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MATHÉMATIQUES · Tle TI

Chapitre : Suites numériques · Leçon 4

Réel l limite d’une suite

Définition précise de la convergence.

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Cours de Mathématiques : « Réel l limite d’une suite », proposé par ndolomathndolomath

Limite d’une suite

💡 Idée principale : Une suite

(u_{n})

converge vers

ℓ

si tout intervalle ouvert contenant

ℓ

contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang : pour tout

ε > 0

, il existe

N

tel que pour

n \geq N

| u_{n} - ℓ | < ε

. Cette définition permet de démontrer les règles opératoires et l’unicité de la limite.

Ce que tu vas apprendre

Connaître la définition de la limite finie d’une suite.
Déterminer un rang à partir duquel $| u_{n} - ℓ | < ε$ .
Connaître la définition de $lim u_{n} = + \infty$ et les règles opératoires sur les limites.
Utiliser les suites adjacentes.

Pourquoi cette leçon ?

Dire qu’une suite « s’approche » de

ℓ

ne suffit pas : il faut pouvoir garantir une précision donnée, par exemple pour savoir combien d’étapes d’un algorithme sont nécessaires pour obtenir 6 décimales exactes.

Prérequis : vérifie tes bases

Résous

\frac{1}{n} < 0,001

dans

N^{*}

Résous

| x - 2 | < 0, 1

Calcule

lim \frac{1}{n^{2}}

Situation problème : La précision garantie

Un ingénieur utilise la suite $u_{n} = 2 + \frac{3}{n + 1}$ pour approcher la valeur 2. Il a besoin d’une précision de $10^{- 3}$ , puis de $10^{- 6}$ .
À partir de quel rang la précision est-elle garantie ? Pour toute précision demandée, existe-t-il un tel rang ?

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Activité d’apprentissage

On cherche $N$ tel que $| u_{n} - 2 | < ε$ pour tout $n \geq N$ .

Calcule $| u_{n} - 2 |$ .
Résous $\frac{3}{n + 1} < 10^{- 3}$ puis $\frac{3}{n + 1} < 10^{- 6}$ .
Pour un $ε > 0$ quelconque, détermine un rang $N$ convenable.
Réponds à la situation problème.

Définition

lim u_{n} = ℓ

si pour tout

ε > 0

, il existe

N \in N

tel que pour tout

n \geq N

| u_{n} - ℓ | < ε

. La limite, si elle existe, est unique.

lim u_{n} = + \infty

si pour tout

A

, il existe

N

tel que

n \geq N \Rightarrow u_{n} > A

Exemple à traiter : Démontre à l’aide de la définition que

lim \frac{2 n + 1}{n + 1} = 2

et que

lim \sqrt{n} = + \infty

R2 · Règles opératoires

u_{n} \to ℓ

v_{n} \to ℓ^{'}

, alors

u_{n} + v_{n} \to ℓ + ℓ^{'}

u_{n} v_{n} \to ℓ ℓ^{'}

\frac{u_{n}}{v_{n}} \to \frac{ℓ}{ℓ^{'}}

ℓ^{'} \neq 0

. Les formes indéterminées sont les mêmes que pour les fonctions. Si

u_{n} = f (n)

lim_{x \to + \infty} f (x) = ℓ

, alors

lim u_{n} = ℓ

Exemple à traiter : Calcule

lim (\sqrt{n + 1} - \sqrt{n})

lim \frac{n^{2} - 3 n}{2 n^{2} + 1}

Suites adjacentes

(u_{n})

(v_{n})

sont adjacentes si l’une est croissante, l’autre décroissante et

lim (v_{n} - u_{n}) = 0

. Elles convergent alors vers la même limite

ℓ

, avec

u_{n} \leq ℓ \leq v_{n}

Exemple à traiter : Montre que

u_{n} = \sum_{k = 0}^{n} \frac{1}{k!}

v_{n} = u_{n} + \frac{1}{n \cdot n!}

(

n \geq 1

) sont adjacentes.

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Erreurs fréquentes

⚠ Rang dépendant de n

Le rang

N

dépend de

ε

, pas de

n

⚠ Adjacentes

Il faut aussi que

v_{n} - u_{n}

tende vers 0.

Exercice d’application

Démontre avec la définition que si $u_{n} \to ℓ$ et $v_{n} \to ℓ^{'}$ , alors $u_{n} + v_{n} \to ℓ + ℓ^{'}$ .
Montre que $u_{n} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k^{2}}$ et $v_{n} = u_{n} + \frac{1}{n}$ sont adjacentes.
Réponds à la situation problème.

À retenir

lim u_{n} = ℓ

\forall ε > 0

\exists N

n \geq N \Rightarrow | u_{n} - ℓ | < ε

. Adjacentes : monotonies contraires et

v_{n} - u_{n} \to 0