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MATHÉMATIQUES · Tle TI

Chapitre : Suites numériques · Leçon 3

Étude de la convergence de certaines suites

Théorèmes de convergence.

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Cours de Mathématiques : « Étude de la convergence de certaines suites », proposé par ndolomathndolomath

Convergence des suites

💡 Idée principale : Une suite converge si ses termes se rapprochent d’un réel

ℓ

. Toute suite croissante et majorée converge ; toute suite décroissante et minorée converge. Les théorèmes de comparaison et des gendarmes, et la limite des suites géométriques, permettent de déterminer les limites. Pour

u_{n + 1} = f (u_{n})

avec

f

continue, la limite vérifie

f (ℓ) = ℓ

Ce que tu vas apprendre

Utiliser le théorème de convergence monotone.
Connaître la limite de $q^{n}$ selon les valeurs de $q$ .
Utiliser les théorèmes de comparaison et des gendarmes.
Étudier une suite récurrente $u_{n + 1} = f (u_{n})$ et déterminer sa limite.

Pourquoi cette leçon ?

Les calculatrices calculent

\sqrt{2}

en construisant une suite qui converge très vite vers ce nombre. L’étude de la convergence des suites est à la base des méthodes de calcul numérique.

Prérequis : vérifie tes bases

Calcule

0, 5^{10}

1, 1^{50}

à la calculatrice.

Résous

ℓ = \frac{1}{2} (ℓ + \frac{2}{ℓ})

pour

ℓ > 0

Démontre par récurrence que

u_{n} \geq 0

u_{0} = 1

u_{n + 1} = \frac{u_{n}}{2} + 1

Situation problème : La méthode de Héron

Pour calculer $\sqrt{2}$ , on utilise la suite $u_{0} = 2$ , $u_{n + 1} = \frac{1}{2} (u_{n} + \frac{2}{u_{n}})$ .
Cette suite converge-t-elle vers $\sqrt{2}$ ? À quelle vitesse ?

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Activité d’apprentissage

On étudie la suite $(u_{n})$ .

Calcule $u_{1}$ , $u_{2}$ , $u_{3}$ et compare avec $\sqrt{2}$ .
Montre que $u_{n + 1} - \sqrt{2} = \frac{(u_{n} - \sqrt{2})^{2}}{2 u_{n}}$ et déduis-en que $u_{n} \geq \sqrt{2}$ pour tout $n$ .
Montre que $(u_{n})$ est décroissante, puis qu’elle converge et détermine sa limite.
Réponds à la situation problème.

Convergence monotone

Toute suite croissante et majorée converge ; toute suite décroissante et minorée converge. Une suite croissante non majorée tend vers

+ \infty

Exemple à traiter : Soit

u_{0} = 0

u_{n + 1} = \sqrt{u_{n} + 6}

. Montre que

(u_{n})

est croissante et majorée par 3, et conclus.

R2 · Suites géométriques et comparaison

q > 1

q^{n} \to + \infty

; si

- 1 < q < 1

q^{n} \to 0

; si

q \leq - 1

(q^{n})

n’a pas de limite. Si

u_{n} \leq v_{n} \leq w_{n}

lim u_{n} = lim w_{n} = ℓ

, alors

lim v_{n} = ℓ

. Si

u_{n} \geq v_{n}

v_{n} \to + \infty

, alors

u_{n} \to + \infty

Exemple à traiter : Calcule

lim \frac{2^{n} - 3^{n}}{2^{n} + 3^{n}}

lim \frac{\cos n}{n}

Suites récurrentes

u_{n + 1} = f (u_{n})

, si

(u_{n})

converge vers

ℓ

et si

f

est continue en

ℓ

, alors

f (ℓ) = ℓ

Exemple à traiter : Détermine la limite de la suite de R1 et celle de

u_{0} = 1

u_{n + 1} = \frac{1}{2} u_{n} + 3

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Erreurs fréquentes

⚠ Majorée ⇒ convergente

Une suite majorée qui n’est pas monotone peut ne pas converger.

⚠ Point fixe

L’équation

f (ℓ) = ℓ

donne les limites possibles, pas la convergence.

Exercice d’application

Montre que la suite $u_{n} = {(1 + \frac{1}{n})}^{n}$ est majorée par 3 (admets qu’elle est croissante) et conclus sur sa convergence.
Soit $u_{n} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{n + k}$ . Montre que $\frac{1}{2} \leq u_{n} \leq 1$ et que $(u_{n})$ est croissante. Conclus.
Réponds à la situation problème.

À retenir

Croissante + majorée ⇒ converge.

| q | < 1

⇒

q^{n} \to 0

. Gendarmes.

u_{n + 1} = f (u_{n})

f

continue :

f (ℓ) = ℓ