)=x+2+\dfrac{4}{x-1}$. 0,5pt
   2. En déduire que $f$ admet une asymptote oblique $(\Delta)$ dont on précisera sa position par rapport à $(C)$ sur $D$. 1pt
   3. Déterminer les coordonnées de $\Omega$, point d’intersection des asymptotes à $(C)$, et nommer le point $\Omega$. 0,5pt
   4. Déterminer l’équation de la tangente $(T)$ à $(C)$ au point d’abscisse $2$. 0,5pt
3. Tracer $(\Delta)$, $(T)$ et $(C)$. 1,5pt
4. On note $g$, le prolongement de $f$ sur $]-\infty;1[\cup]1;+\infty[$ et $(C')$ sa courbe représentative. Construire $(C')$ dans le même repère que précédemment. 0,5pt