Fiche de révision

Physique

Dimensions et homogénéité

Une formule fausse se trahit souvent par ses unités : l’analyse dimensionnelle la démasque.

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Fiche de révision de Physique : « Dimensions et homogénéité », proposée par ndolomath.comndolomath

Dimensions et homogénéité

💡 Idée principale : chaque grandeur physique a une dimension qui s’exprime avec les grandeurs de base (M, L, T, I…). Une relation correcte est homogène : ses deux membres ont la même dimension.

Étapes résumées

Dimensions de base : M (masse), L (longueur), T (temps), I (intensité)…
Vitesse : $[v] = L T^{- 1}$ ; force : $[F] = M L T^{- 2}$ .
Une relation homogène a la même dimension des deux côtés.
L’analyse dimensionnelle permet de vérifier ou de prévoir une formule.

Équations aux dimensions

Grandeur	Formule	Dimension
Vitesse	$v = d / t$	$L T^{- 1}$
Accélération	$a = v / t$	$L T^{- 2}$
Force	$F = m a$	$M L T^{- 2}$
Énergie	$E = F d$	$M L^{2} T^{- 2}$
Puissance	$P = E / t$	$M L^{2} T^{- 3}$

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1. Comprendre les dimensions

Une dimension dit de quelle « nature » est une grandeur : une longueur, une masse, une durée… Toutes les grandeurs de la mécanique s’expriment avec trois dimensions de base : L, M et T. Une vitesse est une longueur divisée par une durée, donc $[v] = L \cdot T^{- 1}$ . On ne peut additionner ou comparer que des grandeurs de même dimension : on n’ajoute pas des mètres et des secondes.

Vérifier l’homogénéité

Exemple guidé

La période d’un pendule simple est-elle $T = 2 π \sqrt{\frac{ℓ}{g}}$ ou $T = 2 π \sqrt{\frac{g}{ℓ}}$ ?

Solution :

[\frac{ℓ}{g}] = \frac{L}{L T^{- 2}} = T^{2}

, donc

\sqrt{ℓ / g}

a la dimension d’un temps.
La bonne formule est

T = 2 π \sqrt{ℓ / g}

.

Règles

On ne peut additionner que des grandeurs de même dimension.
Les arguments de sin, cos, exp et ln sont sans dimension.
Les constantes numériques (2π, 1/2) n’ont pas de dimension.

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Trouver une formule par les dimensions

Exercice type

On suppose que la période d’un pendule simple s’écrit $T = k ℓ^{a} g^{b}$ (k sans dimension). Trouve a et b.

Solution :

[T] = T

,

[ℓ] = L

,

[g] = L \cdot T^{- 2}

.
On écrit :

T = L^{a} L^{b} T^{- 2 b}

, donc

a + b = 0

et

- 2 b = 1

.

b = - \frac{1}{2}

et

a = \frac{1}{2}

:

T = k \sqrt{\frac{ℓ}{g}}

. L’expérience donne

k = 2 π

.

2. Dimensions à connaître

Grandeur	Unité SI	Dimension
Force	N	$M \cdot L \cdot T^{- 2}$
Énergie	J	$M \cdot L^{2} \cdot T^{- 2}$
Puissance	W	$M \cdot L^{2} \cdot T^{- 3}$
Pression	Pa	$M \cdot L^{- 1} \cdot T^{- 2}$

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À toi de jouer

1. Dimension d’une énergie ?

2. Quelle est la dimension de

ω t

?

3.

E_{c} = \frac{1}{2} m v^{2}

est-elle homogène à une énergie ?

Réponses : $M L^{2} T^{- 2}$ · sans dimension · oui. Le corrigé détaillé et d’autres exercices de ce chapitre sont dans les exercices corrigés.

Erreurs fréquentes

Dimension et unité ne sont pas la même chose.
Une formule homogène n’est pas forcément juste : les coefficients peuvent être faux.
N’additionne jamais une longueur et un temps.

Méthode

Remplace chaque grandeur par sa dimension, simplifie, puis compare les deux membres.

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