Fiche de révision

Physique

Loi de décroissance radioactive

Datation au carbone 14, médecine nucléaire : la loi de décroissance en action.

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Fiche de révision de Physique : « Loi de décroissance radioactive », proposée par ndolomath.comndolomath

Loi de décroissance radioactive

💡 Idée principale : le nombre de noyaux radioactifs diminue de façon exponentielle :

N (t) = N_{0} e^{- λ t}

. La demi-vie est la durée au bout de laquelle la moitié des noyaux s’est désintégrée.

Étapes résumées

$N (t) = N_{0} e^{- λ t}$ (λ : constante radioactive).
Demi-vie : $t_{1 / 2} = \frac{\ln 2}{λ}$ .
Activité : $A = λ N$ , en becquerels (Bq).
Applications : datation, traceurs médicaux, radiothérapie.

La loi de décroissance

1. Décroissance exponentielle

Après une demi-vie, il reste

N_{0} / 2

.

Après deux demi-vies,

N_{0} / 4

.

Après n demi-vies,

N_{0} / 2^{n}

.

Formule

N (t) = N_{0} e^{- λ t} t_{1 / 2} = \frac{\ln 2}{λ} A = λ N

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2. Comprendre le hasard et la loi

On ne peut pas prévoir quand un noyau donné va se désintégrer : c’est aléatoire. Mais sur un très grand nombre de noyaux, le comportement devient parfaitement régulier. Au bout d’une demi-vie, il reste la moitié des noyaux ; au bout de deux demi-vies, le quart ; et ainsi de suite.

Applications

Exemple guidé

Un échantillon d’iode 131 ( $t_{1 / 2} = 8$ jours) a une activité de 8000 Bq. Quelle est son activité après 24 jours ?

Solution :
24 jours = 3 demi-vies.

A = \frac{8000}{2^{3}} = 1000 Bq

.

3. Datation au carbone 14

Un être vivant garde un taux de $^{14} C$ constant. Après sa mort, ce taux diminue avec $t_{1 / 2} = 5730$ ans : on mesure l’activité restante pour dater.

Activité et demi-vie

Durée	Noyaux restants	Activité
0	$N_{0}$	$A_{0}$
$t_{1 / 2}$	$N_{0} / 2$	$A_{0} / 2$
$2 t_{1 / 2}$	$N_{0} / 4$	$A_{0} / 4$
$3 t_{1 / 2}$	$N_{0} / 8$	$A_{0} / 8$

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Exercice type

Énoncé

L’iode 131 (

t_{1 / 2} = 8

jours) est utilisé pour soigner la thyroïde. Un patient reçoit une dose d’activité

A_{0} = 4, 0 \times 10^{9} Bq

. Activité au bout de 24 jours ? Constante radioactive ?

Solution

24 jours = 3 demi-vies :

A = \frac{A_{0}}{8} = 5, 0 \times 10^{8} Bq

.

λ = \frac{\ln 2}{t_{1 / 2}} = \frac{0,693}{8 \times 86400} \approx 1, 0 \times 10^{- 6} s^{- 1}

.

À toi de jouer

1. Après 2 demi-vies, quelle fraction reste-t-il ?

2. t½ = 10 min : λ ?

3. Demi-vie du carbone 14 ?

Réponses : 1/4 · $0,069 {min}^{- 1}$ · 5730 ans. Le corrigé détaillé et d’autres exercices de ce chapitre sont dans les exercices corrigés.

Erreurs fréquentes

On ne peut pas prévoir quand un noyau particulier se désintègre.
λ et t½ doivent être dans la même unité de temps.
L’activité diminue comme N.

Méthode

Compte le nombre de demi-vies quand c’est entier ; sinon utilise

N = N_{0} e^{- λ t}

et le logarithme.

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Loi de décroissance radioactive

La loi de décroissance

1. Décroissance exponentielle

2. Comprendre le hasard et la loi

Applications

Exemple guidé

3. Datation au carbone 14

Activité et demi-vie

Énoncé

Solution

À toi de jouer

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