Sujet de maths 2e séquence 1ère D

PARTIE A : ÉVALUATION DES RESSOURCES 15,5 points

EXERCICE 1 : 4 points

1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation : $2t^2+\sqrt{3}t-3=0$. 1 pt

2. Déterminer deux nombres réels $r$ et $\varphi$ tels que, pour tout $x\in\mathbb{R}$, on ait :

$\sqrt{3}\cos x+\sin x=r\cos(x-\varphi)$. 0,5 pt

3. (a) Utiliser les résultats des questions 1 et 2 pour résoudre dans l’intervalle $[0;2\pi[$ l’équation :

$(E)\ :\ (2\sin^2x+\sqrt{3}\sin x-3)(\sqrt{3}\cos x+\sin x-\sqrt{2})=0$. 1,75 pt

(b) Représenter les images des solutions de $(E)$ sur un cercle trigonométrique. 0,75 pt

EXERCICE 2 : 5 points

On considère la fonction numérique définie pour tout réel $x\ne-1$ par : $f(x)=\dfrac{x^2}{x+1}$. On note $(C_f)$, dans le plan rapporté à un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$, la courbe représentative de $f$.

1. Calculer les limites de $f$ aux bornes de son ensemble de définition. 1 pt

2. Déterminer les réels $a$, $b$ et $c$ tels que, pour tout $x\ne-1$ : $f(x)=ax+b+\dfrac{c}{x+1}$. 0,5 pt

3. Montrer que la droite $(D)$ d’équation $y=x-1$ est une asymptote à $(C_f)$, puis déterminer une équation de l’autre asymptote. 0,75 pt

4. Montrer que le point $\Omega(-1;-2)$ est centre de symétrie de $(C_f)$. 0,75 pt

5. (a) Montrer que pour tout $x\ne-1$ : $f'(x)=\dfrac{x(x+2)}{(x+1)^2}$. 0,5 pt

(b) En déduire le sens de variation de $f$ et dresser son tableau de variation. 0,75 pt

6. Construire la courbe $(C_f)$ ainsi que ses asymptotes. 0,75 pt

EXERCICE 3 : 3,5 points

1. Soient $A$ et $B$ deux points du plan tels que $AB=5$. On désigne par $I$ le milieu de $[AB]$.

(a) Déterminer l’ensemble $\mathcal{E}_1$ des points $M$ du plan tels que : $MA^2+MB^2=25$. 1 pt

(b) Déterminer l’ensemble $\mathcal{E}_2$ des points $M$ du plan tels que : $MA^2-MB^2=0$. 0,75 pt

2. Le plan est muni d’un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$. Soient les points $A(-2;3)$ et $B(4;-1)$. On note $I$ le point tel que $B$ soit le symétrique de $A$ par rapport à $I$.

(a) Déterminer les coordonnées du point $I$. 0,5 pt

(b) Montrer que pour tout point $M$ du plan : $\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=MI^2-\dfrac{AB^2}{4}$. 0,5 pt

(c) Déterminer l’ensemble $\mathcal{E}_3$ des points $M$ du plan tels que : $\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=-9$. 0,75 pt

EXERCICE 4 : 3 points

Lors des compositions de fin du $1^{er}$ trimestre, on constate que $25$ élèves ont eu au moins $10/20$ en Maths, $35$ en Physique et $45$ dans l’une ou l’autre de ces matières.

On désigne par $x$, $y$ et $z$ le nombre d’élèves qui respectivement ont eu au moins $10/20$ en Maths exclusivement, en Physique exclusivement et dans les deux matières.

1. (a) Justifier que $x$, $y$ et $z$ vérifient le système $(S)$ : 0,75 pt

$(S)\ \begin{cases} x+y+z=45\\ x+z=25\\ y+z=35 \end{cases}$

(b) En déduire les valeurs de $x$, $y$ et $z$. 0,75 pt

2. Cinq élèves de cette classe dont $2$ filles sont candidats à l’élection d’un bureau constitué d’un chef, de son adjoint et d’un délégué. On admet qu’il n’y a pas de cumul de poste.

(a) Combien peut-on avoir de bureaux ayant une seule fille ? 0,75 pt

(b) Combien peut-on avoir de bureaux ayant un homme comme délégué ? 0,75 pt

PARTIE B : ÉVALUATION DES COMPÉTENCES 4,5 points

Compétence visée : Lecture, écriture, interaction verbale et interprétation des données comportant des chiffres.

SITUATION :

Trois usines $A$, $B$ et $C$ fabriquent des machines agricoles. L’usine $A$ peut produire en un mois entre $0$ et $40$ machines ; l’usine $B$ peut produire en un mois entre $0$ et $50$ machines ; l’usine $C$ peut produire en un mois entre $40$ et $160$ machines agricoles.

On a modélisé le bénéfice de chaque usine $A$, $B$ et $C$, exprimé en milliers de francs, par les fonctions respectives $f$, $g$ et $h$.

Le bénéfice réalisé par l’usine $A$, exprimé en milliers de francs, est modélisé par la fonction $f$ définie pour tout nombre réel $x\in[0;40]$ par :

$f(x)=-30x^2+1200x+4000$.

Le bénéfice réalisé par l’usine $B$, exprimé en milliers de francs, est modélisé par la fonction $g$ définie pour tout nombre réel $x\in[0;50]$ par :

$g(x)=x^3-96x^2+2484x-10000$.

Le bénéfice réalisé par l’usine $C$, exprimé en milliers de francs, est modélisé par la fonction $h$ définie pour tout nombre réel $x\in[40;160]$ par :

$h(x)=-x+2000-\dfrac{6400}{x}$.

Tâches :

1. Calculer le bénéfice maximal de l’usine $A$. 1,5 pt

2. Calculer le bénéfice maximal de l’usine $B$. 1,5 pt

3. Calculer le bénéfice maximal de l’usine $C$. 1,5 pt