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MATHÉMATIQUES · Tle TI

Chapitre : Suites numériques · Leçon 2

Quelques généralités sur les suites

Monotonie, suites bornées, suites arithmétiques et géométriques.

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Cours de Mathématiques : « Quelques généralités sur les suites », proposé par ndolomathndolomath

Généralités sur les suites

💡 Idée principale : Une suite peut être définie explicitement ou par récurrence. On étudie son sens de variation (signe de

u_{n + 1} - u_{n}

, comparaison de

\frac{u_{n + 1}}{u_{n}}

à 1, ou variations de

f

u_{n} = f (n)

) et on cherche si elle est majorée, minorée ou bornée. Les suites arithmétiques et géométriques servent de modèles de référence.

Ce que tu vas apprendre

Étudier le sens de variation d’une suite.
Montrer qu’une suite est majorée, minorée, bornée.
Utiliser les suites arithmétiques et géométriques et leurs sommes ; étudier une suite arithmético-géométrique à l’aide d’une suite auxiliaire.

Pourquoi cette leçon ?

Évolution d’une population, d’un capital, d’une dette, d’un stock : les suites modélisent les phénomènes qui évoluent par étapes successives.

Prérequis : vérifie tes bases

Calcule

1 + 2 + 4 + \dots + 2^{10}

Étudie le signe de

\frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n}

Résous

ℓ = 0, 8 ℓ + 20

Situation problème : La forêt communautaire

Une forêt communautaire compte 50 000 arbres. Chaque année, on abat 20 % des arbres, et on en replante 8 000. On note $u_{n}$ le nombre d’arbres après $n$ années.
Le nombre d’arbres va-t-il augmenter ou diminuer ? Se stabilise-t-il ?

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Activité d’apprentissage

On a $u_{0} = 50 000$ et $u_{n + 1} = 0, 8 u_{n} + 8 000$ .

Calcule $u_{1}$ , $u_{2}$ , $u_{3}$ .
Trouve le réel $ℓ$ tel que $ℓ = 0, 8 ℓ + 8 000$ , puis montre que $v_{n} = u_{n} - ℓ$ est géométrique.
Exprime $u_{n}$ en fonction de $n$ et étudie son sens de variation.
Réponds à la situation problème.

Sens de variation

(u_{n})

est croissante si

u_{n + 1} \geq u_{n}

pour tout

n

. Méthodes : signe de

u_{n + 1} - u_{n}

; si

u_{n} > 0

, comparaison de

\frac{u_{n + 1}}{u_{n}}

et 1 ; si

u_{n} = f (n)

, variations de

f

; si

u_{n + 1} = f (u_{n})

avec

f

croissante, récurrence.

Exemple à traiter : Étudie le sens de variation de

u_{n} = \frac{n^{2}}{2^{n}}

pour

n \geq 3

et de

v_{n} = \frac{2 n + 1}{n + 3}

R2 · Suites bornées

(u_{n})

est majorée s’il existe

M

tel que

u_{n} \leq M

pour tout

n

; minorée s’il existe

m

tel que

u_{n} \geq m

; bornée si elle est majorée et minorée.

Exemple à traiter : Montre que

v_{n} = \frac{2 n + 1}{n + 3}

est bornée.

Suites de référence

Arithmétique :

u_{n} = u_{0} + n r

\sum_{k = 0}^{n} u_{k} = (n + 1) \frac{u_{0} + u_{n}}{2}

. Géométrique :

u_{n} = u_{0} q^{n}

\sum_{k = 0}^{n} u_{k} = u_{0} \frac{1 - q^{n + 1}}{1 - q}

(

q \neq 1

). Pour

u_{n + 1} = a u_{n} + b

(

a \neq 1

v_{n} = u_{n} - ℓ

avec

ℓ = \frac{b}{1 - a}

est géométrique de raison

a

Exemple à traiter : Soit

u_{0} = 2

u_{n + 1} = 3 u_{n} - 4

. Exprime

u_{n}

en fonction de

n

et calcule

\sum_{k = 0}^{n} u_{k}

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Erreurs fréquentes

⚠ Ratio

On compare

\frac{u_{n + 1}}{u_{n}}

à 1 uniquement pour une suite à termes positifs.

⚠ Nombre de termes

u_{0}

u_{n}

, il y a

n + 1

termes.

Exercice d’application

Une dette de 2 000 000 F augmente de 1 % par mois ; on rembourse 50 000 F par mois. Modélise par une suite et détermine après combien de mois la dette est remboursée.
Montre que la suite $u_{n} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k^{2}}$ est croissante et majorée par 2 (montre d’abord $u_{n} \leq 2 - \frac{1}{n}$ ).
Réponds à la situation problème.

À retenir

Variation :

u_{n + 1} - u_{n}

\frac{u_{n + 1}}{u_{n}}

f (n)

. Bornée : majorée et minorée.

u_{n + 1} = a u_{n} + b

v_{n} = u_{n} - ℓ

géométrique.