1ère D : séquence 1 en maths

Exercice 1 [2,5 points]

Soit $m$ un nombre réel. On considère l’équation $(E)$ : $mx^2 + (m + 1)x + 2m + 2 = 0$

1. Résoudre cette équation pour $m = 0$ 0,5 pt
2. On suppose que $m \ne 0$. Déterminer les valeurs du nombre réel $m$ pour lesquelles : 1 pt
   1. L’équation n’a pas de solution.
   2. L’équation a deux solutions de signes contraires.
   3. L’équation a deux solutions négatives. 0,5 pt

Exercice 2 [4,5 points]

Soit le polynôme $P$ défini par : $P(x) = -2x^3 + 3x^2 + 5x - 6$.

1. Calculer $P(2)$ et conclure. 0,5 pt
2. Écrire $P(x)$ sous la forme $P(x) = (x - 2)(ax^2 + bx + c)$ où $a$, $b$ et $c$ sont des réels à déterminer. 1 pt
3. Écrire $P(x)$ sous forme d’un produit de facteurs du premier degré. 1,25 pt
4. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation $P(x) = 0$. 0,5 pt
5. Dresser le tableau de signe de $P(x)$. 0,75 pt
6. En déduire la résolution dans $\mathbb{R}$ de l’inéquation $P(x) < 0$ 0,5 pt

Exercice 3 [4 points]

1. Résoudre dans $\mathbb{R}^3$ par la méthode du pivot de Gauss le système 2,25 pts
   $(S)$

   {

   $x + y + z \;=\; 75$

   $2x + y + z \;=\; 105$

   $6x + 3y + 4z \;=\; 340$

2. Des hommes d’affaires organisent une partie de chasse aux buffles, aux pigeons et aux oies.

   À leur retour, on compte au total 75 têtes et 210 pattes d’animaux tués. Le transporteur perçoit une somme de 170 000 FCFA à raison de 3 000 FCFA par buffle, 1 500 FCFA par pigeon et 2 000 FCFA par oie.

   NB : Un buffle a 4 pattes, un pigeon a 2 pattes et une oie a aussi 2 pattes.

   1. En désignant par $x$, $y$ et $z$ le nombres respectifs de buffles, de pigeons et d’oies, montrer que $x$, $y$ et $z$ vérifient le système $(S)$. 1 pt
   2. Déduire le nombre d’animaux de chaque espèce. 0,75 pt

Problème [9 points]

Le problème comporte trois parties I, II et III indépendantes.

I/

1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ : 1 × 2 = 2 pts
   1. $\sqrt{2x - 3} = x - 3$ ;
   2. $\sqrt{4x + 1} \le x - 1$.
2. Déterminer les valeurs des réels $x$ et $y$ tels que 1,5 pt
   {

   $\dfrac{x^2}{y} + \dfrac{y^2}{x} = 0$

   $xy = -1$

II/

1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation $(E)$ : $x^2 + 102x - 880 = 0$. 1 pt
2. Mme PRISCILLE a placé une somme de 45 000 Frs dans une banque au taux de $x\%$ pendant un an. La banque ayant connu des problèmes, elle a retiré son capital ainsi que les intérêts annuels et a placé toute la somme ainsi obtenue dans une autre banque au taux d’intérêt de $y\%$ pendant un an. Elle a alors obtenu un intérêt de 4 860 Frs dans cette dernière banque.
   1. Exprimer le capital total $C$ obtenu après la première année en fonction de $x$. 0,5 pt
   2. Exprimer l’intérêt $I$ obtenu à la deuxième année en fonction de $x$ et $y$. 0,5 pt
   3. Sachant que $y - x = 2$, montrer que $x$ vérifie l’équation $x^2 + 102x - 880 = 0$. 1 pt
   4. En déduire les valeurs de $x$ et de $y$. 0,5 pt

III/

1. Soient $\vec{u} = 3\overrightarrow{MA} - 3\overrightarrow{MB}$ et $\vec{w} = 6\overrightarrow{MA} + 4\overrightarrow{MB} - 7\overrightarrow{MC}$ deux vecteurs.
   1. Montrer que le vecteur $\vec{u}$ est indépendant du point $M$. 0,5 pt
   2. On pose $G = \text{bar}\{(A,6),(B,4),(C,-7)\}$. Réduire le vecteur $\vec{w}$. 0,5 pt
2. Soient $A$, $B$ et $I$ trois points du plan tels que $AB = 4\,\text{cm}$ et $I$ est le milieu de $[AB]$.
   1. Construire le point $G$ barycentre des points pondérés $(A,2)$ et $(B,-1)$. 0,5 pt
   2. Écrire $I$ comme barycentre de $(G,\alpha)$ et $(I,\beta)$ où $\alpha$ et $\beta$ sont à déterminer. 0,5 pt

PARTIE A : ÉVALUATION DES RESSOURCES (15,5 points)

Exercice 1 02,5 points

On considère le polynôme $P$ défini par : $P(x) = 9x^3 + 20x^2 - 111x + 70$ et l’équation $(E)$ : $9x^2 - 25x + 14 = 0$.

1. 1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation $(E)$. 0,75 pt
   2. En déduire la résolution dans $\mathbb{R}$ de l’équation $\sqrt{x + 2} = 3x - 4$. 0,5 pt
2. 1. Vérifier que $-5$ est une racine du polynôme $P$. 0,25 pt
   2. En déduire de la question 1a) les solutions de l’équation $P(x) = 0$. 0,25 pt
   3. Résoudre alors dans $\mathbb{R}$ l’inéquation $P(x) > 0$. 0,75 pt

Exercice 2 04 points

1. Sachant que $\cos\left(\dfrac{\pi}{5}\right)=\dfrac{1+\sqrt{5}}{4}$, calculer la valeur exacte de $\cos\left(\dfrac{2\pi}{5}\right)$ et de $\cos\left(\dfrac{3\pi}{5}\right)$. 1 pt
2. 1. Montrer que $\tan(x)=\dfrac{1-\cos(2x)}{\sin(2x)}$ et en déduire la valeur exacte de $\tan\left(\dfrac{\pi}{12}\right)$ et de $\tan\left(\dfrac{\pi}{8}\right)$. 1,5 pt
   2. Démontrer que $\tan(3x)=\tan(x)\dfrac{3-\tan^2(x)}{1-3\tan^2(x)}$ et en déduire la valeur exacte de $\tan\left(\dfrac{3\pi}{8}\right)$. 1,5 pt

Exercice 3 04,5 points

1. Vérifier que $\sqrt{3+2\sqrt{2}} = 1 + \sqrt{2}$. 0,25 pt
2. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation : $2x^2 + (1-\sqrt{2})x - \dfrac{\sqrt{2}}{2} = 0$. 1 pt
3. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’inéquation : $2x^2 + (1-\sqrt{2})x - \dfrac{\sqrt{2}}{2} \le 0$. 0,75 pt
4. Déduire de la question 2) la résolution dans $\mathbb{R}$ de l’équation : $2\sin^2(x) + (1-\sqrt{2})\sin(x) - \dfrac{\sqrt{2}}{2} = 0$. 1 pt
5. Déduire de la question précédente la résolution dans $]-\pi,\pi]$ de l’inéquation : $2\sin^2(x) + (1-\sqrt{2})\sin(x) - \dfrac{\sqrt{2}}{2} \le 0$. 1,5 pt

Exercice 4 (Série D uniquement) 03,5 points

On considère l’équation $(E)$ : $(\sqrt{6}-\sqrt{2})\cos(2x) - (\sqrt{6}+\sqrt{2})\sin(2x) = -2\sqrt{2}$.

1. En remarquant que $\dfrac{\pi}{12}=\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\pi}{4}$, calculer les valeurs exactes de $\cos\left(\dfrac{\pi}{12}\right)$ et de $\sin\left(\dfrac{\pi}{12}\right)$. 1 pt
2. Résoudre dans $]-\pi,\pi]$ l’équation $(E)$. 1,5 pt
3. En déduire de l’équation $(E)$ les solutions dans l’intervalle $]-\pi,\pi]$ de l’inéquation : $(\sqrt{6}-\sqrt{2})\cos(2x) - (\sqrt{6}+\sqrt{2})\sin(2x) \ge -2\sqrt{2}$. 1 pt

Exercice 4 (Série C uniquement) 03,5 points

Le plan est muni d’un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$.

Soit $(C)$ le cercle de centre $\Omega(1;2)$ et de rayon $\sqrt{5}$, et $A(-1;3)$.

1. Donner une représentation paramétrique du cercle $(C)$. 0,5 pt
2. En déduire que $(C)$ a pour équation cartésienne : $x^2 + y^2 - 2x - 4y = 0$. 0,5 pt
3. Écrire une équation de la tangente $(\Delta)$ à $(C)$ en $A$. 0,5 pt
4. Soit $E(6;2)$. On veut déterminer les équations des tangentes à $(C)$ passant par le point $E$.

   On considère un point $M_0(x_0;y_0)$ quelconque de $(C)$.

   1. Vérifier que $E$ n’appartient pas à $(C)$. 0,25 pt
   2. Déterminer une équation de la tangente à $(C)$ en $M_0$. 0,25 pt
   3. Déterminer $x_0$ et $y_0$ pour que cette tangente passe par $E$. 1 pt
   4. En déduire une équation des tangentes à $(C)$ passant par le point $E$. 0,5 pt

PARTIE B : ÉVALUATION DES COMPÉTENCES (04,5 points)

Situation

Madame EMAN a placé dans une banque pendant deux ans la somme de 70 000 Fcfa à un taux annuel de $x\%$, à intérêts composés (c’est-à-dire à la fin de chaque année, les intérêts produits s’ajoutent au capital pour former le nouveau capital).

Au bout de deux années, elle retire 79 391 Fcfa. Après retrait de cet argent, elle devrait partager équitablement la somme de 39 200 Fcfa entre un certain nombre d’enfants l’ayant aidée pour effectuer certains travaux. Quelques instants après, deux enfants s’ajoutent et la part de chacun diminue de 2 240 Fcfa.

Son mari monsieur EMAN vient d’acheter un terrain rectangulaire de périmètre 82 mètres et d’aire 6 400 mètres carrés.

Tâches

1. Déterminer les dimensions du terrain de monsieur EMAN. 1,5 pt
2. Déterminer le taux annuel $x$ du placement de madame EMAN. 1,5 pt
3. Déterminer le nombre initial d’enfants à qui madame EMAN devrait partager l’argent. 1,5 pt

EXERCICE 1 (7 points)

1. Soit $a$, $b$, $c$ trois nombres réels tels que : $a + b + c = 0$.
   1. Factoriser : $a^3 + b^3$. 0,5 pt
   2. Montrer que : $a^2 + b^2 = c^2 - 2ab$. 0,5 pt
   3. En déduire que : $a^3 + b^3 + c^3 = 3abc$. 0,5 pt
   4. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation : $(-2x + 1)^3 + (3x - 4)^3 + (-x + 3)^3 = 0$. 1 pt
2. On donne : $A = (\sqrt{2} - 3)^2$.
   1. Développer et réduire : $(\sqrt{2} - 3)^2$. 0,5 pt
   2. Résoudre dans $\mathbb{R}$ : $x^2\sqrt{2} + (-1 - \sqrt{2})x + 1 - \sqrt{2} = 0$. 1 pt
   3. En déduire dans $\mathbb{R}$ l’ensemble solution de l’inéquation : $x^4\sqrt{2} + (1 - \sqrt{2})x^2 + 1 - \sqrt{2} \le 0$. 1,5 pt
3. Résoudre dans $\mathbb{R}^2$ le système :
   {

   $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{2}{15}$

   $xy = -15$

   1,5 pt

EXERCICE 2 (3 points)

On considère le polynôme $P$ défini par : $P(x) = x^5 + 6x^4 - 2x^3 - 36x^2 + x + 30$.

1. Montrer que : $P(x) = (x + 3)(x^2 + 4x - 5)(x^2 - x - 2)$. 0,5 pt
2. Trouver toutes les racines de $P$. 1 pt
3. Dresser le tableau de signe de $P$. 1 pt
4. En déduire la solution de l’inéquation : $\dfrac{x^5 + 7x^2 + 7x - 15}{x^2 - x - 2} \ge 0$. 0,5 pt

EXERCICE 3 (4,5 points)

On considère l’équation $(E)$ : $(m - 1)x^2 + (m - 1)x + m + 2 = 0$, où $m \in \mathbb{R}$.

1. Déterminer les valeurs de $m$ pour lesquelles $(E)$ admet des solutions. 1 pt
2. Sans déterminer les solutions de l’équation $(E)$, déterminer la somme et le produit de ces solutions. 1 pt
3. Étudier l’existence et le signe des solutions de l’équation $(E)$. 1,5 pt
4. Déterminer $m$, solution de l’équation : $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = 2$, où $x$ et $y$ sont des solutions de $(E)$ qu’on ne demande pas de calculer. 1 pt

Partie B : évaluation des compétences (4,5 points)

On doit être capable de modéliser une équation du second degré et de la résoudre.

Monsieur EDOA est un natif de SIMBOCK. Son fils aîné vient d’être admis à PREPA-VOGT ingénieur. Deux ans plus tard il partira terminer sa formation d’ingénieur à ANGERS en France. Pour cela monsieur EDOA devra réunir une rondelée somme de 20 908 800 Fcfa exactement.

Pour y arriver, EDOA vend son terrain rectangulaire au sieur SOCKENG. Tout ce qu’on sait de ce terrain est qu’il a une superficie de 1 728 m² et que son demi-périmètre vaut 84 m. EDOA lui laisse le terrain au prix négocié de 10 000 Fcfa le m².

Pour réunir le montant total de l’achat, les enfants de SOCKENG se répartissent équitablement la somme. Mais au moment du versement, deux enfants ne peuvent rien verser. La part de chacun des autres est alors augmentée de 432 000 Fcfa.

Une fois le montant de la vente en sa possession, monsieur EDOA dépose la somme totale dans un compte bloqué pendant deux ans au taux d’intérêt annuel de $t\%$. Tous ses avoirs lui seront reversés entièrement dans deux ans.

Tâches à assumer :

1. Déterminer les longueur et largeur du terrain vendu à monsieur SOCKENG. 1,5 pt
2. Trouver le nombre d’enfants de monsieur SOCKENG. 1,5 pt
3. Calculer le taux d’intérêt pratiqué sachant que sieur EDOA recevra exactement 20 908 800 Fcfa dans deux ans. 1,5 pt

ÉVALUATION DES RESSOURCES (15,5 points)

Exercice 1 (05,5 points)

1. Calculer $(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2$.
2. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation : $4x^2 + 2(\sqrt{3}+\sqrt{2})x + \sqrt{6} = 0$.
3. En déduire dans $\mathbb{R}$ puis dans $[0;2\pi]$ les solutions de l’équation : $(E)\;:\;-4\sin^2 x + 2(\sqrt{3}+\sqrt{2})\cos x + \sqrt{6} + 4 = 0$.
4. En déduire dans $[0;2\pi]$ l’inéquation : $(I)\;:\;-4\sin^2 x + 2(\sqrt{3}+\sqrt{2})\cos x + \sqrt{6} + 4 > 0$.
5. 1. Placer les images des solutions de $(E)$ sur le cercle trigonométrique (Unité : 3 cm sur les axes).
   2. Quelle est la nature du polygone obtenu ?
   3. Calculer la valeur exacte de l’aire de ce polygone.

Exercice 2 (05 points)

L’unité de longueur est le centimètre. $ABC$ est un triangle tel que $AB = AC = 5$ et $BC = 6$. $I$ est le milieu de $[BC]$ et $G$ le centre de gravité du triangle $ABC$.

1. 1. Faire une figure.
   2. Démontrer que $G$ est le barycentre des points pondérés $(A;1)$ et $(I;2)$.
2. 1. Calculer les longueurs $AI$, $GA$ et $GI$.
   2. Démontrer que pour tout point $M$ du plan : $MA^2 + 2MI^2 = 3MG^2 + \dfrac{32}{3}$.
   3. Déterminer l’ensemble $(E)$ des points $M$ du plan tels que : $MA^2 + 2MI^2 = 32$.
3. Soit $(F)$ l’ensemble des points $M$ du plan tels que : $\vec{MA}\cdot\vec{MI} - MA^2 = 0$.
   1. Déterminer $(F)$.
   2. Donner la position relative de $(E)$ et $(F)$.

Exercice 3 (05 points)

La courbe ci-dessous est celle d’une fonction dans un repère orthonormé $(O,I,J)$ du plan.

1. On suppose que $f(x)=\dfrac{a}{x}$, où $a$ est un réel. Déterminer la valeur de $a$.
2. La courbe d’une fonction $g$ se déduit de celle de $f$ par une translation de vecteur $\vec{u}=2\vec{i}+\vec{j}$. Tracer la courbe de $g$ dans le même repère que celle de $f$.
3. Montrer que $g(x)=\dfrac{x-3}{x-2}$.
4. Montrer que $g$ est une bijection de $\mathbb{R}\setminus\{2\}$ sur $\mathbb{R}\setminus\{1\}$.
5. Déterminer la fonction réciproque $g^{-1}$ de $g$.
6. Tracer la courbe de cette réciproque.
7. Montrer que le point $\Omega(2,1)$ est centre de symétrie de la courbe de $g$.
8. Dresser le tableau de variation de $f$ sur son ensemble de définition.

ÉVALUATION DES COMPÉTENCES (04,5 points)

M. Ambroise a acheté un terrain triangulaire en bordure d’une grande route entre les mains de son ami M. MAMAI SIDDI qui voulait le vendre à 600 000 FCFA mais n’a pas pu avoir un preneur à cause de son prix tellement cher, mais a été finalement vendu à 486 000 FCFA après avoir subi deux baisses successives de $t\%$.

M. Ambroise après avoir acheté ce terrain, se propose de construire une maison dont la fondation est rectangulaire (partie hachurée) à l’angle droit de son terrain triangulaire. Il voudrait que l’aire de la surface de sa maison soit la plus grande possible pour avoir une grande maison selon les exigences de sa famille grandiose.

M. Ambroise voudrait aussi couvrir sa cour (partie non hachurée) par des pavés carrés de côté 20 cm. $a$ et $x$ sont les dimensions de cette fondation rectangulaire telle que : $a = 30 - \dfrac{3}{5}x$.

Tâches

1. Calculer les différents taux de baisses subies par le terrain. 1,5 pt
2. Déterminer l’aire maximale de la surface de la fondation de cette maison. 1,5 pt
3. Combien de pavés doit-il prévoir au minimum pour paver sa cour ? 1,5 pt

Exercice 1 (06 points)

I. Système d’équations

1. Résoudre dans $\mathbb{R}^3$ le système suivant : 1,5 pt
   {

   $y - 2z = 0$

   $x - y - z = 0$

   $5x + 4y + 3z = 52\,000$

2. Cinq hommes, quatre femmes et trois enfants se partagent 52 000 F. La part d’un homme est égale à la somme des parts d’une femme et d’un enfant. La part de chaque enfant est la moitié de celle d’une femme. Déterminer la part d’un homme, celle d’une femme et celle d’un enfant. 1 pt

II. Équation du second degré

1. Calculer $227^2$. 0,5 pt
2. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation $(E)$ : $2x^2 + 203x - 1290 = 0$. 1 pt
3. Ambroise a placé une somme de 120 000 FCFA dans une banque au taux de $x\%$ pendant un an. La banque ayant connu des problèmes, Ambroise a retiré son capital ainsi que ses intérêts annuels et a placé toute la somme ainsi obtenue dans une autre banque au taux de $y\%$ pendant un an. Il a alors obtenu un intérêt de 9 540 FCFA dans cette dernière banque.
   1. Sachant que $y - x = 1{,}5$, démontrer que $x$ vérifie l’équation $(E)$ de 2). 1,5 pt
   2. Calculer le taux d’intérêt dans la première banque. 0,5 pt

Exercice 2 (08,5 points)

I. Équation trigonométrique

1. Calculer $(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2$. 0,5 pt
2. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation : $4x^2 + 2(\sqrt{3}+\sqrt{2})x + \sqrt{6} = 0$. 1 pt
3. En déduire dans $\mathbb{R}$ les solutions de l’équation : $-4\sin^2 x + 2(\sqrt{3}+\sqrt{2})\cos x + \sqrt{6} + 4 = 0$. 1,5 pt
4. 1. Placer les images des solutions de $(E)$ sur le cercle trigonométrique (Unité : 3 cm sur les axes). 0,75 pt
   2. Quelle est la nature du polygone obtenu ? 0,25 pt
   3. Calculer la valeur exacte de l’aire de ce polygone. 1 pt

II. Barycentre et ligne de niveau

Dans le plan on considère un triangle $ABC$ tel que : $AB = 7$, $BC = 4$ et $AC = 5$. Soit $I$ le milieu de $[BC]$.

1. Montrer que $AI=\sqrt{33}$. 0,5 pt
2. Montrer que le vecteur $\vec{u}=-2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}$ est indépendant du point $M$. 0,5 pt
3. Exprimer alors $\vec{u}$ en fonction de $\overrightarrow{AI}$. 0,5 pt
4. Déterminer l’ensemble $(E)$ des points $M$ du plan tels que : $-2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=-58$. 0,75 pt
5. Soit $D$ le barycentre du système $\{(A,-1),(B,1),(C,1)\}$.
   1. Donner la nature du quadrilatère $ABCD$. 0,5 pt
   2. Déterminer l’ensemble $(F)$ des points $M$ du plan tels que : $2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=-25$. 0,75 pt

Problème (05,5 points)

L’unité de longueur est le cm. $ABC$ est un triangle tel que $AB=8$, $BC=6$ et $AC=10$. $I$ est le milieu de $[BC]$.

1. Construire le point $G$ tel que $G$ est le barycentre des points $(A,2)$ ; $(B,-1)$ et $(C,1)$. 0,5 pt
2. Donner la nature du quadrilatère $ABIG$ et du triangle $BCG$ en justifiant votre réponse par calcul. 1 pt
3. Soit $M$ un point du plan. On définit l’application $f$ du plan par : $f(M)=2MA^2-MB^2+MC^2$.
   1. Montrer que $f(M)=2(MG^2+GA^2)$. 1 pt
   2. Déterminer et construire l’ensemble $(E)$ des points $M$ du plan tels que $f(M)=36$. 1 pt
4. On définit l’application $g$ du plan par : à tout point $M$ du plan, on fait correspondre le point $M'$ défini par : $\overrightarrow{MM'}=\dfrac{3}{2}\left(2\overrightarrow{MA} -\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right)$.
   1. Démontrer que cette application $g$ est une homothétie dont on précisera son centre et son rapport. 1 pt
   2. Lorsque $M$ décrit l’ensemble $(E)$, quel est l’ensemble $(E')$ décrit par $M'$ ? 0,5 pt

Exercice 1 (04 points)

1. Résoudre dans $\mathbb{R}^3$ par la méthode du pivot de Gauss le système : 2 pts
   {

   $x - 3y + 2z = 1$

   $3x + 2y + z = 10$

   $5x + y - z = 4$

2. Discuter suivant les valeurs du nombre réel $m$, l’existence et le nombre de solutions de l’équation : $(m-1)x^2 - 4 - 5m = -m - 4x$. 2 pts

Exercice 2 (02,5 points)

Les élèves d’une classe de première disposent de deux options sportives : l’athlétisme et la natation. 27 élèves pratiquent l’athlétisme, 29 élèves pratiquent la natation, 11 élèves pratiquent les deux sports et 05 élèves ne pratiquent aucun des deux sports.

1. Combien d’élèves pratiquent uniquement l’athlétisme ? 0,5 pt
2. Combien d’élèves pratiquent uniquement la natation ? 0,5 pt
3. Combien d’élèves pratiquent au moins les deux sports ? 0,75 pt
4. Combien d’élèves y a-t-il dans cette classe ? 0,75 pt

Exercice 3 (03,5 points)

$ABC$ est un triangle. $I$ et $J$ sont deux points définis par : $\overrightarrow{IB}=-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{IC}$ ; $\overrightarrow{JA}=-\dfrac{2}{3}\overrightarrow{JC}$.

1. Faire la figure. 0,5 pt
2. Justifier que $I=\text{bar}\{(B,2),(C,1)\}$ et que $J=\text{bar}\{(A,3),(C,1)\}$. 1 pt
3. Soit $G$ le barycentre des points pondérés $(A,3)$, $(B,4)$ et $(C,2)$.
   1. Écrire $G$ comme barycentre des points $A$ et $I$ d’une part et comme barycentre des points $B$ et $J$ d’autre part. 1,5 pt
   2. En déduire que les droites $(AI)$ et $(BJ)$ sont sécantes. 0,5 pt

Problème (10 points)

Les parties A et B sont indépendantes.

Partie A (05 points)

On considère le polynôme $P(x)=2x^3+11x^2+2x-15$.

1. Vérifier que $1$ est une racine de $P(x)$. 0,5 pt
2. Montrer que $P(x)=(x-1)(2x^2+13x+15)$. 1 pt
3. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation : $2x^2+13x+15=0$. 1 pt
4. Dresser le tableau de signe du polynôme $P(x)$, puis donner l’ensemble solution de l’inéquation $P(x)>0$. 1,5 pt
5. En déduire de la question 3 les solutions de l’équation : $2\left(x+\dfrac{5}{3}\right)^2 +13\left(x+\dfrac{5}{3}\right)+15=0$. 1 pt

Partie B (05 points)

Soit $A$ et $B$ deux points tels que $AB=4\,\text{cm}$. Soit $I$ et $G$ deux points du plan tels que $I$ soit le milieu de $[AB]$ et $3\overrightarrow{GA}+2\overrightarrow{GB}=\vec{0}$.

1. Que représente $G$ pour les points $A$ et $B$ ? 0,5 pt
2. Calculer $GA$ et $GB$. 1 pt
3. On considère l’ensemble $(\mathcal{E})$ des points $M$ du plan tels que : $3MA^2+2MB^2=60$.
   1. Montrer que $3MA^2+2MB^2=5MG^2-3GA^2-2GB^2$. 1 pt
   2. Déterminer et construire l’ensemble $(\mathcal{E})$. 1 pt
4. Déterminer et construire l’ensemble des points $M$ du plan tels que : $MA^2-MB^2=2AB^2$. 1,5 pt