Contrôle de maths 1ère séquence Première D Cameroun

Exercice 1 (04 points)

1. Résoudre dans $\mathbb{R}^3$ par la méthode du pivot de Gauss le système : 2 pts
   {

   $x - 3y + 2z = 1$

   $3x + 2y + z = 10$

   $5x + y - z = 4$

2. Discuter suivant les valeurs du nombre réel $m$, l’existence et le nombre de solutions de l’équation : $(m-1)x^2 - 4 - 5m = -m - 4x$. 2 pts

Exercice 2 (02,5 points)

Les élèves d’une classe de première disposent de deux options sportives : l’athlétisme et la natation. 27 élèves pratiquent l’athlétisme, 29 élèves pratiquent la natation, 11 élèves pratiquent les deux sports et 05 élèves ne pratiquent aucun des deux sports.

1. Combien d’élèves pratiquent uniquement l’athlétisme ? 0,5 pt
2. Combien d’élèves pratiquent uniquement la natation ? 0,5 pt
3. Combien d’élèves pratiquent au moins les deux sports ? 0,75 pt
4. Combien d’élèves y a-t-il dans cette classe ? 0,75 pt

Exercice 3 (03,5 points)

$ABC$ est un triangle. $I$ et $J$ sont deux points définis par : $\overrightarrow{IB}=-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{IC}$ ; $\overrightarrow{JA}=-\dfrac{2}{3}\overrightarrow{JC}$.

1. Faire la figure. 0,5 pt
2. Justifier que $I=\text{bar}\{(B,2),(C,1)\}$ et que $J=\text{bar}\{(A,3),(C,1)\}$. 1 pt
3. Soit $G$ le barycentre des points pondérés $(A,3)$, $(B,4)$ et $(C,2)$.
   1. Écrire $G$ comme barycentre des points $A$ et $I$ d’une part et comme barycentre des points $B$ et $J$ d’autre part. 1,5 pt
   2. En déduire que les droites $(AI)$ et $(BJ)$ sont sécantes. 0,5 pt

Problème (10 points)

Les parties A et B sont indépendantes.

Partie A (05 points)

On considère le polynôme $P(x)=2x^3+11x^2+2x-15$.

1. Vérifier que $1$ est une racine de $P(x)$. 0,5 pt
2. Montrer que $P(x)=(x-1)(2x^2+13x+15)$. 1 pt
3. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation : $2x^2+13x+15=0$. 1 pt
4. Dresser le tableau de signe du polynôme $P(x)$, puis donner l’ensemble solution de l’inéquation $P(x)>0$. 1,5 pt
5. En déduire de la question 3 les solutions de l’équation : $2\left(x+\dfrac{5}{3}\right)^2 +13\left(x+\dfrac{5}{3}\right)+15=0$. 1 pt

Partie B (05 points)

Soit $A$ et $B$ deux points tels que $AB=4\,\text{cm}$. Soit $I$ et $G$ deux points du plan tels que $I$ soit le milieu de $[AB]$ et $3\overrightarrow{GA}+2\overrightarrow{GB}=\vec{0}$.

1. Que représente $G$ pour les points $A$ et $B$ ? 0,5 pt
2. Calculer $GA$ et $GB$. 1 pt
3. On considère l’ensemble $(\mathcal{E})$ des points $M$ du plan tels que : $3MA^2+2MB^2=60$.
   1. Montrer que $3MA^2+2MB^2=5MG^2-3GA^2-2GB^2$. 1 pt
   2. Déterminer et construire l’ensemble $(\mathcal{E})$. 1 pt
4. Déterminer et construire l’ensemble des points $M$ du plan tels que : $MA^2-MB^2=2AB^2$. 1,5 pt