Fiche de révision

Physique

Le pendule de torsion

Une tige suspendue à un fil tourne d’un côté puis de l’autre : c’est le pendule de torsion.

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Fiche de révision de Physique : « Le pendule de torsion », proposée par ndolomath.comndolomath

Le pendule de torsion

💡 Idée principale : le pendule de torsion est un solide suspendu à un fil qui exerce un couple de rappel

- C θ

. Il oscille en rotation avec

T_{0} = 2 π \sqrt{\frac{J_{Δ}}{C}}

.

Étapes résumées

Couple de rappel : $M = - C θ$ (C : constante de torsion).
Équation : $J_{Δ} \ddot{θ} + C θ = 0$ .
Période : $T_{0} = 2 π \sqrt{\frac{J_{Δ}}{C}}$ .
Énergie : $E = \frac{1}{2} J_{Δ} {\dot{θ}}^{2} + \frac{1}{2} C θ^{2}$ .

Mise en équation

1. Relation fondamentale de la dynamique en rotation

J_{Δ} \ddot{θ} = - C θ

$J_{Δ}$ moment d’inertie en kg·m²Cconstante de torsion en N·m/rad

2. Période propre

T_{0} = 2 π \sqrt{\frac{J_{Δ}}{C}}

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3. Comprendre le pendule de torsion

Quand on tourne la tige d’un angle θ, le fil se tord et exerce un couple qui ramène la tige vers l’équilibre. Ce couple est proportionnel à l’angle : $M = - C θ$ . On retrouve la même structure que le ressort : la constante de torsion C joue le rôle de k et le moment d’inertie J celui de la masse.

Applications

Exemple guidé

Une tige de moment d’inertie $2 \times 10^{- 3}$ kg·m² est suspendue à un fil de constante 0,08 N·m/rad. Période ?

Solution :

T_{0} = 2 π \sqrt{\frac{2 \times 10^{- 3}}{0, 08}} = 2 π \times 0,158 \approx 0, 99 s

.

Où le rencontre-t-on ?

Balancier des montres mécaniques.
Balance de Cavendish, qui a permis de mesurer G.
Galvanomètres à cadre mobile.

Analogie ressort-torsion

Pendule élastique	Pendule de torsion
élongation x	angle θ
masse m	moment d’inertie J
raideur k	constante de torsion C
$T_{0} = 2 π \sqrt{\frac{m}{k}}$	$T_{0} = 2 π \sqrt{\frac{J}{C}}$

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Exercice type

Énoncé

Une tige de moment d’inertie

J = 2, 0 \times 10^{- 3} {kg·m}^{2}

oscille avec une période de 2,0 s. Calcule C. On ajoute des masselottes : J double. Nouvelle période ?

Solution

C = \frac{4 π^{2} J}{T_{0}^{2}} = \frac{4 π^{2} \times 2, 0 \times 10^{- 3}}{4} \approx 2, 0 \times 10^{- 2} N·m/rad

.
Si J double, T est multipliée par

\sqrt{2}

:

T \approx 2, 8 s

.

À toi de jouer

1. Unité de la constante de torsion ?

2. Si J est multiplié par 4, T0 est multipliée par ?

3. Quel objet utilise un balancier de torsion ?

Réponses : N·m/rad · 2 · la montre mécanique. Le corrigé détaillé et d’autres exercices de ce chapitre sont dans les exercices corrigés.

Erreurs fréquentes

θ est en radians.
Ne confonds pas la constante de torsion C et la raideur k.
Le moment d’inertie dépend de la répartition de la masse.

Méthode

Écris la relation de la dynamique en rotation, identifie

ω_{0}^{2} = C / J

, puis calcule

T_{0}

.

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