Fiche de révision

Physique

Le pendule élastique

Un solide accroché à un ressort oscille avec une régularité d’horloge.

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Fiche de révision de Physique : « Le pendule élastique », proposée par ndolomath.comndolomath

Le pendule élastique

💡 Idée principale : le pendule élastique (solide + ressort) est un oscillateur harmonique de pulsation

ω_{0} = \sqrt{\frac{k}{m}}

. Sans frottement, son énergie mécanique se conserve.

Étapes résumées

Équation : $m \ddot{x} + k x = 0$ .
Période propre : $T_{0} = 2 π \sqrt{\frac{m}{k}}$ .
Énergie : $E = \frac{1}{2} m v^{2} + \frac{1}{2} k x^{2} = \frac{1}{2} k X_{m}^{2}$ .
Échanges permanents entre Ec et Ep.

Mise en équation

1. Le pendule élastique horizontal

Forces : poids, réaction, tension

- k x

.

2e loi :

m \ddot{x} = - k x

.

Donc

\ddot{x} + \frac{k}{m} x = 0

.

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Formule

T_{0} = 2 π \sqrt{\frac{m}{k}}

mmasse en kgkraideur en N/m

2. Comprendre le pendule élastique

Quand on tire le solide, le ressort s’allonge et le tire vers l’équilibre. Le solide prend de la vitesse, dépasse la position d’équilibre, comprime le ressort qui le repousse, et ainsi de suite. Plus le ressort est raide (k grand), plus il oscille vite ; plus le solide est lourd, plus il oscille lentement. La période ne dépend pas de l’amplitude.

Énergie

E_{m} = \frac{1}{2} m v^{2} + \frac{1}{2} k x^{2} = \frac{1}{2} k X_{m}^{2}

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Exemple guidé

Un solide de 200 g est accroché à un ressort de raideur 20 N/m. Calcule la période et la vitesse maximale pour $X_{m} = 5$ cm.

Solution :

T_{0} = 2 π \sqrt{0, 2 / 20} \approx 0, 63 s

.

v_{max} = ω_{0} X_{m} = 10 \times 0, 05 = 0, 5 m/s

.

Déterminer une raideur

Exercice type

Énoncé

Un solide de 200 g accroché à un ressort effectue 10 oscillations en 6,3 s. Calcule la raideur k, puis la vitesse maximale pour une amplitude de 3 cm.

Solution

T_{0} = \frac{6, 3}{10} = 0, 63 s

.

T_{0} = 2 π \sqrt{\frac{m}{k}}

donc

k = \frac{4 π^{2} m}{T_{0}^{2}} = \frac{4 π^{2} \times 0,200}{0, 63^{2}} \approx 20 N/m

.

ω_{0} = \frac{2 π}{T_{0}} \approx 10 rad/s

;

v_{m a x} = X_{m} ω_{0} = 0, 03 \times 10 = 0, 3 m/s

.

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Astuce de mesure

On chronomètre 10 ou 20 oscillations, puis on divise : l’erreur de déclenchement est partagée.
On démarre le chronomètre au passage par l’équilibre, là où le solide va le plus vite.

À toi de jouer

1. Si m est multipliée par 4, T0 est multipliée par ?

2. k = 50 N/m, m = 0,5 kg : ω0 ?

3. Où la vitesse est-elle maximale ?

Réponses : 2 · 10 rad/s · à la position d’équilibre. Le corrigé détaillé et d’autres exercices de ce chapitre sont dans les exercices corrigés.

Erreurs fréquentes

La période ne dépend pas de l’amplitude.
Masse en kg, allongement en m.
Aux extrémités, la vitesse est nulle.

Méthode

2e loi → équation différentielle → identification de ω0 → période et énergie.

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1. Le pendule élastique horizontal

2. Comprendre le pendule élastique

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