3 EME Esp : 3 evaluation de Mme Mba

EPREUVE DE MATHEMATIQUES

EVALUATION DES RESSOURCES/ (10 points)

I-Activités numériques 5 pts

EXERCICE 1 : 2,5 points

On donne l’expression : $E=(2x-3)^2-(3-2x)(4-5x)$.

1.  Développer, réduire et ordonner $E$ suivant les puissances décroissantes de $x$. 0,5 pt

2.  Factoriser $E$. 0,5 pt

3.  Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation : $(2x-3)(5x+1)=0$. 0,5 pt

4.  On pose la fraction rationnelle : $F=\dfrac{(2x-3)(5x+1)}{(2x-3)(x+2)}$.

    a. Déterminer la condition d’existence d’une valeur numérique de $F$. 0,5 pt

    b. Simplifier $F$. 0,5 pt

EXERCICE 2 : 2,5 points

1.  Soit $A=5-6\sqrt{5}$ Donner un encadrement de $A$ sachant que : $2,23<\sqrt{5}<2,24$. 0,5 pt

2.  On donne $A(x)=3x^2-7x+3$, calcul la valeur numérique de $A(-2)$. 0,5 pt

3.  On considère les intervalles de $\mathbb{R}$ suivants : $I=]-\infty;4]$ et $J=]-1;+\infty[$.

    a. Représenter sur une droite graduée les intervalles $I$ et $J$, 0,5 pt

    b. Écrire $I\cap J$ et $I\cup J$ sous forme d’intervalles. 0,5*2=1pt

II-Activités géométriques 5 pts

EXERCICE 1 : 1,5 points

Sur la figure ci-contre, $ABC$ est un triangle rectangle en $B$ tel que $AC=10$ cm et $\widehat{ACB}=30^\circ$. Les points $E$ et $F$ sont situés respectivement sur les côtés $[AB]$ et $[BC]$ tels que $AE=3$ cm et les droites $(EF)$ et $(AC)$ sont parallèles. On rappelle que : $\cos 30^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin 30^\circ=\dfrac{1}{2}$, $\tan 30^\circ=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$.

1.  Montrer que $AB=5$ cm. 0,5 pt

2.  En déduire que $BC=5\sqrt{3}$ cm. 0,5 pt

3.  Calculer $BF$ et donner sa valeur arrondi à l’unité près. 0,5 pt

EXERCICE 2 : 3,5 points

Dans le plan rapporté à un repère orthonormé $(O,I,J)$, on considère les points $A(-3;1)$, $B(1;1)$ et $C(1;4)$. Le point $E$ est défini par $\overrightarrow{OE}=-2\overrightarrow{OI}+10\overrightarrow{OJ}$.

1.  Placer les points $A$, $B$, $C$ et $E$ dans le repère.

    a. Montrer que les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{BC}$ sont orthogonaux. 0,75 pt

    b. Calculer les distances $AB$ et $BC$ puis donner la nature exacte du triangle $ABC$. 0,75 pt

2.  Déterminer les coordonnées du point $K$, milieu du segment $[BC]$. 0,25 pt

3.  Déterminer les coordonnées du point $D$ tel que $\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}$. 0,5 pt

4.  Donner, en justifiant, la nature exacte du quadrilatère $ABCD$. 0,5 pt

EVALUATION DES COMPETENCES/ (9 points)

Mme Alida est une grande ingénieure en maçonnerie. Elle a gagné trois marchés situés dans des endroits différents. Pour réaliser ses travaux, elle commande du béton, du sable et de la pouzzolane. Chaque produit est transporté par un chauffeur à l’aide d’un camion. Le chauffeur qui transporte le béton part du point $M$ et livre le produit au point $P$ (figure 4). Celui qui transporte le sable part du point $B$ et se rend au point $C$ (figure 4). Quant au chauffeur de la pouzzolane, il part du point $M$ et arrive au point $N$ (figure 5). Les points $M$ et $N$ sont placés sur un repère formé de deux droites perpendiculaires en $O$. L’unité de longueur utilisée est le kilomètre. Pour chaque déplacement, le chauffeur et le camion sont payés 2500 Fcfa par kilomètre. Les trajets sont supposés rectilignes et chaque camion fait un seul voyage. Le camion de béton possède une bétonnière de forme sphérique (figure 1). Le béton transporté coûte 3500 Fcfa le mètre cube. Le camion de sable utilise une citerne qui a la forme d’un tronc de cône (figure 2). Le sable transporté coûte 4500 Fcfa le mètre cube. Le camion de pouzzolane est équipé d’une benne de forme cylindrique (figure 3). La pouzzolane transportée coûte 4000 Fcfa le mètre cube. Mme Alida doit payer le prix des matériaux contenus dans chaque camion ainsi que le coût du transport.

Tâches :

1.  Aider Mme Alida à calculer la dépense totale pour l’achat et le transport du béton. 3 pts

2.  Calculer la dépense totale de Mme Alida pour l’achat et le transport du sable. 3 pts

3.  Déterminer la dépense totale de Mme Alida pour l’achat et le transport de la pouzzolane. 3 pts

Présentation : 1 point.