Chapitre 01 — Leçon 3

LEÇON 3 : Inéquations du second degré dans $\mathbb{R}$

Objectifs pédagogiques :

Résoudre une inéquation du second degré
Résoudre un problème d'optimisation

Prérequis :

Signe du premier degré : La racine (ou le zéro) du polynôme du premier degré $ ax + b $ est $ -\frac{b}{a} $. La règle de signe de ce polynôme est donnée par le tableau de signe ci-après.

$x$	$-\infty$ $-\dfrac{b}{a}$ $+\infty$
$ax+b$	signe contraire de $a$ $0$ signe de $a$

Étude du signe de $ -2x + 3 $

Situation problème :

Un brocanteur achète une caisse contenant un lot soldé de vases en verre blanc pour 360 FCFA, trois sont cassés et vend les autres cinq francs de plus par vase qu'ils ne lui ont coûté. Il gagne ainsi 15 FCFA sur son marché. Combien chaque vase lui avait-il coûté ?

Activité d’apprentissage :

On donne $ p(x) = x^{2} - 6x - 216 $

Donner la forme canonique de $ p(x) $.
Dresser le tableau de signe du polynôme $ p(x) $.
Déduire de ce tableau la solution de l'inéquation $ p(x) \geq 0 $.
En déduire la solution de la situation problème.

Solution :

La forme canonique de $ p(x) $ est $ p(x) = (x - 3)^2 - 225 $.
Tableau de signe du polynôme $ p(x) $. On a $ p(x) = (x - 18)(x + 12) $, ainsi, $ p(x) = 0 \Longleftrightarrow x = -12 $ ou $ x = 18 $. Le tableau de signe de $ p(x) $ est donc le suivant :

$x$ $-\infty$ $-12$ $18$ $+\infty$

$x-18$ $-$ $-$$0$ $+$

$x+12$ $-$$0$ $+$ $+$

$p(x)$ $+$$0$ $-$$0$ $+$
Solution de l'inéquation $ p(x) \geq 0 $. On a $ p(x) \geq 0 \Longleftrightarrow S = ] - \infty, -12] \cup [18, +\infty[ $.

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4. Soient $ x $ le nombre de vases blanc et $ y $ le prix d'une vase de verre blanc.

On a le système (S): $\left\{ \begin{array}{c}(x - 3)(y + 5) = 375\\ xy = 360 \end{array} \right.$

De la deuxième du système on a $ y = \frac{360}{x} $ et en substituant cette expression dans la première équation, on obtient $ 5x^{2} - 30x - 1080 = 375x $, ie $ x^{2} - 6x - 216 = 0 $. De ce qui précède, on conclut qu'on a 18 vases de verre.

Résumé :

Définition 1.0.1. On appelle inéquation du second degré toute inéquation faisant intervenir un trinôme du second degré.

Exemple 1.0.1. $-2x^{2} + 10x - 12 > 0$ est une inéquation du second degré dans $\mathbb{R}$.

Méthode de résolution d'une équation du second degré 1.0.1. Pour résoudre une inéquation du second degré, on dresse le tableau de signe du trinôme associé puis on détermine l'ensemble des valeurs qui satisfont cette inéquation.

Signe du polynôme du second degré $ p(x) = ax^{2} + bx + c $ :

Pour étudier le signe du polynôme du second degré $ p(x) = ax^{2} + bx + c $, on calcule le discriminant $ \Delta = b^{2} - 4ac $ et on a les tableaux de signes suivants selon le signe de $ \Delta $.

Si $\Delta < 0$, alors $p(x)$ n'est pas factorisable, il n'admet pas de racine, son signe est celui de $a$ et son tableau de signe est le suivant

$x$
$-\infty$$+\infty$

$ax^2+bx+c$ $\text{signe de }a$
Si $\Delta = 0$, alors $p(x)$ est factorisable, sa forme factorisée est $p(x) = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2$, il admet une racine double $x_0 = -\frac{b}{2a}$, son signe est celui de $a$ et son tableau de signe est le suivant

$x$ $-\infty$$x_0$ $+\infty$

$ax^2+bx+c$ $\text{signe de }a$$0$ $\text{signe de }a$
Si $\Delta > 0$, alors $p(x)$ est factorisable, il admet deux racines $x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$, sa forme factorisée est $p(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$, son tableau de signe est le suivant en supposant $x_1 < x_2$.

$x$
$-\infty$$x_1$$x_2$$+\infty$

$ax^2+bx+c$ $\text{signe de } a$$0$ $\text{signe contraire de } a$$0$ $\text{signe de } a$

Remarque : Lorsqu'un trinôme du second degré $ ax^2 + bx + c $ est factorisable et admet deux racines distinctes alors son signe est celui de $a$ à l'extérieur des racines et celui de $-a$ à l'intérieur des racines.

Propriété 1.0.1. Si un polynôme ne s'annule pas sur un intervalle, alors il garde un signe constant sur cet intervalle.

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Exercices d’application

Exercice 1.0.12.

Résoudre dans $\mathbb{R}$, chacune des inéquations suivantes :

$$ \begin{array}{ll} \text{a) } 3x^{2} - 6x + 3 < 0, & \text{b) } -3x^{2} + 3x - 7 \leq 0, \\ \text{c) } 5x^{2} - x + 3 < 0, & \text{d) } 3x^{2} - 6x + 3 < 0, \\ \text{e) } -3x^{2} + 9x + 6 \geq 0. \end{array} $$

Exercice 1.0.13.

Résoudre dans $\mathbb{R}$, chacune des inéquations suivantes :

$$ \begin{array}{ll} \text{a) } \dfrac{x^{2} + x - 2}{2x - 2} \leq x + 3, & \text{b) } \dfrac{x - 1}{x - 4} \leq \dfrac{x - 5}{2x - 5}. \end{array} $$

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$x$	$-\infty$ $-12$ $18$ $+\infty$
$x-18$	$-$	$-$$0$	$+$
$x+12$	$-$$0$	$+$	$+$
$p(x)$	$+$$0$	$-$$0$	$+$

$x$	$-\infty$$x_0$	$+\infty$
$ax^2+bx+c$	$\text{signe de }a$$0$	$\text{signe de }a$

$x$	$-\infty$$x_1$$x_2$$+\infty$
$ax^2+bx+c$	$\text{signe de } a$$0$	$\text{signe contraire de } a$$0$	$\text{signe de } a$