Inéquations du second degré dans ℝ
Les inéquations du second degré consistent à étudier le signe d’un trinôme $ax^2+bx+c$ afin de déterminer les valeurs de $x$ qui vérifient une inégalité.
Reconnaître une inéquation du second degré
Une inéquation est du second degré lorsque la plus grande puissance de l’inconnue est 2 et que le coefficient de $x^2$ est non nul.
Étudier le signe du trinôme
Pour résoudre une inéquation, il faut connaître le signe du trinôme $ax^2+bx+c$ sur les différents intervalles de $\mathbb{R}$.
Calculer le discriminant
Le discriminant $\Delta=b^2-4ac$ permet de savoir si le trinôme possède deux racines, une racine double ou aucune racine réelle.
Cas où le discriminant est positif
Lorsque $\Delta>0$, le trinôme possède deux racines réelles. Elles partagent la droite réelle en trois intervalles sur lesquels le signe peut être étudié.
Cas où le discriminant est nul
Lorsque $\Delta=0$, le trinôme possède une racine double. Son signe ne change pas de part et d’autre de cette racine.
Cas où le discriminant est négatif
Lorsque $\Delta<0$, le trinôme ne s’annule pas dans $\mathbb{R}$ et garde un signe constant déterminé par le coefficient $a$.
Rôle du coefficient a
Le signe de $a$ indique le comportement du trinôme à l’extérieur des racines. Cette information est essentielle pour construire le tableau de signes.
Construire un tableau de signes
Le tableau de signes rassemble les racines et les signes du trinôme sur chaque intervalle. Il permet de lire directement l’ensemble solution.
Résoudre une inéquation strictement positive
Pour résoudre $ax^2+bx+c>0$, on retient les intervalles où le trinôme est strictement positif en excluant les racines.
Résoudre une inéquation positive ou nulle
Pour $ax^2+bx+c\geq0$, on conserve les zones positives ainsi que les racines lorsque le trinôme s’annule.
Résoudre une inéquation strictement négative
Pour $ax^2+bx+c<0$, on sélectionne uniquement les intervalles où le trinôme est négatif.
Résoudre une inéquation négative ou nulle
Pour $ax^2+bx+c\leq0$, on garde les intervalles négatifs et les racines qui annulent le trinôme.
Écrire correctement l’ensemble solution
Les réponses s’écrivent sous forme d’intervalles ou de réunions d’intervalles en respectant l’inclusion ou l’exclusion des bornes.
Factoriser avant d’étudier le signe
Lorsque les racines sont connues, la factorisation $a(x-x_1)(x-x_2)$ facilite l’étude du signe du trinôme.
Lien entre racines et changement de signe
Une racine simple provoque un changement de signe du trinôme, tandis qu’une racine double ne provoque pas de changement de signe.
Erreurs fréquentes dans un tableau de signes
Les erreurs viennent souvent de l’ordre des racines, du signe de $a$ ou de l’oubli d’inclure une racine lorsque l’inégalité contient $\leq$ ou $\geq$.
Problèmes d’optimisation
Les inéquations du second degré interviennent dans certains problèmes où l’on cherche les valeurs admissibles d’une grandeur ou les conditions d’un maximum ou minimum.
S’entraîner sur les inéquations
Commence par des trinômes factorisés, puis travaille des exercices nécessitant le calcul du discriminant et la construction complète du tableau de signes.
À retenir sur les inéquations du second degré
Résoudre une inéquation du second degré revient à trouver les racines éventuelles, étudier le signe du trinôme puis lire les intervalles correspondant à l’inégalité.
