Cours

MATHÉMATIQUES · Tle TI

Chapitre : Suites numériques · Leçon 1

Notion de récurrence

Initialisation et hérédité.

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Cours de Mathématiques : « Notion de récurrence », proposé par ndolomathndolomath

Raisonnement par récurrence

💡 Idée principale : Le raisonnement par récurrence permet de démontrer qu’une propriété

P (n)

est vraie pour tout entier

n \geq n_{0}

: on vérifie

P (n_{0})

(initialisation), puis on montre que si

P (n)

est vraie pour un entier

n \geq n_{0}

, alors

P (n + 1)

l’est aussi (hérédité). C’est l’effet domino.

Ce que tu vas apprendre

Comprendre et rédiger un raisonnement par récurrence.
Démontrer des égalités et des inégalités par récurrence.
Démontrer des propriétés de divisibilité et des propriétés de suites par récurrence.

Pourquoi cette leçon ?

Si le premier domino tombe et si chaque domino qui tombe fait tomber le suivant, alors tous les dominos tombent. Ce principe permet de démontrer une infinité de propriétés en deux étapes seulement.

Prérequis : vérifie tes bases

Calcule

1 + 3 + 5 + 7

Développe

(n + 1)^{2}

Vérifie que

4^{2} - 1

est divisible par 3.

Situation problème : La somme des impairs

Un élève remarque que $1 = 1^{2}$ , $1 + 3 = 2^{2}$ , $1 + 3 + 5 = 3^{2}$ , $1 + 3 + 5 + 7 = 4^{2}$ . Il conjecture que la somme des $n$ premiers nombres impairs vaut toujours $n^{2}$ .
Comment le prouver pour tous les entiers $n \geq 1$ , sans tout vérifier ?

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Activité d’apprentissage

On note $S_{n} = 1 + 3 + \dots + (2 n - 1)$ et $P (n)$ : « $S_{n} = n^{2}$ ».

Vérifie $P (1)$ .
Écris $S_{n + 1}$ en fonction de $S_{n}$ .
Suppose $P (n)$ vraie et montre que $S_{n + 1} = (n + 1)^{2}$ .
Réponds à la situation problème.

Principe de récurrence

P (n_{0})

est vraie et si, pour tout

n \geq n_{0}

P (n) \Rightarrow P (n + 1)

, alors

P (n)

est vraie pour tout

n \geq n_{0}

Exemple à traiter : Démontre que pour tout

n \geq 1

1^{2} + 2^{2} + \dots + n^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}

R2 · Inégalités

Pour l’hérédité d’une inégalité, on part de l’hypothèse

P (n)

, on multiplie ou ajoute de façon à faire apparaître le terme de rang

n + 1

, en contrôlant les signes.

Exemple à traiter : Démontre l’inégalité de Bernoulli : pour

a > - 1

et tout

n \in N

(1 + a)^{n} \geq 1 + n a

Divisibilité et suites

On démontre par récurrence des propriétés de divisibilité (en écrivant l’expression au rang

n + 1

à l’aide de celle au rang

n

) et des propriétés de suites récurrentes (encadrement, monotonie).

Exemple à traiter : Démontre que pour tout

n

7^{n} - 1

est divisible par 6. Soit

u_{0} = 1

u_{n + 1} = \sqrt{u_{n} + 2}

: démontre que

0 < u_{n} < 2

pour tout

n

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Erreurs fréquentes

⚠ Oublier l’initialisation

Sans initialisation, la propriété «

n + 1 = n

» serait héréditaire.

⚠ Utiliser ce qu’on veut prouver

Dans l’hérédité, on part de

P (n)

, on ne suppose pas

P (n + 1)

Exercice d’application

Démontre que pour tout $n \geq 4$ : $2^{n} \geq n^{2}$ .
Démontre que pour tout $n \in N$ , $3^{2 n + 1} + 2^{n + 2}$ est divisible par 7.
Réponds à la situation problème.

À retenir

Récurrence : initialisation

P (n_{0})

, hérédité

P (n) \Rightarrow P (n + 1)

, conclusion pour tout

n \geq n_{0}