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MATHÉMATIQUES · Tle TI

Chapitre : Similitudes directes planes · Leçon 2

Propriétés des similitudes directes et utilisations

Conservation des angles, des rapports, composition.

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Cours de Mathématiques : « Propriétés des similitudes directes et utilisations », proposé par ndolomathndolomath

Propriétés des similitudes

💡 Idée principale : Une similitude directe de rapport

k

multiplie les distances par

k

, les aires par

k^{2}

, conserve les angles orientés, l’alignement, le parallélisme, l’orthogonalité et les barycentres. Les similitudes directes de même centre commutent ; la composée de deux similitudes directes est une similitude directe.

Ce que tu vas apprendre

Utiliser les propriétés de conservation des similitudes directes.
Construire l’image d’une figure par une similitude.
Composer des similitudes et déterminer la composée.
Utiliser une similitude pour résoudre un problème de géométrie (lieux, constructions).

Pourquoi cette leçon ?

Les fractales comme le flocon de Koch ou la fougère de Barnsley sont construites en appliquant de façon répétée des similitudes. Leurs propriétés permettent de calculer périmètres et aires.

Prérequis : vérifie tes bases

Calcule le module et un argument de

\frac{1 + i}{2}

Calcule

\sum_{k = 0}^{n} {(\frac{1}{2})}^{k}

Rappelle l’effet d’une homothétie de rapport 3 sur les aires.

Situation problème : La spirale des carrés

On part d’un carré de côté 4 cm. On construit un nouveau carré en joignant les milieux des côtés, puis on recommence indéfiniment. Chaque carré est l’image du précédent par une similitude $s$ de centre le centre $O$ du carré.
Quels sont le rapport et l’angle de $s$ ? Quelle est la somme des aires de tous les carrés ?

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Activité d’apprentissage

On place le premier carré dans le plan complexe, de centre $O$ et de sommets $2 + 2 i$ , $- 2 + 2 i$ , $- 2 - 2 i$ , $2 - 2 i$ .

Calcule l’affixe du milieu $I$ de $[A B]$ avec $A (2 + 2 i)$ et $B (- 2 + 2 i)$ , puis de $J$ milieu de $[B C]$ avec $C (- 2 - 2 i)$ .
Détermine la similitude de centre $O$ qui envoie $A$ sur $I$ et vérifie qu’elle envoie $B$ sur $J$ .
Exprime l’aire du $n$ -ième carré et calcule la somme des aires.
Réponds à la situation problème.

Propriétés de conservation

Une similitude directe de rapport

k

et d’angle

θ

vérifie :

A^{'} B^{'} = k A B

;

(\vec{A B}, \vec{A^{'} B^{'}}) = θ

; elle conserve les angles orientés, l’alignement, le parallélisme, l’orthogonalité, les milieux et barycentres ; elle multiplie les aires par

k^{2}

. L’image d’un cercle de centre

I

et de rayon

r

est le cercle de centre

I^{'}

et de rayon

k r

Exemple à traiter : Détermine l’image du cercle de centre

A (1)

et de rayon 2 par la similitude

z^{'} = 2 i z + 1

R2 · Composition

La composée

s_{2} \circ s_{1}

de deux similitudes directes de rapports

k_{1}

k_{2}

et d’angles

θ_{1}

θ_{2}

est une similitude directe de rapport

k_{1} k_{2}

et d’angle

θ_{1} + θ_{2}

. Si elles ont le même centre, elles commutent.

Exemple à traiter : Détermine la composée de la similitude de centre

O

, rapport 2, angle

\frac{π}{4}

, et de la similitude de centre

A (1)

, rapport

\frac{1}{2}

, angle

- \frac{π}{4}

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Utilisation

Pour montrer qu’un point

M^{'}

décrit une courbe, on montre qu’il est l’image de

M

par une similitude et on prend l’image de la courbe décrite par

M

. Pour construire le centre d’une similitude connue par

A \mapsto A^{'}

B \mapsto B^{'}

, on utilise les cercles passant par

A

A^{'}

et le point d’intersection de

(A B)

(A^{'} B^{'})

Exemple à traiter :

M

décrit le cercle de centre

O

et de rayon 1.

N

est tel que

O M N

soit un triangle rectangle isocèle direct en

M

. Quel ensemble

N

décrit-il ?

Erreurs fréquentes

⚠ Aires

Les aires sont multipliées par

k^{2}

, pas par

k

⚠ Composée

Les rapports se multiplient et les angles s’ajoutent.

Exercice d’application

$A B C$ est un triangle direct. On construit à l’extérieur les triangles équilatéraux $A B P$ et $A C Q$ . Montre à l’aide d’une rotation que $B Q = C P$ et calcule l’angle $(\vec{C P}, \vec{B Q})$ .
Calcule le périmètre et l’aire de la figure obtenue après $n$ étapes de la spirale des carrés.
Réponds à la situation problème.

À retenir

Rapport

k

: distances ×

k

, aires ×

k^{2}

, angles orientés conservés. Composée : rapports multipliés, angles ajoutés.